Bu bölümde bazı üstel fonksiyon eşitsizlik tiplerini ve her biri için çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Bir üstel ifade ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik logaritma ifadesine çevrilir.
Üstel ifadenin tabanı birden büyükse eşitsizlik işareti yön değiştirmez.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( m \le a^x \lt n \) ise,
\( \log_a{m} \le x \lt \log_a{n} \)
\( \frac{1}{8} \le 2^{x + 2} \lt 64 \)
\( \log_2{\frac{1}{8}} \le \log_2{2^{x + 2}} \lt \log_2{64} \)
\( \log_2{2^{-3}} \le \log_2{2^{x + 2}} \lt \log_2{2^6} \)
\( -3 \le x + 2 \lt 6 \)
\( -5 \le x \lt 4 \)
Üstel ifadenin tabanı sıfır ve bir aralığındaysa eşitsizlik işareti yön değiştirir.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( m \le a^x \lt n \) ise,
\( \log_a{m} \ge x \gt \log_a{n} \)
\( \frac{1}{27} \lt (\frac{1}{3})^{x - 5} \le 81 \)
\( \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{27}} \gt \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{x - 5}} \ge \log_{\frac{1}{3}}{81} \)
\( \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^3} \gt \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{x - 5}} \ge \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{-4}} \)
\( 3 \gt x - 5 \ge -4 \)
\( 8 \gt x \ge 1 \)
Tabanları aynı iki üstel ifade arasındaki eşitsizlik üsler arasında eşitsizliğe dönüştürülebilir.
Tabanlar birden büyükse üssü daha büyük olan taraf daha büyüktür.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( a^x \gt a^y \Longrightarrow x \gt y \)
\( 3^{3x} \gt 3^{2x + 3} \) ise,
\( 3x \gt 2x + 3 \)
Tabanlar sıfır ve bir aralığındaysa üssü daha küçük olan taraf daha büyüktür.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( a^x \gt a^y \Longrightarrow x \lt y \)
\( (\frac{1}{2})^{3x} \ge (\frac{1}{2})^{2x + 3} \)
\( 3x \le 2x + 3 \)
İki üstel ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar farklı ama eşitlenebilir ise önce tabanlar eşitlenir, daha sonra tabanın birden büyük ya da (0, 1) aralığında olma durumuna göre yukarıdaki iki eşit taban kuralından biri uygulanır.
\( 27^{2x} \gt 81^{x - 1} \)
\( 3^{3(2x)} \gt 3^{4(x - 1)} \)
\( 6x \gt 4x - 4 \)
\( 2^{2x + 4} \ge (\frac{1}{4})^{x} \)
\( (\frac{1}{2})^{-(2x + 4)} \ge (\frac{1}{2})^{2x} \)
\( -(2x + 4) \le 2x \)
Bir eşitsizlikte değişken içeren tüm üstel ifadeler ortak bir ifade cinsinden yazılabiliyorsa eşitsizlik aşağıdaki adımlar takip edilerek değişken değiştirme yöntemi ile çözülebilir.
\( 4^x - 2^{x + 1} - 8 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
\( 2^{2x} - 2 \cdot 2^x - 8 \le 0 \)
\( 2^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 2t - 8 \le 0 \)
\( (t + 2)(t - 4) \le 0 \)
\( -2 \le t \le 4 \)
\( t \) değişkenini eşitsizliğin orijinal değişkenine dönüştürelim.
\( -2 \le 2^x \le 4 \)
Üstel bir ifade sadece pozitif değer alabilir.
\( 0 \lt 2^x \le 4 \)
\( x \lt 2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 2] \)
\( 8^{x^2 - 3x} \lt (\frac{1}{2})^{10 - 2x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster