Merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( r \) birim olan bir çemberin eksenlere göre farklı konumları aşağıda gösterilmiştir.
Eksenlere teğet olan çemberlerin merkezleri \( y = x \) ya da \( y = -x \) doğrusunun üzerindedir.
SORU 1:
Eksenlere teğet olan ve \( A(1, 8) \) noktasından geçen çemberin yarıçapının alabileceği değerlerin çarpımı nedir?
Çözümü Göster
Çember eksenlere teğet ise denklemi aşağıdaki gibidir.
\( (x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2 \)
Çember \( A(1, 8) \) noktasından geçtiğine göre bu koordinatları denklemde yerine koyup \( r \) değerini bulalım.
\( (1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2 \)
\( 1 - 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2 \)
\( r^2 - 18r + 65 = 0 \)
\( (r - 5)(r - 13) = 0 \)
Buna göre verilen koşulları sağlayan yarıçapları 5 ve 13 olan iki çember vardır.
Bu iki çemberin grafikleri aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Yarıçapın alabileceği değerlerin çarpımı \( 5 \cdot 13 = 65 \) olur.
SORU 2:
\( x = -1 \)
\( y = 2 \)
\( 3x + 4y + 31 = 0 \)
doğrularının belirttiği üçgenin iç teğet çemberinin denklemi nedir?
Çözümü Göster
Doğruların kesişim noktalarını bulalım.
\( x = -1 \) ve \( 3x + 4y + 31 = 0 \) doğrularının kesişim noktası:
\( 3(-1) 4y + 31 = 0 \Longrightarrow y = -7 \)
Bu iki doğru \( (-1, -7) \) noktasında kesişir.
\( y = 2 \) ve \( 3x + 4y + 31 = 0 \) doğrularının kesişim noktası:
\( 3x + 4(2) + 31 = 0 \Longrightarrow x = -13 \)
Bu iki doğru \( (-13, 2) \) noktasında kesişir.
\( x = -1 \) ve \( y = 2 \) doğruları \( (-1, 2) \) noktasında kesişir.
Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin iki kenarı yatay ve dikey doğrular üzerinde oldukları için bir dik üçgen oluştururlar.
Ayrıca yatay kenarın uzunluğu \( -1 - (-13) = 12 \) birim, dikey kenarın uzunluğun \( 2 - (-7) = 9 \) birimdir. Dolayısıyla hipotenüs uzunluğu 9-12-15 üçgeninden 15 birim olur.
Üçgenin ve iç teğet çemberinin grafikleri aşağıda verilmiştir.
Kenar uzunlukları şekildeki gibi \( a \), \( b \) ve \( c \) olan bir dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu, bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin uzunluklarının eşitliğinden aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( r = \dfrac{b + c - a}{2} \)
\( = \dfrac{9 + 12 - 15}{2} = 3 \)
Buna göre iç teğet çemberin merkezinin koordinatları \( (-1 - 3, 2 - 3) = (-4, -1) \) olarak bulunur.
Merkezi \( (-4 , -1) \) noktası ve yarıçapı 3 olan çemberin denklemi:
\( (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 = 9 \)
SORU 3:
\( x^2 + 8x + y^2 + 6y - 5 = c \) denklemi orijin noktasını da içine alan bir çembere ait olduğuna göre, \( c \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Verilen denklemi düzenleyerek \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \) çember denklem formuna getirelim.
Bu amaçla \( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına sayı ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 8x + 16 - 16 + y^2 + 6y + 9 - 9 - 5 = c \)
\( (x + 4)^2 + (y + 3)^2 - 30 = c \)
\( (x + 4)^2 + (y + 3)^2 = c + 30 \)
Bu denklem merkezi \( (-4, -3) \) noktası ve yarıçapı \( \sqrt{c + 30} \) olan bir çember ifade eder.
Çemberin yarıçapı sıfırdan büyük olmalıdır.
\( c + 30 \gt 0 \)
\( c \gt -30 \)
Ayrıca çemberin orijini içine alması için çemberin merkez noktasının orijine uzaklığı çemberin yarıçapından küçük olmalıdır.
\( \sqrt{c + 30} \gt \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} \)
\( c + 30 \gt 25 \)
\( c \gt -5 \) bulunur.
SORU 4:
Analitik düzlemde orijinden geçen ve denklemi \( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = k \) olan çember \( x \) eksenini \( A \) noktasında da kesmektedir.
Buna göre \( A \) noktasının apsisi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denkleme göre çemberin merkezi \( M(4, -2) \) noktasıdır.
Çember orijinden geçtiğine göre \( M \) noktasının orijine olan uzaklığı çemberin yarıçapına eşittir.
\( 4^2 + (-2)^2 = k \)
\( k = 20 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 \)
\( A \) noktasının apsis değerine \( a \) diyelim. \( A \) noktası \( x \) ekseni üzerinde olduğu için ordinatı sıfırdır.
\( A(a, 0) \) noktası çemberin üzerinde olduğuna göre çember denklemini sağlar.
\( (a - 4)^2 + (0 + 2)^2 = 20 \)
\( (a - 4)^2 = 16 \)
\( a - 4 = 4 \) ya da \( a - 4 = -4 \)
\( a - 4 = -4 \Longrightarrow a = 0 \)
Bu nokta soruda verilen orijin noktasıdır.
\( a - 4 = 4 \Rightarrow a = 8 \)
\( A \) noktasının apsisi 8 olarak bulunur.
SORU 5:
Yukarıda verilen çemberin merkezi \( M(-5, 1) \) noktasıdır. Çemberin \( x \) eksenini kestiği noktalardan biri \( A(-12, 0) \) olduğuna göre, \( A(ABCD) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{MA} \) uzunluğu çemberin yarıçapına eşittir.
\( \abs{MA} = \sqrt{(-5 - (-12))^2 + (1 - 0)^2} \)
\( = \sqrt{49 + 1} = 5\sqrt{2} \)
Merkez noktası ve yarıçapı bilinen çemberin standart denklemini yazalım.
\( (x + 5)^2 + (y - 1)^2 = (5\sqrt{2})^2 \)
Çemberin eksenleri kestiği diğer noktalarının koordinatlarını bulalım.
Çemberin \( y \) eksenini kestiği noktaları bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( (0 + 5)^2 + (y - 1)^2 = 50 \)
\( (y - 1)^2 = 25 \)
\( y - 1 = 5 \) ya da \( y - 1 = -5 \)
\( y - 1 = 5 \Longrightarrow y = 6 \)
\( y - 1 = -5 \Longrightarrow y = -4 \)
Buna göre çember \( y \) eksenini \( (0, 6) \) ve \( (0, -4) \) noktalarında keser.
Çemberin \( x \) eksenini kestiği diğer noktayı bulmak için \( y = 0 \) yazalım.
\( (x + 5)^2 + (0 - 1)^2 = 50 \)
\( (x + 5)^2 = 49 \)
\( x + 5 = 7 \) ya da \( x + 5 = -7 \)
\( x + 5 = 7 \Longrightarrow x = 2 \)
\( x + 5 = -7 \Longrightarrow x = -12 \)
Buna göre çember \( x \) eksenini \( (-7, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser.
Bu durumda \( ABCD \) dörtgeninin köşeleri \( A(-12, 0) \), \( B(0, 6) \), \( C(2, 0) \) ve \( D(0, -4) \) olur.
\( A(ABCD) \) dörtgeninin alanı \( ABC \) ve \( ADC \) üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot (2 - (-12)) \cdot 6 \)
\( = 42 \)
\( A(ADC) = \dfrac{1}{2} \cdot (2 - (-12)) \cdot 4 \)
\( = 28 \)
\( A(ABCD) = 42 + 28 = 70 \) olarak bulunur.
