Bir \( B \) kümesinin her bir elemanı \( A \) kümesinin de bir elemanı ise \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi ise \( A \) kümesinin \( B \) kümesinin elemanları dışında başka elemanları da olabilir ya da iki küme eşit kümeler olabilir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi ise aralarındaki ilişki aşağıdaki gibi "\( \subseteq \)" sembolü ile gösterilir. Alt küme sembolündeki eşitlik çizgisi iki kümenin eşit kümeler de olabileceğini gösterir.
\( B \subseteq A \)
\( s(B) \le s(A) \)
Alt kümenin genel tanımını aşağıdaki şekilde yapabiliriz.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi ise,
Her \( x \) için, \( x \in B \Rightarrow x \in A \)
\( B \) kümesinin \( A \) kümesinde bulunmayan en az bir elemanı varsa \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir.
\( x \in B \land x \notin A \) koşulunu sağlayan en az bir eleman varsa,
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir.
Eleman sembolünde elemanlar küme parantezi içine alınmaz, alt küme sembolünde ise alınır. Aşağıdaki eleman ve alt küme gösterimlerindeki ayrımlara dikkat edilmelidir.
\( A = \{ 1, 2, \{ 2, 3 \} \} \) olmak üzere,
\( s(A) = 3 \)
\( 1, 2 \in A \)
\( \{ 2, 3 \} \in A \)
\( \{ 1 \} \notin A \)
\( 3 \notin A \)
\( \{ 1 \} \subseteq A \)
\( \{ 1, 2 \} \subseteq A \)
\( \{ 1, \{ 2, 3 \} \} \subseteq A \)
\( \{ 2, 3 \} \not\subseteq A \)
\( \{ \{ 2, 3 \} \} \subseteq A \)
\( \{ 3 \} \not\subseteq A \)
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi iken \( A \) kümesinin \( B \) kümesinin elemanları dışında başka elemanları da varsa (yani iki küme eşit kümeler değilse) \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir öz alt kümesidir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir öz alt kümesi ise aralarındaki ilişki aşağıdaki gibi "\( \subset \)" sembolü ile gösterilir. Alt küme sembolünde bulunan eşitlik çizgisinin öz alt küme sembolünde bulunmaması iki kümenin eşit kümeler olamayacağını gösterir.
\( B \subset A \)
\( s(B) \lt s(A) \)
Bazı kaynaklarda "\( \subset \)" sembolü iki kümenin eşitliğini de kapsayacak şekilde ve "\( \subseteq \)" sembolü ile eş anlamlı olarak kullanılmaktadır. Biz burada "\( \subset \)" sembolünü öz alt küme anlamıyla kullanıyor olacağız.
Sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkisini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \mathbb{Z^+} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
Yukarıda bahsettiğimiz alt küme sembollerini yönlerini tersine çevirerek de kullanabiliriz. Bu durumda sembolün solundaki küme alt küme değil, kapsayan (üst) küme olmaktadır.
\( B \subseteq A \Longleftrightarrow A \supseteq B \)
\( B \subset A \Longleftrightarrow A \supset B \)
\( B \not\subseteq A \Longleftrightarrow A \not\supseteq B \)
\( B \not\subset A \Longleftrightarrow A \not\supset B \)
Boş küme tüm kümelerin bir alt kümesidir.
Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir.
\( A \subseteq E \)
İki küme birbirinin alt kümesi ise bu iki küme eşittir. İki kümenin birbirine eşit olduğunu göstermek için sıklıkla kullanılan bir yöntem, iki kümenin de diğerinin bir alt kümesi olduğunu ayrı ayrı göstermektir.
\( A \subseteq B \) ve \( B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B \)
\( A \) kümesi \( B \) kümesinin, \( B \) kümesi de \( C \) kümesinin birer alt kümesi ise aynı zamanda \( A \) kümesi \( C \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( A \subseteq B \) ve \( B \subseteq C \) ise \( A \subseteq C \)
\( A = \{ a, b, \{ a \}, \{ a, c \}, \{ b, c \} \} \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( \{ a, b \} \in A \)
II. \( \{ a, c \} \subset A \)
III. \( c \in A \)
IV. \( \{ c \} \subset A \)
V. \( s(A) = 3 \)
Çözümü Göster\( A = \{ 1, 2, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \} \) olduğuna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( s(A) = 5 \)
II. \( \{ 1, 2 \} \subset A \)
III. \( \{ 1, \{ 1 \} \} \subset A \)
IV. \( \{ 1, 2 \} \in A \)
V. \( \{ 2, \{ 2 \} \} \in A \)
Çözümü Göster\( A \subset \{ 2, 5 \} \) ve \( B \subset \{ 1, 4, 5, 7, 9 \} \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğru olabilir?
I. \( A \subset B \)
II. \( B \subset A \)
III. \( (A \cup B) \subseteq \emptyset \)
Çözümü Göster\( P \subset Q \) olduğuna göre, \( (P \cap Q') \cup [P \cup (P' \cap Q)]' \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir kümenin tüm alt kümelerinin sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( n \) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı: \( 2^n \)
Bu formülün mantığını şu şekilde açıklayabiliriz: Herhangi bir alt kümede belirli bir eleman ya vardır ya da yoktur. Bu iki farklı durumu kümenin tüm elemanlarına uygularsak, sayma konusunda göreceğimiz çarpma kuralı gereği ortaya çıkacak farklı durum sayısı \( n \) tane \( 2 \)'nin çarpımı, yani \( 2^n \) olacaktır.
Bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısını kombinasyon formülü ile bulabiliriz (\( n \) eleman içinden yapılabilecek \( r \) elemanlı farklı seçim sayısı).
\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı: \( C(n, r) = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \)
Örnek olarak 5 elemanlı bir \( A \) kümesini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( s(A) = 5 \)
Tüm alt kümelerin sayısı: \( 2^5 = 32 \)
\( A \) kümesinin bu \( 32 \) alt kümesi eleman sayılarına göre aşağıda listelenmiştir.
Eleman Sayısı | Alt Küme Sayısı | Alt Kümeler |
---|---|---|
0 elemanlı | \( C(5, 0) = 1 \) | \( \{ \} = \emptyset \) |
1 elemanlı | \( C(5, 1) = 5 \) | \( \{ 1 \} \), \( \{ 2 \} \), \( \{ 3 \} \), \( \{ 4 \} \), \( \{ 5 \} \) |
2 elemanlı | \( C(5, 2) = 10 \) | \( \{ 1, 2 \} \), \( \{ 1, 3 \} \), \( \{ 1, 4 \} \), \( \{ 1, 5 \} \), \( \{ 2, 3 \} \), \( \{ 2, 4 \} \), \( \{ 2, 5 \} \), \( \{ 3, 4 \} \), \( \{ 3, 5 \} \), \( \{ 4, 5 \} \) |
3 elemanlı | \( C(5, 3) = 10 \) | \( \{ 1, 2, 3 \} \), \( \{ 1, 2, 4 \} \), \( \{ 1, 2, 5 \} \), \( \{ 1, 3, 4 \} \), \( \{ 1, 3, 5 \} \), \( \{ 1, 4, 5 \} \), \( \{ 2, 3, 4 \} \), \( \{ 2, 3, 5 \} \), \( \{ 2, 4, 5 \} \), \( \{ 3, 4, 5 \} \) |
4 elemanlı | \( C(5, 4) = 5 \) | \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \), \( \{ 1, 2, 3, 5 \} \), \( \{ 1, 2, 4, 5 \} \), \( \{ 1, 3, 4, 5 \} \), \( \{ 2, 3, 4, 5 \} \) |
5 elemanlı | \( C(5, 5) = 1 \) | \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} = A \) |
Binom açılımı konusunda göreceğimiz üzere, bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı, yukarıdaki tabloda hesapladığımız her bir \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamına eşittir.
Tüm alt kümelerin sayısı: \( 2^5 = C(5, 0) + C(5, 1) \) \( + C(5, 2) + C(5, 3) \) \( + C(5, 4) + C(5, 5) \)
\( 32 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 \)
Bir kümenin öz alt kümeleri kendisi dışındaki tüm alt kümelerine karşılık geldiği için, eleman sayısı \( n \) olan bir kümenin öz alt küme sayısı tüm alt küme sayısından bir eksik, yani \( 2^n - 1 \) olur.
\( n \) elemanlı bir kümenin tüm öz alt kümelerinin sayısı: \( 2^n - 1 \)
Yukarıdaki örnekte son satırdaki 5 elemanlı alt küme dışındaki tüm alt kümeler \( A \) kümesinin birer öz alt kümesidir.
\( A = \{ x: -8 \le x \lt -3, x \in \mathbb{Z} \} \)
kümesinin alt küme ve öz alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin alt küme sayısı 32, \( B \) kümesinin öz alt küme sayısı 255 olduğuna göre, \( s(A) + s(B) \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterAlt küme ve öz alt küme sayısının toplamı 127 olan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBir kümenin eleman sayısı 3 arttırılırsa alt küme sayısı 56 artıyor. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBir kümenin eleman sayısı 2 artırılınca alt küme sayısı 96 arttığına göre, bu kümenin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
Çözümü GösterÖz alt kümelerinin sayısı \( 2a + 5 \) olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltıldığında alt küme sayısı \( a \) cinsinden ne kadar azalır?
Çözümü GösterBir kümenin eleman sayısı 2 arttırıldığında alt küme sayısı 192 artıyor.
Buna göre, bu kümenin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
Çözümü GösterÖz alt kümeleri sayısı \( 2a + 3 \) olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltıldığında alt küme sayısı ne kadar azalır?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesi ile ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
Buna göre \( y - x \) farkı kaçtır?
Çözümü Göster\( M = \{a, b, c, d, e, f\} \) kümesinin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{ a, b, c, d, e, f, g \} \) kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde \( b \) ve \( c \) eleman olarak bulunur ama \( f \) bulunmaz?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 4 eleman olarak bulunur?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
olmak üzere, \( A \subseteq K \subset B \) koşulunu sağlayan kaç farklı \( K \) kümesi yazılabilir?
Çözümü Göster\( K = \{x: -4 \le x \lt 3, x \in \mathbb{Z}\} \)
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir tek sayı bulunur?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı \( B \) kümesinin alt kümelerinin sayısının 8 katıdır.
\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı 11 olduğuna göre, \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster\( A = \{ x: x \in \mathbb{Z}, \abs{x - 1} \le 3 \} \)
\( B = \{ x: x \in \mathbb{Z}, \abs{x + 1} \lt 3 \} \) olduğuna göre,
\( A - B \) kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı 16, \( B \) kümesinin alt kümelerinin sayısı 8 olduğuna göre, \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı eşit olduğuna göre \( A \) kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin alt kümelerinin kaçında \( d \) elemanı bulunur ve \( a \) elemanı bulunmaz?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin, içinde 2 veya 5 elemanlarının en çok birinin bulunduğu alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir tek sayıdır?
Çözümü GösterElemanları tam sayı olan 5 elemanlı bir \( A \) kümesinin tüm iki elemanlı alt kümelerinin elemanları birbiri ile çarpıldığında,
\( -16, -14, -10, -6, 15, 21, 24, 35, 40, 56 \)
değerleri elde ediliyor.
Buna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( X \subset \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) olmak üzere, \( X \) kümesinin içinde 3 ya da 5 elemanı bulunan kaç alt kümesi vardır?
Çözümü Göster\( A = \{ a, b, c, d, e, f \} \) kümesinin, içinde \( a \) bulunan alt küme sayısı \( x \), \( a \) veya \( b \) bulunan alt küme sayısı \( y \) olduğuna göre, \( y - x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b, c, d, e \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( A = \{a, b, c, d, e\} \) kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin her birinin elemanlarının toplamları 30, 28, 43, 34 ve 25'tir.
Buna göre \( A \) kümesinin elemanlarının en küçüğü ile en büyüğü arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
\( S \) kümesinin elemanlarıyla, elemanlarından sadece biri asal sayı olan ve bu asal sayıdan küçük eleman içermeyen kaç farklı alt küme yazılabilir?
Çözümü Göster