İki ya da daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin kesişim kümesi denir ve bu kümelerin arasına konan bir \( \cap \) sembolü ile gösterilir.
Kesişim kümesinin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
\( A \cap B = \{ x: x \in A \land x \in B \} \)
İki kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A \cap B = \{ \textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{5} \} \)
Üç kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, \textcolor{red}{4}, 5 \} \)
\( B = \{ \textcolor{red}{4}, 5, 6, 7 \} \)
\( C = \{ 1, \textcolor{red}{4}, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cap B \cap C = \{ \textcolor{red}{4} \} \)
Bu üç kümenin ikili kesişim kümeleri de aşağıdaki gibi olur. Dikkat edilirse ikili kesişim kümeleri üçlü kesişim kümesini de kapsar.
\( A \cap B = \{ 4, 5 \} \)
\( A \cap C = \{ 1, 4 \} \)
\( B \cap C = \{ 4, 7 \} \)
Ayrık Küme
Ortak elemanları olmayan, bir diğer ifadeyle kesişim kümeleri boş küme olan kümelere ayrık küme denir.
\( A \cap B = \emptyset \) ise,
\( A \) ve \( B \) ayrık kümelerdir.
Ayrık iki kümenin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 5, 6, 7, 8 \} \)
\( A \cap B = \emptyset \)
Yukarıdaki tanıma göre boş küme dahil her küme boş küme ile ayrık kümelerdir.
\( A \cap \emptyset = \emptyset \)
\( \emptyset \cap \emptyset = \emptyset \)
İkişerli Ayrık Kümeler
İkiden fazla kümenin ayrık olması iki farklı şekilde olabilir.
Aşağıda bir örneği verilen birinci durumda kümelerin tümünde ortak olan bir eleman yoktur, ama kümelerin ikişerli kesişim kümelerine baktığımızda ortak elemanlar olabilir. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak kesişebilir, ama tümünün ortak bir kesişimi yoktur.
\( A = \{ 1, 2 \} \)
\( B = \{ 2, 3 \} \)
\( C = \{ 3, 4 \} \)
\( A \cap B = \{ 2 \} \)
\( B \cap C = \{ 3 \} \)
\( A \cap B \cap C = \emptyset \)
Aşağıda bir örneği verilen ikinci durumda ise kümelerin ikişerli de dahil olmak üzere hiçbir ortak elemanı yoktur. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak da kesişmezler.
\( A = \{ 1, 2 \} \)
\( B = \{ 3, 4 \} \)
\( C = \{ 5, 6 \} \)
\( A \cap B = B \cap C \) \( = A \cap C \) \( = A \cap B \cap C = \emptyset \)
İkiden fazla kümenin ayrık olduğunu belirttiğimizde kastetmek istediğimiz çoğu zaman bu ikinci durum olacaktır, bunu daha net ifade etmek için kullanabileceğimiz ifade bu kümelerin ikişerli ayrık olmasıdır.
Kesişim işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece kesişim işleminden oluşan bir ifadede kümeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve kümelerin sırası değiştirilebilir.
\( (A \cap B) \cap (C \cap D) \)
\( = A \cap (B \cap C) \cap D \)
\( = A \cap B \cap C \cap D \)
\( = D \cap B \cap A \cap C \)
Kesişim işleminin birleşme işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
\( (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \)
ÖRNEK:
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 4, 5 \} \)
\( C = \{ 3, 4, 6 \} \)
\( A \cap (B \cup C) = A \cap \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)
\( (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{ 2 \} \cup \{ 3 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)
\( (A \cup B) \cap C = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \cap C \) \( = \{ 3, 4 \} \)
\( (A \cap C) \cup (B \cap C) = \{ 3 \} \cup \{ 4 \} \) \( = \{ 3, 4 \} \)
Kümelerin eşitliği tanımına göre, \( A \cap A = A \) olduğunu göstermek için \( A \cap A \subseteq A \) ve \( A \subseteq A \cap A \) olduğunu gösterelim.
İlk önce \( A \cap A \subseteq A \) olduğunu gösterelim.
\( x \in A \cap A \) olsun.
Kesişim kümesi tanımına göre, \( x \) iki kümenin kesişiminin elemanı ise her iki kümenin de elemanıdır.
\( x \in A \land x \in A \)
\( p \land p \equiv p \)
\( x \in A \)
\( A \cap A \subseteq A \) olduğunu göstermiş olduk.
Şimdi \( A \subseteq A \cap A \) olduğunu gösterelim.
\( x \in A \) olsun.
\( p \equiv p \land p \)
\( x \in A \land x \in A \)
Kesişim kümesi tanımına göre, \( x \) iki kümenin elemanı ise kümelerin kesişiminin de elemanıdır.
\( x \in A \cap A \)
\( A \subseteq A \cap A \) olduğunu göstermiş olduk.
Kümelerin eşitliği tanımına göre, \( A \cap A = A \) olur.
\( A \) kümesi 3'e bölününce 2 kalanını veren, \( B \) kümesi de 5'e bölününce 2 kalanını veren sayılardan oluşmaktadır.
Buna göre iki kümenin kesişimindeki elemanlar, 2 eksiği hem 3'e hem de 5'e, yani 15'e tam bölünen sayılardır. Dolayısıyla, kesişim kümesindeki elemanlar 15'e bölününce 2 kalanını veren sayılardan oluşur.
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
\( K \) kümesinin alt kümelerinin sayısı \( 32 = 2^5 \) ise \( s(K) = 5 \) olur.
\( L \) kümesinin alt kümelerinin sayısı \( 16 = 2^4 \) ise \( s(L) = 4 \) olur.
\( K \cap L \) kümesinin eleman sayısının en çok olması için daha çok elemanlı olan \( K \) kümesi \( L \) kümesini kapsamalı, yani \( L \) kümesi iki kümenin kesişim kümesine eşit olmalıdır.
Verilen şekildeki taralı bölgenin elemanları 3'e ve 5'e tam bölünen, ama 10'a tam bölünmeyen sayıları içerir.
Verilen sayılar içinde 15, 45 ve 135 sayıları bu koşulları sağlar. 0 ve 30 sayıları 3'e ve 5'e tam bölünseler de 10'a da tam bölündükleri için taralı bölgenin elemanı değildirler.