Açılar
Başlangıç noktaları aynı iki ışından oluşan geometrik şekle açı denir. Açıyı oluşturan ışınlara açının kolları veya açının kenarları, ışınların kesiştiği başlangıç noktasına açının köşesi denir.
Şekildeki gibi \( [OA \) ve \( [OB \) ışınlarının oluşturduğu açı \( \widehat{AOB} \) ya da \( \widehat{BOA} \) şeklinde gösterilir. Bir köşede tek bir açının gösterildiği durumlarda bu açı kısaca \( \widehat{O} \) şeklinde de gösterilebilir.
\( [OA \cup [OB = \widehat{AOB} \)
\( \widehat{AOB} \) açısının ölçüsü \( m(\widehat{AOB}) \) şeklinde gösterilir ve derece cinsinden ölçülür.
\( m(\widehat{AOB}) = x \)
Açı ölçüleri için genellikle \( x, y, z, a, b, c \) ya da \( \alpha, \beta, \theta \) gibi küçük harfler kullanılır.
Her açı bulunduğu düzlemi; açının kendisi, açının iç bölgesi ve açının dış bölgesi olmak üzere üç bölgeye ayırır.
Aşağıdaki şekilde \( M \) noktası açının iç bölgesinde, \( K \) noktası açının dış bölgesinde, \( O \), \( A \) ve \( B \) noktaları da açının üzerindedir.
\( \widehat{AOB} \) açısının iç bölgesindeki bir \( M \) noktasının \( \widehat{AOB} \) açısının kolları ile oluşturduğu iki açının ölçüleri toplamı, \( \widehat{AOB} \) açısının ölçüsüne eşittir.
\( m(\widehat{AOM}) + m(\widehat{MOB}) = m(\widehat{AOB}) \)
Açı ölçüleri aynı olan açılara eş açılar denir. İki eş açı üst üste konulduğunda çakışır. İki açının eşliği aşağıdaki şekilde gösterilir.
\( \widehat{ABC} \cong \widehat{KLM} \)
Geometrik şekiller üzerindeki eş açılar aynı çizgi işareti kullanılarak gösterilir.
Açıortay
Bir açının ölçüsünü eşit iki parçaya ayıran ışına açıortay denir. Aşağıdaki şekilde \( [OC \) ışını \( \widehat{AOB} \) açısının açıortayıdır.
Her açının sadece bir açıortayı vardır.
Bir açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca, açıortayın iki tarafında oluşan dik üçgenler eş üçgenler olup, açının kolları üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunlukları da eşittir.
\( [CA] \perp [OA] \) ve \( [CE] \perp [OE] \) olmak üzere,
\( \abs{CA} = \abs{CE} \)
\( \abs{OA} = \abs{OE} \)
\( [DB] \perp [OB] \) ve \( [DF] \perp [OF] \) olmak üzere,
\( \abs{DB} = \abs{DF} \)
\( \abs{OB} = \abs{OF} \)
İSPATI GÖSTER
Açıortay üzerindeki bir \( C \) noktasından açının kollarına indirilen dikmelerin ve açının kolları üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu ve oluşan iki üçgenin eş üçgenler olduğunu gösterelim.
\( m(\widehat{AOC}) = m(\widehat{EOC}) \)
\( m(\widehat{OAC}) = m(\widehat{OEC}) = 90° \)
\( AOC \) ve \( EOC \) üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğu için, üçüncü açıları da eşittir, dolayısıyla iki üçgen benzerdir.
\( [OC] \) kenarı bu iki üçgen için ortak kenar olduğu için, üçgenlerin benzerlik oranı 1'dir, dolayısıyla bu iki üçgen aynı zamanda eş üçgenlerdir. Buna göre, aşağıdaki kenar uzunlukları da eşittir.
\( \abs{CA} = \abs{CE} \)
\( \abs{OA} = \abs{OE} \)
Bir açıortayı kesen doğrunun oluşturduğu açılar arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( [OC \) ışını \( \widehat{AOB} \) açısının açıortayı olmak üzere,
\( x = \dfrac{y + z}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Açıortayın oluşturduğu iki açının ölçüsüne \( a \) diyelim.
\( m(\widehat{AOC}) = m(\widehat{COB}) = a \)
\( \widehat{OAC} \) açısı ve ölçüsü \( y \) olan açı ters açılardır.
\( m(\widehat{OAC}) = y \)
\( \widehat{OCB} \) açısı ve ölçüsü \( x \) olan açı ters açılardır.
\( m(\widehat{OCB}) = x \)
\( \widehat{OCB} \) açısı \( OAC \) üçgeninin bir dış açısıdır.
\( x = a + y \)
Ölçüsü \( z \) olan açı \( OCB \) üçgeninin bir dış açısıdır.
\( z = a + x \)
\( a \)'yı ilk denklemde yalnız bırakalım.
\( a = x - y \)
\( a \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( z = (x - y) + x \)
\( 2x = y + z \)
\( x = \dfrac{y + z}{2} \)