Çok Terimli İfadelerin Açılımı
İki terimli ifadelerin açılımında kullanılan yöntemlerin bir benzeri üç ya da daha çok terimli ifadelerin açılımına uygulanabilir.
Üç Terimli İfadelerin Açılımı
\( (x + y + z)^n \) şeklindeki üç terimli bir ifadenin genel açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( n, a, b, c \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x + y + z)^n = \displaystyle\sum_{\substack{a, b, c \\ a + b + c = n}} \dfrac{n!}{a!b!c!}x^ay^bz^c \)
\( (x + y + z)^2 = \frac{2!}{2!0!0!}x^2y^0z^0 \) \( + \frac{2!}{0!2!0!}x^0y^2z^0 \) \( + \frac{2!}{0!0!2!}x^0y^0z^2 \) \( + \frac{2!}{1!1!0!}x^1y^1z^0 \) \( + \frac{2!}{1!0!1!}x^1y^0z^1 \) \( + \frac{2!}{0!1!1!}x^0y^1z^1 \)
\( = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \)
\( a \), \( b \) ve \( c \) sayıları \( [0, n] \) aralığında birer tam sayı olmak üzere, yukarıdaki toplam sembolü \( a + b + c = n \) koşulunu sağlayan her \( (a, b, c) \) üçlüsü için açılımda bir terim üretir.
Terim Sayısı
\( (x + y + z)^n \) şeklindeki bir ifadede \( n \) tane \( (x + y + z) \) ifadesinin çarpımı sonucunda \( 3^n \) terim oluşur. Bu açılımdaki benzer terimler aralarında toplandığında geriye kalan terim sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Terim sayısı \( = \dfrac{(n + 2)(n + 1)}{2} \)
\( (x + y + z)^{16} \) ifadesinin açılımındaki terim sayısı:
\( = \dfrac{(16 + 2)(16 + 1)}{2} = 153 \)
İSPATI GÖSTER
\( (x + y + z)^n = \displaystyle\sum_{\substack{a, b, c \\ a + b + c = n}} \dfrac{n!}{a!b!c!}x^ay^bz^c \)
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı yukarıdaki toplama işleminin ürettiği terim sayısına eşittir, bir başka deyişle açılımdaki terim sayısı \( a + b + c = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin sayısına eşittir.
Bu problemi kombinasyon konusundaki Nesnelerin Dağıtımı başlığı altında gördüğümüz "Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı > Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne" problemi şeklinde modelleyebiliriz.
Yukarıdaki eşitlikteki \( n \) sayısını birbirinden farklı ve özdeş nesne, \( a \), \( b \) ve \( c \) değerlerini de farklı birer kutu olarak düşünürsek, bu \( n \) nesneyi \( 3 \) kutuya kaç farklı şekilde dağıtabileceğimizi bu yöntemle hesaplayabiliriz. Bu yöntemde nesneleri ("*" ile gösterilir) üç farklı kutuya dağıtmak için iki ayraca ("/" ile gösterilir) ihtiyaç duyarız.
Aşağıda \( (x + y + z)^5 \) ifadesi için 5 nesnenin 3 kutuya dağıtımına üç örnek verilmiştir.
\( **/**/* \Longrightarrow 2 + 2 + 1 = 5 \)
\( /***/** \Longrightarrow 0 + 3 + 2 = 5 \)
\( *****// \Longrightarrow 5 + 0 + 0 = 5 \)
Problemi bu yönteme göre modellediğimizde yöntemin farklı dağıtım sayısı formülünü kullanabiliriz. Bu formül aşağıdaki gibidir.
Farklı dağıtım sayısı \( = \dfrac{(n + r - 1)!}{n! \cdot (r - 1)!} \)
\( n \) özdeş nesneyi 3 farklı kutuya dağıttığımız için \( r = 3 \) koyarsak:
\( = \dfrac{(n + 3 - 1)!}{n! \cdot (3 - 1)!} \)
\( = \dfrac{(n + 2)!}{n! \cdot 2!} \)
\( = \dfrac{(n + 2)(n + 1)}{2} \)
Sabit Terim
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( (2a - 3b + 2)^6 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim:
\( = (2(0) - 3(0) + 2)^6 = 2^6 = 64 \)
Katsayılar Toplamı
Üç terimli bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (3x - 2y + z)^4 \) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı:
\( = (3(1) - 2(1) + 1)^4 = 2^4 = 16 \)
Terim Bulma
\( (x + y + z)^n \) şeklindeki üç terimli bir ifadede \( a + b + c = n \) koşulunu sağlayan belirli bir \( (a, b, c) \) üçlüsü için açılımdaki terim aşağıdaki formülle bulunur.
\( (a, b, c) \) üçlüsü için açılımdaki terim:
\( \dfrac{n!}{a!b!c!}x^ay^bz^c \)
\( (3x - 2y + z)^6 \) ifadesinde değişkenlerin üslerinin eşit olduğu terim:
\( a = b = c = 2 \)
\( \dfrac{6!}{2!2!2!}(3x)^2(-2y)^2z^2 \)
\( = 3240x^2y^2z^2 \)
\( (3x - ay - 2)^n \) ifadesinin sabit terimi \( -32 \) ve katsayılar toplamı \( 243 \) olduğuna göre, \( a + n \) kaçtır?
Çözümü GösterSabit terimi bulmak için tüm değişkenlerin yerine 0 yazılır.
\( (3(0) - a(0) - 2)^n = -32 \)
\( (-2)^n = -32 \Longrightarrow n = 5 \)
Katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.
\( (3(1) - a(1) - 2)^5 = 243 \)
\( 3 - a - 2 = 3 \Longrightarrow a = -2 \)
\( a + n = 5 + (-2) = 3 \) olarak bulunur.
\( (2 - 4x^2 + x^3)^{224} \) ifadesinin açılımındaki tüm terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterÜç terimli bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (2 - 4(1^2) + 1^2)^{224} = (-1)^{224} \)
\( = 1 \) olarak bulunur.
\( (x - y - 2z)^n \) ifadesinin açılımındaki terimlerden birisi \( Ax^2y^5z^2 \) olduğunda göre, \( A \) kaçtır?
Çözümü GösterDereceleri bir olan çok terimli bir ifadenin açılımında tüm terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı \( n \)'ye eşittir. Buna göre çok terimli ifadenin derecesini 9 olarak buluruz.
\( 2 + 5 + 2 = 9 = n \)
Verilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 2 \), \( b = 5 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.
Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.
\( \dfrac{9!}{2!5!2!}x^2(-y)^5(-2z)^2 = Ax^2y^5z^2 \)
\( -756x^2y^52^2z^2 = Ax^2y^5z^2 \)
\( -3024x^2y^5z^2 = Ax^2y^5z^2 \)
Buna göre \( A = -3024 \) olarak bulunur.
\( (2x - y^2 + 3z)^n \) ifadesinin açılımındaki terimlerden biri \( Ax^3y^6z^2 \) olduğuna göre, \( A \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen terimde değişkenlerin üslerine bakarak bu terimin açılım formülünde \( a = 3 \), \( b = 3 \) ve \( c = 2 \) olan terime karşılık geldiğini görebiliriz.
\( a + b + c = n \) olacağı için \( n = 8 \) olur.
Üç terimli ifadeler için genel terim bulma formülünü verilen terime eşitleyelim.
\( \dfrac{8!}{3!3!2!}(2x)^3(-y^2)^3(3z)^2 = Ax^3y^6z^2 \)
\( -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot x^3y^6z^2 = Ax^3y^6z^2 \)
Buna göre \( A = -560 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \) olarak bulunur.
\( (x^3 + 4y^2 - z^5)^{12} \) ifadesinin açılımında \( y^8 \)'li kaç terim vardır?
Çözümü GösterÜç terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı formülünün ispatında gösterdiğimiz gibi, açılımdaki terim sayısı \( a + b + c = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin sayısına eşittir.
\( y^8 \)'li terim için \( b = 4 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.
\( a + 4 + c = 12 \)
\( a + c = 8 \)
Buna göre, açılımda \( a + c = 8 \) eşitliğini sağlayan \( (a, c) \) sıralı ikilisi kadar \( y^8 \)'li terim olacaktır.
Toplamları 8 olan doğal sayı 9 \( (a, c) \) ikilisi vardır.
\( (a, c) = \{(8, 0), (7, 1), \ldots, (0, 8)\} \)
Buna göre ifadenin açılımında \( y^8 \)'li 9 terim bulunur.
\( (x + y + z)^7 \) ifadesinin açılımında terimlerin kaç tanesinde \( y^4 \) çarpanı bulunur?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
Verilen üç terimli ifadeyi aşağıdaki şekilde iki terimli bir ifade olarak yazabiliriz.
\( (x + y + z)^7 = ((x + z) + y)^7 \)
Bu ifadenin açılımındaki 5. terim \( y^4 \)'lü terimleri içerir.
\( T_5 = \binom{7}{4} (x + z)^{7 - 4} y^4 \)
\( = \binom{7}{4} (x + z)^3 y^4 \)
Bu terimdeki \( (x + z)^3 \) çarpanının açılımında 4 terim olduğu için, verilen üç terimli ifadenin tam açılımında \( y^4 \) bu 4 terimle çarpılacak ve toplam 4 \( y^4 \)'lü terim olacaktır.
2. yöntem:
\( (x + y + z)^7 \) ifadesinin açılımındaki terimlerin tümünde değişkenlerin üsleri toplamı 7 olur. Bizden \( y^4 \)'lü terimler istendiği için, diğer iki değişkenin üsleri toplamının 3 olduğu durumların toplamı \( y^4 \)'lü terim sayısını verir.
\( x \) ve \( z \) değişkenlerinin üsleri sırasıyla \( a \) ve \( c \) olmak üzere, aşağıdaki \( (a, c) \) sıralı ikili sayısı kadar \( y^4 \)'lü terim olur.
\( (a, c) = \{(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)\} \)
\( (x^3 + x - 1)^4 \) ifadesinin açılımındaki \( x^6 \)'lı terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 4 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{4!}{a!b!c!} (x^3)^a x^b (-1)^c \)
\( = \dfrac{4!}{a!b!c!} x^{3a + b} (-1)^c \)
\( a + b + c = 4 \) olmak üzere, \( x \)'in üssü iki durumda 6 olur.
Durum 1: \( (a, b, c) = (1, 3, 0) \)
\( \dfrac{4!}{1!3!0!} x^{3(1) + 3} (-1)^0 = 4x^6 \)
Durum 2: \( (a, b, c) = (2, 0, 2) \)
\( \dfrac{4!}{2!0!2!} x^{3(2) + 0} (-1)^2 = 6x^6 \)
\( x^6 \)'lı terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.
Bu durumda \( x^6 \)'lı terimin katsayısı \( 4 + 6 = 10 \) olarak bulunur.
\( (1 + x^6 - x^9)^{16} \) ifadesinin açılımındaki \( x^{22} \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen üç terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terim \( a + b + c = 16 \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{16!}{a!b!c!} 1^a (x^6)^b (-x^9)^c \)
\( = \dfrac{16!}{a!b!c!} x^{6b + 9c} (-1)^c \)
Verilen ifadeyi incelediğimizde \( x \)'in üssünün 3'ün bir tam sayı katı olduğu görülür.
22 3'ün tam sayı katı olmadığı için açılımda \( x^{22} \)'li bir terim oluşmaz.
Buna göre cevap 0 olur.
Çok Terimli İfadelerin Açılımı
Üç terimli ifadeler için kullanılan açılım formülü çok terimli ifadelerin açılımına aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
\( n, k_1, k_2, \ldots, k_m \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n = \) \( \displaystyle\sum_{\substack{k_1, k_2, \ldots, k_m \\ k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n}} \dfrac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
Terim Sayısı
\( m \) terimden oluşan ve \( n. \) dereceden \( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımındaki terim sayısı aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
Terim sayısı \( = \dfrac{(n + m - 1)!}{n! \cdot (m - 1)!} \)
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_5)^6 \) ifadesinin açılımındaki terim sayısı:
\( = \dfrac{(6 + 5 - 1)!}{6! \cdot (5 - 1)!} = \dfrac{10!}{6! \cdot 4!} \)
İSPATI GÖSTER
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n = \) \( \displaystyle\sum_{\substack{k_1, k_2, \ldots, k_m \\ k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n}} \dfrac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
\( m \) terimli bir ifadenin açılımındaki terim sayısı yukarıdaki toplama işleminin ürettiği terim sayısına eşittir, bir başka deyişle açılımdaki terim sayısı \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) sıralı \( m \)'lisinin sayısına eşittir.
Bu problemi kombinasyon konusundaki Nesnelerin Dağıtımı başlığı altında gördüğümüz "Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı > Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne" problemi şeklinde modelleyebiliriz.
Yukarıdaki eşitlikteki \( n \) sayısını birbirinden farklı ve özdeş nesne, \( k_1, k_2, \ldots, k_m \) değerlerini de farklı birer kutu olarak düşünürsek, bu \( n \) nesneyi \( m \) kutuya kaç farklı şekilde dağıtabileceğimizi bu yöntemle hesaplayabiliriz. Bu yöntemde nesneleri ("*" ile gösterilir) \( m \) farklı kutuya dağıtmak için \( m - 1 \) ayraca ("/" ile gösterilir) ihtiyaç duyarız.
Aşağıda \( (a + b + c + d + e)^9 \) ifadesi için 7 nesnenin 5 kutuya dağıtımına üç örnek verilmiştir.
\( */**/****/**/ \Longrightarrow \) \( 1 + 2 + 4 + 2 + 0 = 9 \)
\( ***//***/*/** \Longrightarrow \) \( 3 + 0 + 3 + 1 + 2 = 9 \)
\( ///******/*** \Longrightarrow \) \( 0 + 0 + 0 + 6 + 3 = 9 \)
Problemi bu yönteme göre modellediğimizde yöntemin farklı dağıtım sayısı formülünü kullanabiliriz. \( n \) özdeş nesnenin \( m \) kutuya dağıtımı için bu formül aşağıdaki gibidir.
Farklı dağıtım sayısı \( = \dfrac{(n + r - 1)!}{n! \cdot (r - 1)!} \)
Yukarıda formülle elde edeceğimiz değer, \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) eşitliğini sağlayan farklı \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) çözümleri, dolayısıyla açılımdaki farklı terim sayısıdır.
Terim Bulma
\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n \) şeklindeki çok terimli bir ifadede \( k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \) koşulunu sağlayan belirli bir \( (k_1, k_2, \ldots, k_m) \) sıralı \( m \)'lisi için açılımdaki terim aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( \dfrac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \ldots x_m^{k_m} \)
\( (2a - 3b + 5c - 4d + e)^7 \) ifadesinde ilk 4 değişkenin derecelerinin 1 olduğu terim:
\( k_1 = k_2 = k_3 = k_4 = 1 \Longrightarrow k_5 = 3 \)
\( \dfrac{7!}{1!1!1!1!3!}(2a)^1(-3b)^1(5c)^1(-4d)^1e^3 \)
\( = \dfrac{7!}{3!} \cdot 120 \cdot abcde^3 \)
\( (3x^4 - 5x^3 + 2x - 1)(5x^3 + 7x^2 - 8x + 6) \) çarpımında \( x^5 \) 'li terimin katsayısı nedir?
Çözümü Göster\( x^5 \)'li terimler, ilk parantez içindeki terimlerin ikinci parantez içinde kendini \( x^5 \)'e tamamlayan terimlerle çarpımı ile oluşur. Örneğin \( 3x^4 \) terimi \( -8x \) terimi ile çarpıldığında \( x^5 \)'li bir terim oluşur.
Tüm bu çarpımları belirleyip katsayılarını toplayalım.
\( 3x^4 \cdot (-8x) + (-5x^3) \cdot 7x^2 \)
\( = -24x^5 - 35x^5 = -59x^5 \)
Buna göre \( x^5 \)'li terimin katsayısı \( -59 \)'dur.
\( (x^2 - y + 2z - 3t^2)^{11} \) ifadesinin açılımında \( x^4y^2 \) çarpanı olan kaç terim vardır?
Çözümü GösterDört terimli bir ifadenin açılımdaki terim sayısı \( a + b + c + d = n \) eşitliğinin çözüm kümesindeki farklı \( (a, b, c, d) \) sıralı dörtlülerinin sayısına eşittir.
\( x^4y^2 \)'li terim için \( a = 2 \) ve \( b = 2 \) değeri almaktadır. Buna göre, yukarıdaki eşitlik aşağıda şekle dönüşmektedir.
\( 2 + 2 + c + d = 11 \)
\( c + d = 7 \)
Buna göre, açılımda \( c + d = 7 \) eşitliğini sağlayan \( (c, d) \) sıralı ikilisi kadar \( x^4y^2 \)'li terim olacaktır.
Toplamları 7 olan doğal sayı 8 \( (c, d) \) ikilisi vardır.
\( (c, d) = \{(7, 0), (6, 1), \ldots, (0, 7)\} \)
Buna göre ifadenin açılımında \( x^4y^2 \)'li 8 terim bulunur.
\( (1 - k + m^2 - t)^{10} \) ifadesinin açılımındaki \( k^3m^8t^2 \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterÇok terimli ifadelerin açılımında belirli bir terim \( a + b + c + d = n \) olmak üzere aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{n!}{a!b!c!d!} \cdot x^a \cdot y^b \cdot z^c \cdot t^d \)
Bu formülü verilen ifadeye uygulayalım.
\( \dfrac{{10}!}{a!b!c!d!} \cdot 1^a \cdot (-k)^b \cdot (m^2)^c \cdot (-t)^d \)
İstenen terimde \( b = 3 \), \( c = 4 \) ve \( d = 2 \) olur.
Bu durumda \( a = 10 - 3 - 4 - 2 = 1 \) olur.
\( \dfrac{10!}{1!3!4!2!} \cdot 1^1 \cdot (-k)^3 \cdot (m^2)^4 \cdot (-t)^2 \)
\( = 12600 \cdot (-k^3) \cdot (m^8) \cdot (t^2) \)
\( = -12600k^3m^8t^2 \)
Buna göre \( k^3m^8t^2 \)'li terimin katsayısı -12600 olarak bulunur.
\( (1 - x^2 + x^3 + x^4)^4 \) ifadesinin açılımındaki tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi bir polinom olarak düşünürsek tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını \( \frac{P(1) - P(-1)}{2} \) formülü ile bulabiliriz.
\( P(1) = (1 - 1^2 + 1^3 + 1^4)^4 \)
\( = 2^4 = 16 \)
\( P(-1) = (1 - (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4)^4 \)
\( = 0^4 = 0 \)
Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı \( \frac{16 - 0}{2} = 8 \) olarak bulunur.
\( (x + x^2 - x^4 - x^5)^8 \) ifadesinin açılımındaki \( x^{11} \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadedeki \( x \) çarpanını ayıralım.
\( (x + x^2 - x^4 - x^5)^8 = (x(1 + x - x^3 - x^4))^8 \)
\( = x^8 \cdot (1 + x - x^3 - x^4)^8 \)
Buna göre tüm ifadenin açılımındaki terimler \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki her terimin \( x^8 \) ile çarpımından oluşur.
Dolayısıyla tüm ifadenin açılımındaki \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( (1 + x - x^3 - x^4)^8 \) ifadesinin açılımındaki \( x^3 \)'lü terimin katsayısına eşittir.
Verilen dört terimli ifadenin açılımındaki belirli bir terimin formülü aşağıdaki gibidir.
\( \dfrac{8!}{a!b!c!d!} 1^a x^b (-x^3)^c (-x^4)^d \)
\( = \dfrac{8!}{a!b!c!d!} x^{b + 3c + 4d} (-1)^c (-1)^d \)
\( a + b + c + d = 8 \) olmak üzere, \( x \)'in üssünün \( b + 3c + 4d = 3 \) olduğu iki durum aşağıdaki gibidir.
Durum 1: \( (a, b, c, d) = (7, 0, 1, 0) \)
\( \dfrac{8!}{7!0!1!0!} x^{0 + 3(1) + 4(0)} (-1)^1 (-1)^0 \)
\( = -8x^3 \)
Durum 2: \( (a, b, c, d) = (5, 3, 0, 0) \)
\( \dfrac{8!}{5!3!0!0!} x^{3 + 3(0) + 4(0)} (-1)^0 (-1)^0 \)
\( = 56x^3 \)
\( x^{11} \)'li terimin katsayısı bu iki terimin toplanması ile elde edilen terimin katsayısıdır.
Bu durumda \( x^{11} \)'li terimin katsayısı \( -8 + 56 = 48 \) olarak bulunur.