Modüler Aritmetikte İşlemler

Modüler aritmetikte sayılar arasında toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini standart aritmetiğe benzer şekilde yapabiliriz, aradaki temel fark elde ettiğimiz işlem sonucunu modülündeki kalanına çevirmektir.

Toplama İşlemi

İki sayının modülünde toplamının sonucu, sayıların aritmetik toplamının modülünde kalanına eşittir.

Toplama İşlem Tablosu

İki sayının belirli bir modüldeki tüm kalanlarının aralarındaki toplama işlemlerinin sonucunu bir tablo halinde gösterebiliriz. Bu tabloda satır ve sütun başlıkları toplama işleminin terimleri, ilgili satır ve sütunun kesişimindeki hücredeki sayı da işlem sonucudur. Aşağıda modülü için toplama işlem tablosu verilmiştir.

Yukarıdaki tabloya göre modülünde bir toplama işlemi aşağıdaki gibidir.

Toplama İşlem Özellikleri

Toplama işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği vardır.

Toplama işleminin modüler aritmetikte birleşme özelliği vardır.

Bir Sayının Toplamaya Göre Tersi

Bir sayısının modülünde toplamaya göre tersi aşağıdaki koşulu sağlayan sayıdır. Bu sayı aynı zamanda toplama işlem tablosunda sayısı ile işlem sonucu olan sayıdır.

ÖRNEK:

5 sayısının 7 modülünde toplamaya göre tersi:

Toplama İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafını aynı tam sayı ile toplamamız denkliği bozmaz.

ise,

ÖRNEK:

Denkliğin iki tarafına +3 ekleyelim.

İSPATI GÖSTER

İki sayı modülünde denk ise, bu iki sayının farkını böler.

Denkliğin iki tarafını aynı sayı ile toplarsak, tarafların farkı değişmez.

Bu yüzden bu iki sayının farkını da böler.

iki sayının farkını bölüyorsa, bu iki sayı modülünde denktir.

İspatta hata bildirin

İki denkliği taraf tarafa toplamamız denkliği bozmaz.

ise,

ÖRNEK:

İki denkliği taraf tarafa toplayalım.

İSPATI GÖSTER

İki eşitliği taraf tarafa toplayalım ve terimleri düzenleyelim.

Sol taraftaki fark ifadesini 'nin bir tam sayı katı şeklinde yazabildiğimiz için, bu farkı böler, dolayısıyla bu farkın terimleri modülünde denktir.

İspatta hata bildirin

Çıkarma İşlemi

İki sayı arasında modülünde çıkarma işleminin sonucu, sayıların aritmetik farkının modülünde kalanına eşittir.

Çıkarma İşlem Özellikleri

Çıkarma işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği yoktur.

Çıkarma İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafından aynı tam sayıyı çıkarmamız denkliği bozmaz.

ise,

ÖRNEK:

Denkliğin iki tarafından 10 çıkaralım.

İki denkliği taraf tarafa çıkarmamız denkliği bozmaz.

ise,

ÖRNEK:

İki denkliği taraf tarafa çıkaralım.

Çarpma İşlemi

İki sayının modülünde çarpımının sonucu, sayıların aritmetik çarpımının modülünde kalanına eşittir.

Çarpma İşlem Tablosu

İki sayının belirli bir modüldeki tüm kalanlarının aralarındaki çarpma işlemlerinin sonucunu bir tablo halinde gösterebiliriz. Bu tabloda satır ve sütun başlıkları çarpma işleminin terimleri, ilgili satır ve sütunun kesişimindeki hücredeki sayı da işlem sonucudur. Aşağıda modülü için çarpma işlem tablosu verilmiştir.

Yukarıdaki tabloya göre modülünde bir çarpma işlemi aşağıdaki gibidir.

Çarpma İşlem Özellikleri

Çarpma işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği vardır.

Çarpma işleminin modüler aritmetikte birleşme özelliği vardır.

Çarpma İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafını aynı tam sayı ile çarpmamız denkliği bozmaz.

ise,

ÖRNEK:

Denkliğin iki tarafını 3 ile çarpalım.

İSPATI GÖSTER

İki sayı modülünde denk ise, bu iki sayının farkını böler.

Denkliğin iki tarafını aynı sayı ile çarparsak, denkliğin taraflarının farkı aşağıdaki gibi olur.

sayısı iki sayının farkını bölüyorsa (bu farkın bir çarpanı ise), bu farkın bir tam sayı katını da böler (bu çarpım sonucunun da bir çarpanıdır).

iki sayının farkını bölüyorsa, bu iki sayı modülünde denktir.

İspatta hata bildirin

İki denkliği taraf tarafa çarpmamız denkliği bozmaz.

ÖRNEK:

İki denkliği taraf tarafa çarpalım.

Bölme İşlemi

Modüler aritmetikte bir denkliğin iki tarafını bir sayıya, sadece bu sayı işlemin modülü ile aralarında asal ise bölebiliriz.

ve aralarında asal sayılar olmak üzere,

ise,

ÖRNEK:

3 ve 5 aralarında asal sayılar olduğu için, iki tarafı 3'e bölebiliriz.

2 ve 8 aralarında asal olmadığı için, iki tarafı 2'ye bölersek denklik sağlanmaya devam etmez.

İSPATI GÖSTER

İki sayı denk ise, iki sayının farkını böler.

ve 'nın aralarında asal olduğunu kabul ettiğimiz için, 'yi bölemez, dolayısıyla 'yi bölüyor olmak zorundadır ( içinde çarpanı bulunmak zorundadır).

, ve farkını böldüğü için, bu iki sayı modülünde denktir.

İspatta hata bildirin

Üs İşlemi

Bir denkliğin iki tarafının aynı pozitif tam sayı kuvvetini almamız denkliği bozmaz.

olmak üzere,

ise,

ÖRNEK:

Üs işleminin tekrarlı çarpma olduğunu düşünürsek bu kuralın iki denkliğin taraf tarafa çarpımı kuralının bir uzantısı olduğunu görebiliriz.