Mutlak Değer İşlem Kuralları
Mutlak değerli ifadelerle işlemlerde aşağıdaki kurallar geçerlidir.
Temel Kurallar
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri hiçbir zaman negatif olamaz. Bir diğer deyişle, bir sayının sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı negatif olamaz.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( \abs{-2} \ge 0 \)
İSPATI GÖSTER
\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi pozitif ya da sıfır olur.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( x \ge 0 \)
\( x \ge 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Durum 2: \( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( -x \ge 0 \)
\( x \lt 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Buna göre eşitsizliğin her durumda geçerli olduğunu söyleyebiliriz.
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri sıfırsa o sayı/ifade sıfırdır. Bir diğer deyişle, sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı sıfır olan tek nokta sıfır noktasıdır.
\( \abs{x} = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \)
Bir sayı her zaman mutlak değerine eşittir ya da ondan küçüktür.
\( x \le \abs{x} \)
\( 5 \le \abs{5} \)
\( -5 \le \abs{-5} \)
İSPATI GÖSTER
\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi pozitif olur.
\( x \le \abs{x} \)
\( x \le x \)
Taraflar birbirine eşit olduğu için eşitsizlik sağlanır.
Durum 2: \( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur.
\( x \le \abs{x} \)
\( x \le -x \)
\( x \lt 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Buna göre eşitsizliğin her durumda geçerli olduğunu söyleyebiliriz.
Bir sayının mutlak değeri pozitif olduğu için, ikinci (ya da daha fazla) kez mutlak değerinin alınması sonucu değiştirmez.
\( \abs{\abs{x}} = \abs{x} \)
\( \abs{\abs{\abs{x}}} = \abs{x} \)
\( \abs{\abs{-3}} = \abs{-3} = 3 \)
İki sayının farkının mutlak değeri sıfıra eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bir diğer deyişle, iki noktanın sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık sıfır ise bu iki sayı aynı noktaya karşılık gelir.
\( \abs{x - y} = 0 \Longleftrightarrow x = y \)
\( \abs{x - 3} = 0 \Longleftrightarrow x = 3 \)
\( \abs{x + 5} = \abs{x - (-5)} = 0 \Longleftrightarrow x = -5 \)
Çarpma İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir.
\( \abs{x \cdot y} = \abs{x} \cdot \abs{y} \)
\( \abs{-3x} = \abs{-3} \cdot \abs{x} = 3\abs{x} \)
\( \abs{x^2 - 4} = \abs{(x - 2)(x + 2)} \) \( = \abs{x - 2} \cdot \abs{x + 2} \)
Mutlak değer içindeki çarpanlardan birinin pozitif olduğu biliniyorsa bu çarpan mutlak değer dışına olduğu gibi çıkarılabilir.
\( k \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{kx} = k\abs{x} \)
\( \abs{3x} = 3\abs{x} \)
Bir sayının kendisinin ve negatifinin mutlak değerleri eşittir. Bir diğer deyişle, bir sayının ve ters işaretlisinin sayı doğrusu üzerinde orijine olan uzaklıkları eşittir.
\( \abs{x} = \abs{-x} \)
\( \abs{3} = \abs{-3} = 3 \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{-x} = \abs{(-1) \cdot x} = \abs{-1} \cdot \abs{x} = \abs{x} \)
Yukarıdaki kuralın bir uygulaması olarak, iki terimli bir ifadede terimlerin aralarında yer değiştirmesi mutlak değerin sonucunu değiştirmez. Bir diğer deyişle, iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık işlem sırasından bağımsız olarak aynıdır.
\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)
\( \abs{1 - \sqrt{2}} = \abs{\sqrt{2} - 1} \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{x - y} = \abs{-(x - y)} = \abs{y - x} \)
Bölme İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin bölümünün mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin bölümü şeklinde yazılabilir.
\( y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)
\( \abs{\dfrac{6}{-3}} = \dfrac{\abs{6}}{\abs{-3}} = 2 \)
Üs İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, üslü bir ifadenin mutlak değeri mutlak değerli ifadenin üssü olarak yazılabilir.
\( \abs{x^n} = {\abs{x}}^n \)
\( \abs{5^2} = \abs{5}^2 = 25 \)
\( \abs{(-5)^2} = \abs{-5}^2 = 25 \)
Sık Yapılan Hatalar
Mutlak değer işleminde önemli olan mutlak değer içindeki değişkenin önündeki işaret değil, bu değişken gerçek değerini aldığında bu değerin işaretidir. Bu yüzden, bir \( x \) değişkeninin değerinin işareti bilinmiyorsa değişkenin işaretine bakarak \( \abs{-x} \) ifadesi mutlak değerden \( +x \) olarak çıkarılmamalıdır.
YANLIŞ: \( \abs{-x} = x \)
DOĞRU: \( \abs{-x} = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( a, b, c \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \)
\( \abs{abc} = -abc \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?
I. \( c \) negatiftir.
II. \( \dfrac{a}{b} - c \gt 0 \)
III. \( bc \) çarpımı pozitif ise \( a \) pozitiftir.
Çözümü Göster\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \) ise \( a \) ve \( b \) aynı işaretli olmak zorundadır.
\( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğuna göre çarpımları pozitiftir.
Buna göre, \( \abs{abc} = -abc \) eşitliğinin sağlanması için \( \abs{c} = -c \) olmalı, yani \( c \) negatif olmalıdır.
Bu doğrultuda verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül: Bu öncül daima doğrudur.
II. öncül: \( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğu için \( \frac{a}{b} \) pozitiftir. \( c \) negatif işaretli olduğu için pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur. Bu öncül daima doğrudur.
III. öncül: \( bc \) pozitif ise \( b \) negatif olur. \( a \) ile \( b \) aynı işaretli olduğu için bu durumda \( a \) da negatif olur. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller daima doğrudur.
\( \abs{x - 1} + \abs{x - 3} + \abs{x - 5} + \ldots + \abs{x - 17} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.
\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.
\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.
\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.
Verilen ifadede terim sayısı 9'dur ve bir tek sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca terim olan \( \abs{x - 9} \) terimini sıfır yapan \( x = 9 \) noktasında alır.
\( x = 9 \) için ifadenin değerini bulalım.
\( 8 + 6 + 4 + 2 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 40 \) bulunur.
\( x \) bir pozitif tam sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 13} + \abs{x - 97} + \abs{x + 23} + \abs{x + 37} + \abs{x - 19} + \abs{x - 53} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.
\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.
\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.
\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.
Verilen ifadede terim sayısı 6'dır ve bir çift sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca iki terimi sıfır yapan değerler arasındaki \( x \in [13, 19] \) aralığında alır.
Bu aralıkta bir değer olan \( x = 15 \) için ifadenin değerini bulalım.
\( 2 + 82 + 38 + 52 + 4 + 38 = 216 \) bulunur.
\( k \) çift sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 2} + \abs{x - 3} + \ldots + \abs{x - k} \)
toplamının en küçük değeri 42 olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.
\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.
\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.
\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.
Verilen ifadede \( k \) çift sayı olduğuna göre terim sayısı tek sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca terimi sıfır yapan \( x = t \) değerinde alır.
Bu değeri ifadede yerine koyduğumuzda toplam aşağıdaki şekilde oluşur.
\( (t - 2) + (t - 3) + \ldots + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + \ldots + (t - k) \)
Ortanca terimin solundaki ve sağındaki terimlerin mutlak değeri alındığı için toplamları birbirine eşittir.
Buna göre ortanca terimin sağındaki terimlerin toplamı 21 olmalıdır.
1'den başlayarak ardışık devam eden \( n \) sayının toplamı \( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( \dfrac{n(n + 1)}{2} = 21 \)
\( n = 6 \) bulunur.
Buna göre ifadede ortanca terimden önce ve sonra 6'şar olmak üzere toplam 13 terim bulunmaktadır.
Buna göre \( k = 14 \) olarak bulunur.