Ters Trigonometrik Özdeşlikler

\( \arcsin{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.

\( \sin{x} = \dfrac{2}{3} \)

Bir açının sinüsü \( \frac{2}{3} \) ise karşı kenara 2k, hipotenüse 3k diyebiliriz, bu durumda komşu kenar Pisagor teoreminden \( \sqrt{5}k \) olur.

\( (2k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 = (3k)^2 \)

Tanjant değerini karşı kenarın komşu kenara oranı olarak aşağıdaki gibi buluruz.

\( \tan{x} = \dfrac{2k}{\sqrt{5}k} \)

\( = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \) bulunur.

\( \arccos{x} = a \) diyelim.

\( \cos{a} = x \)

Bir \( a \) açısının kosinüsü \( x \) ise komşu kenara x, hipotenüse 1 diyebiliriz, bu durumda karşı kenar Pisagor teoreminden \( \sqrt{1 - x^2} \) olur.

\( \tan{a} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \)

\( \tan(\arccos{x}) = \tan{a} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \) bulunur.

\( 6\arccot(2x) = \pi \)

\( \arccot(2x) = \dfrac{\pi}{6} \)

Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.

\( \cot{\dfrac{\pi}{6}} = 2x \)

\( \sqrt{3} = 2x \)

\( x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} = a \) diyelim.

\( \tan{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( a = \dfrac{\pi}{6} \)

Bu değeri verilen denklemde yerine koyalım.

\( \arccos{x} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \)

\( \arccos{x} = \dfrac{\pi}{3} \)

\( \cos{\dfrac{\pi}{3}} = x \)

\( x = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

\( \arccot{\dfrac{4}{3}} = x \) diyelim.

Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.

\( \cot{x} = \dfrac{4}{3} \)

Komşu kenarın karşı kenara oranı \( \frac{4}{3} \) ise bu bir 3-4-5 üçgenidir.

Buna göre \( \sin{x} = \frac{3}{5} \) ve \( \cos{x} = \frac{4}{5} \) olur.

\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{5} \) bulunur.

\( \arcsin{x} = \arccot{\dfrac{2}{3}} = m \) diyelim.

\( \sin{m} = x \) ve \( \cot{m} = \dfrac{2}{3} \) olur.

\( m \) açısının kotanjantı \( \frac{2}{3} \) ise komşu kenara 2k, karşı kenara 3k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{13}k \) olur.

\( (2k)^2 + (3k)^2 = (\sqrt{13}k)^2 \)

Bu kenar oranlarını kullanarak sinüs oranını aşağıdaki gibi buluruz.

\( \sin{m} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} \)

Buna göre \( x = \sin{m} = \dfrac{3 \sqrt{13}}{13} \) bulunur.

\( \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = x \) diyelim.

\( \arccos(-\frac{1}{2}) = y \) diyelim.

\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( x = \dfrac{\pi}{3} \)

\( \cos{y} = - \dfrac{1}{2} \)

\( y = \dfrac{2\pi}{3} \)

Buna göre \( x + y = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi \) bulunur.

\( 9\arccot(x - \sqrt{3}) = 3\pi \)

\( \arccot(x - \sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3} \)

Eşitliğin iki tarafının kotanjantını alalım.

\( \cot(\arccot(x - \sqrt{3})) = \cot{\dfrac{\pi}{3}} \)

Kotanjant ve ters kotanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.

\( x - \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \) bulunur.

\( 9\arccos(x + 1) = 3\pi \)

\( \arccos(x + 1) = \dfrac{\pi}{3} \)

Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.

\( x + 1 = \cos{\dfrac{\pi}{3}} \)

\( x + 1 = \dfrac{1}{2} \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.

\( \arccot{3} = x \) diyelim.

Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.

\( \cot{x} = 3 \)

\( x \) açısının kotanjantı 3 ise komşu kenara 3k, karşı kenara k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{10}k \) olur.

\( k^2 + (3k)^2 = (\sqrt{10}k)^2 \)

\( \cos(\dfrac{\pi}{2} + \arccot{3}) = \cos(\dfrac{\pi}{2} + x) \)

\( = -\sin{x} \)

\( = -\dfrac{1}{\sqrt{10}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{10} \) bulunur.

\( \arcsin{1} = x \) diyelim.

\( \sin{x} = 1 \Longrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \) olur.

\( \arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = y \) diyelim.

\( \cos{y} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow y = \dfrac{\pi}{6} \) olur.

\( \tan(\arcsin{1} + 2\arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}) = \tan(x + 2y) \)

\( = \tan(\dfrac{\pi}{2} + 2\dfrac{\pi}{6}) \)

\( = \tan{\dfrac{5\pi}{6}} \)

Tanjant fonksiyonu II. bölgede negatiftir.

\( = -\tan{\dfrac{\pi}{6}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \) bulunur.

\( f^{-1}(\pi) = a \) diyelim.

\( f(a) = \pi \) olur.

\( f(x) = 4\arccos{\dfrac{x}{3}} \)

\( f(a) = 4\arccos{\dfrac{a}{3}} = \pi \)

\( \arccos{\dfrac{a}{3}} = \dfrac{\pi}{4} \)

Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.

\( \cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{a}{3} \)

\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a}{3} \)

\( a = \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \) olur.

\( \arccot{\dfrac{3}{4}} = x \) diyelim.

\( \cot{x} = \dfrac{3}{4} \) olur.

\( x \) açısının kotanjantı \( \frac{3}{4} \) ise komşu kenara 3k, karşı kenara 4k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( 5k \) olur.

\( (3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \)

\( \sin{x} = \dfrac{4}{5} \)

\( \cos{x} = \dfrac{3}{5} \)

\( \sin{(2\arccot{\dfrac{3}{4}})} = \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25} \) bulunur.

\( \arcsin{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.

\( \sin{x} = \dfrac{2}{3} \) olur.

\( \cos{(2\arcsin{\dfrac{2}{3}})} = \cos(2x) \)

Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.

\( = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( = 1 - 2(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9} \) bulunur.

\( \sin^{-1}{x} = y \) diyelim.

\( \sin{y} = x \)

\( \cos(2\sin^{-1}{x}) = \cos(2y) \)

Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.

\( = 1 - 2\sin^2{y} \)

\( \sin{y} = x \) olarak bulmuştuk.

\( 1 - 2x^2 \) bulunur.

İfadeyi içten dışa doğru giderek çözelim.

\( \sin^{-1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = a \) diyelim.

\( \sin{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( a = \dfrac{\pi}{3} \)

\( \sin^{-1}[\cos(\sin^{-1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}})] = \sin^{-1}(\cos{\dfrac{\pi}{3}}) \)

\( = \sin^{-1}{\dfrac{1}{2}} \)

\( \sin^{-1}{\dfrac{1}{2}} = b \) diyelim.

\( \sin{b} = \dfrac{1}{2} \)

\( b = \dfrac{\pi}{6} \)

Cevap \( \frac{\pi}{6} \) olarak bulunur.

\( \arctan{4} = \alpha \Longrightarrow \tan{\alpha} = 4 \)

\( \arccot{4} = \beta \Longrightarrow \cot{\beta} = 4 \)

\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \) olduğuna göre \( \alpha \) ve \( \beta \) tümler açılardır.

\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2} \)

\( \sin(\arctan{4} + \arccot{4}) \)

\( = \sin(\alpha + \beta) \)

\( = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \) olur.

Parantez içindeki açı IV. bölgededir ve bu bölgede tanjant negatiftir.

\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \arcsin{\frac{3}{5}}) = -\cot(\arcsin{\frac{3}{5}}) \)

\( \arcsin{\frac{3}{5}} = x \Longrightarrow \arcsin{x} = \dfrac{3}{5} \)

\( x \) açısının sinüsü \( \frac{3}{5} \) ise karşı kenara 3k, hipotenüse 5k diyebiliriz, bu durumda komşu kenar Pisagor teoreminden \( 4k \) olur.

Buna göre \( x \) açısının kotanjantı \( \frac{4}{3} \) olur.

\( = -\cot(\arcsin{\frac{3}{5}}) \)

\( = -\cot(x) = -\dfrac{4}{3} \)

Tanjant fark formülünü kullanalım.

\( \tan(x - y) = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x}\tan{y}} \)

\( \tan(\arctan{5} - \arctan{4}) = \dfrac{\tan(\arctan{5}) - \tan(\arctan{4})}{1 + \tan(\arctan{5})\tan(\arctan{4})} \)

Tanjant ve ters tanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.

\( = \dfrac{5 - 4}{1 + 5 \cdot 4} = \dfrac{1}{21} \) bulunur.

\( \arccos{\dfrac{4}{5}} = \alpha \) diyelim.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{4}{5} \) olur.

\( 2\alpha = \arccos{x} \)

\( \cos(2\alpha) = x \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( 2\cos^2{\alpha} - 1 = x \)

\( 2(\dfrac{4}{5})^2 - 1 = x \)

\( \dfrac{32}{25} - 1 = x \)

\( x = \dfrac{7}{25} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{1}{2}} = y \) diyelim.

\( \tan{y} = \dfrac{1}{2} \) olur.

\( y \) açısı için bir dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarı bulalım.

\( \cos{y} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

Soruda verilen eşitliği düzenleyelim.

\( 2\arctan{\dfrac{1}{2}} = \arccos{x} \)

\( 2y = \arccos{x} \)

Bu eşitlikte iki tarafın kosinüsünü alalım.

\( \cos(2y) = \cos(\arccos{x}) \)

Kosinüs ve ters kosinüs birbirinin tersi fonksiyonlardır.

\( \cos(2y) = x \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( 2\cos^2{y} - 1 = x \)

\( 2(\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 - 1 = x \)

\( x = \dfrac{3}{5} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.

\( \tan{x} = \dfrac{2}{3} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{4}{5}} = y \) diyelim.

\( \tan{y} = \dfrac{4}{5} \) olur.

\( x + y = \arctan{a} \)

Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.

\( \tan(x + y) = \tan(\arctan{a}) \)

Tanjant ve ters tanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.

\( \tan(x + y) = a \)

Tanjant toplam formülünü kullanalım.

\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x}\tan{y}} \)

\( a = \dfrac{\frac{2}{3} + \frac{4}{5}}{1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}} \)

\( = \dfrac{\frac{22}{15}}{\frac{7}{15}} = \dfrac{22}{7} \) bulunur.

Eşitliğin değerine \( \alpha \) diyelim.

\( \arcsin{x} = \arccos(2x) = \alpha \)

\( \sin{\alpha} = x \) olur.

\( \cos{\alpha} = 2x \) olur.

İkinci eşitlikte \( x = \sin{\alpha} \) yazalım.

\( \cos{\alpha} = 2\sin{\alpha} \)

\( \tan{\alpha} = \dfrac{1}{2} \)

\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

Üçgeni kullanarak \( \sin{\alpha} \) değerini bulalım.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)

\( \sin{\alpha} \) \( x \)'e eşittir.

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)

\( \arctan{\dfrac{3}{x}} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{3}{x} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{2x}{9}} = 2\alpha \)

\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2x}{9} \) olur.

Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)

\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{2 \cdot \frac{3}{x}}{1 - (\frac{3}{x})^2} \)

\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{\frac{6}{x}}{\frac{x^2 - 9}{x^2}} \)

\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{6x}{x^2 - 9} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2x^3 - 18x = 54x \)

\( 2x^3 - 72x = 0 \)

\( 2x(x - 6)(x + 6) = 0 \)

\( x = 0 \) değeri \( \frac{3}{x} \) ifadesini tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-6, 6\} \)

\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = x \) olur.

\( \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = \dfrac{1 - x}{1 + x} \) olur.

İşlemin sonucuna \( a \) diyelim.

\( \arctan{x} + \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = a \)

\( \alpha + \beta = a \)

Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.

\( \tan(\alpha + \beta) = \tan{a} \)

\( \tan{a} = \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

Bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.

\( = \dfrac{x + \frac{1 - x}{1 + x}}{1 - x \cdot \frac{1 - x}{1 + x}} \)

\( = \dfrac{\frac{x + x^2 + 1 - x}{1 + x}}{\frac{1 + x - x + x^2}{1 + x}} \)

\( = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1 \)

Tanjant değeri 1 olan açı ölçüsü \( \frac{\pi}{4} \)'tür.

\( a = \dfrac{\pi}{4} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{1 - x}{1 + x} \) olur.

\( 2\alpha = \arctan{x} \)

\( x = \tan(2\alpha) \)

Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)

\( x = \dfrac{2\frac{1 - x}{1 + x}}{1 - (\frac{1 - x}{1 + x})^2} \)

\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{1 - \frac{1 - 2x + x^2}{1 + 2x + x^2}} \)

\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{\frac{1 + 2x + x^2 - 1 + 2x - x^2}{1 + 2x + x^2}} \)

\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{\frac{4x}{(1 + x)^2}} \)

\( x = \dfrac{1 - x^2}{2x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2x^2 = 1 - x^2 \)

\( 3x^2 = 1 \)

\( x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( x \)'in negatif değeri için eşitliğin sol tarafı pozitif sağ tarafı negatif olduğu için \( x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.

\( x = \tan{\alpha} \) olur.

\( \sin(2\arctan{x}) = \sin(2\alpha) \)

Sinüs iki açı formülünü kullanalım.

\( = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \)

\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)

\( \sin{\alpha} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.

\( = 2\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)

\( = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{x - 4}{x - 3}} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{x - 4}{x - 3} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{x - 5}{x - 1}} = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = \dfrac{x - 5}{x - 1} \) olur.

Soruda verilen eşitlikte yerine yazalım.

\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{4} \)

Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.

\( \tan(\alpha + \beta) = \tan{\dfrac{\pi}{4}} = 1 \)

Tanjant toplam formülünü kullanalım.

\( \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}} = 1 \)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.

\( \dfrac{\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{x - 5}{x - 1}}{1 - \frac{x - 4}{x - 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 1}} = 1 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( \dfrac{x - 4}{x - 3} + \dfrac{x - 5}{x - 1} = 1 - \dfrac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 3)(x - 1)} \)

\( \dfrac{x^2 - 5x + 4 + x^2 - 8x + 15}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{x^2 - 4x + 3 - (x^2 - 9x + 20)}{(x - 3)(x - 1)} \)

\( \dfrac{2x^2 - 13x + 19}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{5x - 17}{(x - 3)(x - 1)} \)

Çözüm kümesinin \( x = 1 \) ya da \( x = 3 \) içeremeyeceğini not ederek paydaları sadeleştirelim.

\( 2x^2 - 13x + 19 = 5x - 17 \)

\( 2x^2 - 18x + 36 = 0 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

\( (x - 3)(x - 6) = 0 \)

\( x = 3 \) sorudaki kesirli ifadeyi tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 6 \)

Trigonometrik ifadeyi yalnız bırakalım.

\( 8\arctan(2x^2 - 5x + 1) = -2\pi \)

\( \arctan(2x^2 - 5x + 1) = -\dfrac{\pi}{4} \)

\( \tan(-\dfrac{\pi}{4}) = 2x^2 - 5x + 1 \)

\( 2x^2 - 5x + 1 = -1 \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

\( (2x - 1)(x - 2) = 0 \)

Denklemin çözümü bu çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \)

\( \arccot(12x) = \arctan(3x) = \alpha \) diyelim.

\( \cot{\alpha} = 12x \) olur.

\( \tan{\alpha} = 3x \) olur.

Bir açının tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımı 1'dir.

\( \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} = 36x^2 = 1 \)

\( x^2 = \dfrac{1}{36} \)

\( x = \pm \dfrac{1}{6} \)

\( x \)'in pozitif değeri \( \frac{1}{6} \) olarak bulunur.

\( \arcsin(-\frac{5}{13}) = x \) diyelim.

\( \sin{x} = -\dfrac{5}{13} \) olur.

Arc sinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde tanımlı olduğu için sinüs değeri negatif olan \( x \) açısı IV. bölgededir.

\( \arcsin{\frac{24}{25}} = y \) diyelim.

\( \sin{y} = \dfrac{24}{25} \) olur.

Arc sinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde tanımlı olduğu için sinüs değeri pozitif olan \( x \) açısı I. bölgededir.

\( x \) ve \( y \) açıları için birer dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarları bulalım.

Üçgenleri kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranları bulalım.

\( \tan{x} = -\dfrac{5}{12} \)

\( \cos{y} = \dfrac{7}{25} \)

\( \tan(\arcsin(-\frac{5}{13})) + \cos(\arcsin{\frac{24}{25}}) = \sin{x} + \cos{y} \)

\( = -\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{25} = -\dfrac{41}{300} \) bulunur.

Bir trigonometrik fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( \sin(\arcsin(x^2)) = x^2 \)

\( \arcsin(\sin(2x)) = 2x \)

\( x^2 - 2x = -\dfrac{3}{4} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 4x^2 - 8x = -3 \)

\( 4x^2 - 8x + 3 = 0 \)

\( (2x - 1)(2x - 3) = 0 \)

\( x = \frac{1}{2} \) ya da \( x = \frac{3}{2} \)

Ters sinüs fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır, buna göre \( x = \frac{3}{2} \) değeri geçerli bir çözüm değildir.

\( \arcsin{\frac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{6} \) bulunur.

\( \arcsin(\cos{x}) = \alpha \) diyelim.

\( \sin{\alpha} = \cos{x} \) olur.

\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarı bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{1 - \cos^2{x}} = \sin{x} \)

Üçgeni kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranı bulalım.

\( \tan(\arcsin(\cos{x})) = \tan{\alpha} \)

\( = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)

\( = \cot{x} \) bulunur.

\( \arccsc{\dfrac{13}{5}} = x \) diyelim.

\( \csc{x} = \dfrac{13}{5} \) olur.

\( \sin{x} = \dfrac{5}{13} \)

\( x \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

Üçgeni kullanarak \( \cos{x} \) değerini bulalım.

\( \cos{x} = \dfrac{12}{13} \)

\( \cos(\pi - \dfrac{x}{2}) = -\cos{\frac{x}{2}} \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos{x} = 2\cos^2{\dfrac{x}{2}} - 1 \)

\( 2\cos^2{\dfrac{x}{2}} - 1 = \dfrac{12}{13} \)

\( \cos^2{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{25}{26} \)

\( \cos{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{5}{\sqrt{26}} = \dfrac{5\sqrt{26}}{26} \)

\( \cos(\pi - \dfrac{x}{2}) = -\cos^2{\dfrac{x}{2}} = -\dfrac{5\sqrt{26}}{26} \) bulunur.

\( \tan(\cos^{-1}(\sin(\sec^{-1}{\dfrac{13}{5}}))) \)

\( \sec^{-1}{\dfrac{13}{5}} = \alpha \) diyelim.

\( = \tan(\cos^{-1}(\sin{\alpha})) \)

\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{12}{13} \)

\( = \tan(\cos^{-1}{\dfrac{12}{13}}) \)

\( \cos^{-1}{\dfrac{12}{13}} = \beta \) diyelim.

\( = \tan{\beta} \)

\( \beta \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

\( \tan{\beta} = \dfrac{5}{12} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{1}{3}} = x \) diyelim.

\( \tan{x} = \dfrac{1}{3} \) olur.

\( \arccot{2} = y \) diyelim.

\( \cot{y} = 2 \Longrightarrow \tan{y} = \dfrac{1}{2} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2} = a \) diyelim.

Eşit açıların trigonometrik değerleri de eşit olur.

\( \tan(\arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2}) = \tan{a} \)

\( \tan(x + y) = \tan{a} \)

Tanjant toplam formülünü kullanalım.

\( = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} = \dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \)

\( = \dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 = \tan{a} \)

Buna göre \( a = \dfrac{\pi}{4} \) olur.

\( \alpha \) açısının altındaki açıya \( \beta \) diyelim.

\( \alpha \) açısını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \alpha = (\alpha + \beta) - \beta \)

\( \alpha + \beta \) değerini bulalım.

\( \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{a + b}{c} \)

\( \alpha + \beta = \arctan{\dfrac{a + b}{c}} \)

\( \beta \) değerini bulalım.

\( \tan{\beta} = \dfrac{b}{c} \)

\( \beta = \arctan{\dfrac{b}{c}} \)

Bu iki değeri yukarıdaki formülde yerine koyalım.

\( \alpha = (\alpha + \beta) - \beta \)

\( = \arctan{\dfrac{a + b}{c}} - \arctan{\dfrac{b}{c}} \)

\( \arccot(x - 1) = \arctan(x + 2) \)

Bu eşitliğin değerine \( \beta \) diyelim.

\( \arccot(x - 1) = \arctan(x + 2) = \beta \)

\( \arccot(x - 1) = \beta \Longrightarrow \cot{\beta} = x - 1 \)

\( \arctan(x + 2) = \beta \Longrightarrow \tan{\beta} = x + 2 \)

Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.

\( \tan{\beta} \cdot \cot{\beta} = 1 \)

\( (x - 1)(x + 2) = 1 \)

\( x^2 + x - 3 = 0 \)

2. derece denklem kök formülü ile kökler aşağıdaki gibi bulunur.

\( x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} \)

\( x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \)

Çözüm kümesi: \( x = \{ -\frac{\sqrt{13} + 1}{2}, \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \} \)

\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.

\( x = \tan{\alpha} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{1}{x}} = \beta \) diyelim.

\( \dfrac{1}{x} = \tan{\beta} \) olur.

\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.

Bu üçgende \( \alpha \) açısının tümler açısı olan açı için \( \frac{1}{x} \) tanjant oranı sağladığı için bu tümler açı \( \beta \) olur.

\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2} \) olarak bulunur.

\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} = x \) diyelim.

\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \) olur.

\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} = y \) diyelim.

\( \cos{y} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \) olur.

\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} + \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} = \alpha \) diyelim.

\( x + y = \alpha \)

Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.

\( \cos(x + y) = \cos{\alpha} \)

Kosinüs toplam formülünü kullanalım.

\( \cos(x + y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} \)

\( x \) ve \( y \) açıları için birer dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarları bulalım.

Üçgenleri kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranları bulalım.

\( \sin{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

\( \sin{y} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \)

\( \cos(x + y) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} - \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} \)

\( = \dfrac{1}{\sqrt{50}} - \dfrac{6}{\sqrt{50}} = -\dfrac{5}{\sqrt{50}} \)

\( = -\dfrac{5}{5\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos{\alpha} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Ters kosinüsü alınan \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) ve \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) değerleri pozitif olduğu için \( x \) ve \( y \) dar açılardır.

\( \dfrac{\pi}{2} \lt x + y \lt \pi \)

\( \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi \)

\( \alpha = \dfrac{3\pi}{4} \) bulunur.

\( \arctan(\sin{x}) = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = \sin{x} \) olur.

\( \arctan(2\sec{x}) = 2\alpha \)

\( \tan(2\alpha) = 2\sec{x} \) olur.

Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)

\( 2\sec{x} = \dfrac{2\sin{x}}{1 - \sin^2{x}} \)

\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \dfrac{\sin{x}}{1 - \sin^2{x}} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \)

\( \cos^2{x} = \sin{x}\cos{x} \)

\( \cos^2{x} - \sin{x}\cos{x} = 0 \)

\( \cos{x}(\cos{x} - \sin{x}) = 0 \)

Denklemin çözümü bu çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

Çarpan 1: \( \cos{x} = 0 \)

Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında 0 değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.

\( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)

Çarpan 2: \( \cos{x} - \sin{x} = 0 \)

\( \cos{x} = \sin{x} \)

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 1 \)

\( \tan{x} = 1 \)

Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında 1 değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.

\( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\} \)

Denklemin çözüm kümesi iki çarpanın çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\} \)

Sinüsü alınan ifade için genel çözümü yazalım.

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \arcsin{\dfrac{3}{5}} + \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \)

Ters sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığı, ters kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [0, \pi] \) aralığıdır.

Buna göre iki fonksiyonun toplamının en geniş görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) olabilir, dolayısıyla \( k \) sadece 1 olabilir.

\( \arcsin{\dfrac{3}{5}} + \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} \)

\( \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin{\dfrac{3}{5}} \)

Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.

\( x = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \arcsin{\dfrac{3}{5}}) \)

Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = \sin(\arcsin{\dfrac{3}{5}}) \)

Sinüs ve ters sinüs birbirinin tersi fonksiyonlardır.

\( = \dfrac{3}{5} \) bulunur.

\( \arctan(3x) = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = 3x \) olur.

\( \arctan{2} = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = 2 \) olur.

\( \tan(\arctan(3x) - \arctan{2}) = \tan(\alpha - \beta) \)

Tanjant fark formülünü kullanalım.

\( \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

\( = \dfrac{3x - 2}{1 + 6x} \)

\( \arctan{3} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = 3 \) olur.

\( \arctan(2x) = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = 2x \) olur.

\( \tan(\arctan{3} - \arctan(2x)) = \tan(\alpha - \beta) \)

Tanjant fark formülünü kullanalım.

\( \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

\( = \dfrac{3 - 2x}{1 + 6x} \)

Soruda verilen eşitlikte yerlerine yazalım.

\( \dfrac{3x - 2}{1 + 6x} + \dfrac{3 - 2x}{1 + 6x} = \dfrac{3}{8} \)

\( \dfrac{x + 1}{1 + 6x} = \dfrac{3}{8} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 8x + 8 = 3 + 18x \)

\( 10x = 5 \)

\( x = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

\( \arccos{\dfrac{4}{5}} = \alpha \) diyelim.

\( \cos{\alpha} = \dfrac{4}{5} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{4}{3}} = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = \dfrac{4}{3} \) olur.

\( \arcsin{x} + \alpha = 2\beta \)

\( \arcsin{x} = 2\beta - \alpha \)

Eşitliğin iki tarafının sinüsünü alalım.

\( x = \sin(2\beta - \alpha) \)

Sinüs fark formülünü kullanalım.

\( = \sin(2\beta)\cos{\alpha} - \cos(2\beta)\sin{\alpha} \)

Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( = 2\sin{\beta}\cos{\beta}\cos{\alpha} - (2\cos^2{\beta} - 1)\sin{\alpha} \)

\( \alpha \) ve \( \beta \) açıları için birer dik üçgen çizelim.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{3}{5} \)

\( \sin{\beta} = \dfrac{4}{5} \)

\( \cos{\beta} = \dfrac{3}{5} \)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.

\( = 2\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} - (2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1) \cdot \dfrac{3}{5} \)

\( = \dfrac{96}{125} - (\dfrac{18 - 25}{25}) \cdot \dfrac{3}{5} \)

\( = \dfrac{96}{125} + \dfrac{21}{125} \)

\( = \dfrac{117}{125} \) bulunur.

\( \arctan{\dfrac{3}{2}} = \alpha \) diyelim.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{3}{2} \) olur.

\( \arctan{\dfrac{12}{5}} = \beta \) diyelim.

\( \tan{\beta} = \dfrac{12}{5} \) olur.

İşlemin sonucuna \( x \) diyelim.

\( x = 2\arctan{\dfrac{3}{2}} + \arctan{\dfrac{12}{5}} \)

\( = 2\alpha + \beta \)

Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.

\( \cos{x} = \cos(2\alpha + \beta) \)

Kosinüs toplam formülünü kullanalım.

\( \cos{x} = \cos(2\alpha)\cos{\beta} - \sin(2\alpha)\sin{\beta} \)

Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( \cos{x} = (2\cos^2{\alpha} - 1)\cos{\beta} - 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\sin{\beta} \)

\( \alpha \) ve \( \beta \) açıları için birer dik üçgen çizelim.

\( \sin{\alpha} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \)

\( \sin{\beta} = \dfrac{12}{13} \)

\( \cos{\beta} = \dfrac{5}{13} \)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.

\( \cos{x} = (2\dfrac{4}{13} - 1) \cdot \dfrac{5}{13} - 2 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{12}{13} \)

\( = -\dfrac{25}{169} - \dfrac{144}{169} \)

\( \cos{x} = -1 \)

\( \arctan{x} \) fonksiyonu \( x \)'in pozitif değerlerinde pozitif, negatif değerlerinde negatif değer alır.

Soruda ters tanjantı alınan iki değer de pozitif olduğu için karşılık geldikleri açılar pozitiftir.

Buna göre \( x = \pi \) bulunur.

\( \arctan(\sqrt{5} - 2) = x \) diyelim.

\( \tan{x} = \sqrt{5} - 2 \) olur.

\( \arctan(\sqrt{5} + 2) = y \) diyelim.

\( \tan{y} = \sqrt{5} + 2 \) olur.

İki ifadenin çarpımını alalım.

\( \tan{x} \cdot \tan{y} = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \)

\( = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 1 \)

\( \tan{x} \cdot \cot{x} = 1 \) olduğuna göre \( \tan{y} = \cot{x} \) olmalıdır.

\( \tan{y} = \cot(\frac{\pi}{2} - y) = \cot{x} \)

Buna göre \( x \) ve \( y \) tümler açılardır.

\( \arctan(\sqrt{5} - 2) + \arctan(\sqrt{5} + 2) = x + y \)

\( = \dfrac{\pi}{2} \) bulunur.