Üslü İfadeli Eşitsizlikler
Tabanları Birden Büyük İfadeler
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( x \gt 1 \) ve \( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^m \lt x^n \Longrightarrow m \lt n \)
\( 2^a \lt 2^b \Longrightarrow a \lt b \)
Tabanları Sıfır ve Bir Arası İfadeler
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.
\( 0 \lt x \lt 1 \) ve \( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^m \lt x^n \Longrightarrow m \gt n \)
\( (\frac{1}{2})^a \lt (\frac{1}{2})^b \Longrightarrow a \gt b \)
\( n^{100} \lt 5^{150} \) eşitsizliğini sağlayan en büyük \( n \) pozitif tam sayısı nedir?
Çözümü GösterEşitsizliğin iki tarafının da üssü 50'nin birer katı olduğu için üsleri 50'ye eşitleyelim.
\( (n^2)^{50} \lt (5^3)^{50} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( n^2 \lt 5^3 \)
\( n^2 \lt 125 \)
Buna göre \( n \) pozitif tam sayısının alabileceği en büyük değer 11 olarak bulunur.
\( 9^{2a - 9} - 27^{4 + 3a} \lt 0 \) eşitsizliğini sağlayan \( a \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterÜslü ifadeleri 3 tabanında yazalım.
\( 3^{2(2a - 9)} - 3^{3(4 + 3a)} \lt 0 \)
\( 3^{2(2a - 9)} \lt 3^{3(4 + 3a)} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 2(2a - 9) \lt 3(4 + 3a) \)
\( 4a - 18 \lt 12 + 9a \)
\( -30 \lt 5a \)
\( -6 \lt a \)
Çözüm kümesi: \( a \in (-6, \infty) \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{4}{25} \right)^{x + 2} \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliğin taraflarının tabanlarını eşitleyelim.
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{2^2}{5^2} \right)^{x + 2} \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2} \right)^{x + 2} \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{2 - 3x} \lt \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2x + 4} \)
Eşitsizliğin sol tarafında pay ve paydanın yerini değiştirip üssün negatifini alalım.
\( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{3x - 2} \lt \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2x + 4} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.
\( 3x - 2 \gt 2x + 4 \)
\( x \gt 6 \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 7'dir.
\( x^2 \lt x \) olmak üzere,
\( x^{2y + 1} - x^{y + 3} \gt 0 \) eşitsizliğini sağlayan \( y \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x^2 \lt x \) ise \( 0 \lt x \lt 1 \) olur.
\( x^{2y + 1} \gt x^{y + 3} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve \( (0, 1) \) aralığındaysa üssü daha büyük olan ifade daha küçüktür.
\( 2y + 1 \lt y + 3 \)
\( y \lt 2 \) bulunur.
\( 4^{1-x} \lt 1 \lt 3^{5-x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterBirinci ve ikinci eşitsizlikleri ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1: \( 4^{1-x} \lt 1 \)
\( 4^{1-x} \lt 4^0 \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 1 - x \lt 0 \)
\( x \gt 1 \)
Eşitsizlik 2: \( 1 \lt 3^{5-x} \)
\( 3^0 \lt 3^{5 - x} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 0 \lt 5 - x \)
\( x \lt 5 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi eşitsizliğin çözüm kümesi verir.
Çözüm kümesi: \( x \in (1, 5) \)
\( (\dfrac{5}{2})^{-\abs{a + 4}} \le \dfrac{4}{25} \) eşitsizliğini sağlamayan \( a \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (\dfrac{5}{2})^{-\abs{a + 4}} \le (\dfrac{2}{5})^2 \)
Eşitsizliğin taraflarının tabanlarını eşitleyelim.
\( (\dfrac{5}{2})^{-\abs{a + 4}} \le (\dfrac{5}{2})^{-2} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( -\abs{a + 4} \le -2 \)
Bir eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir.
\( \abs{a + 4} \ge 2 \)
Bu eşitsizliği sağlamayan \( a \) değerleri bu aralığın tümleyeni olan aralıktır.
\( \abs{a + 4} \lt 2 \)
\( -2 \lt a + 4 \lt 2 \)
\( -6 \lt a \lt -2 \)
Bu aralıktaki \( a \) tam sayı değerlerinin toplamı \( (-5) + (-4) + (-3) = -12 \) olarak bulunur.