Bu bölümde üslü ifadeler arasındaki işlemlerde geçerli olan işlem kurallarını inceleyeceğiz.
Tabanı ve üssü aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde birden fazla çarpana ayrılabilir.
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, paydanın üssü payın üssünden çıkarılır.
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında, ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanının çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrılabilir.
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
Üslü bir ifadenin birden fazla kez üssü alındığında aynı işlem tekrarlanabilir.
Bu kuralın yukarıdaki çarpım kuralı ile birlikte bir uygulaması aşağıdaki gibidir.
Bir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise ve işlem önceliğini belirten bir parantez kullanılmadıysa, işlem önceliği en üstten tabana doğrudur.
Paydadaki bir üslü ifade paya, paydaki bir üslü ifade de paydaya, ifadenin üssünün işareti tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrilerek geçirilebilir.
Bu kuralın bir uygulaması olarak, kesirli ifadelerde pay ve payda aralarında yer değiştirirse ifadenin üssünün işareti tersine döner.
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir ifadenin \( (-1) \). üssü alındığında pay ve payda aralarında yer değiştirir.
Köklü ifadeler konusunda detaylı şekilde inceleyeceğimiz üzere; üs \( \frac{1}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
Üs \( \frac{m}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
Yukarıdaki tanımlar doğrultusunda aşağıdaki ifadeler özdeştir ve bir sayının \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökü, \( n \). dereceden kökünün \( m \). kuvvetine eşittir.
Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
Üslü ifadelerin çarpımı ve toplamı birbirine karıştırılmamalıdır.
SORU 1:
\( 4^{49} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü Göster
Yarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{49}}{2} = \dfrac{(2^2)^{49}}{2} = \dfrac{2^{98}}{2} \)
Paydadaki 2'yi paya alalım.
\( = 2^{98} \cdot 2^{-1} \)
\( = 2^{98 - 1} = 2^{97} \) bulunur.
SORU 2:
Aşağıdaki üslü ifadelerin sayı karşılıklarını bulun.
(a) \( (-3)^{-2} \)
(b) \( (0,125)^{-2} \)
(c) \( (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği: \( (-3)^{-2} \)
Parantez içindeki ifadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} \)
Negatif sayının çift sayı üssü pozitif olur.
\( = \dfrac{1}{9} \)
(b) seçeneği: \( (0,125)^{-2} \)
Parantez içindeki sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( (0,125)^{-2} = \left(\dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( = \left(\dfrac{8}{1} \right)^2 = 8^2 = 64 \)
(c) seçeneği: \( (-2^{-2})^{-1} \)
\( 2^{-2} \) ifadesini paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( (-\dfrac{1}{2^2})^{-1} = (-\dfrac{1}{4})^{-1} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( = (-4)^1 = -4 \)
SORU 3:
\( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bir negatif sayının tek sayı üssü negatif, çift sayı üssü pozitiftir.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( \dfrac{1}{5} \cdot (-8)^2 \cdot \dfrac{1}{4^2} \)
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 64 \cdot \dfrac{1}{16} \)
\( = \dfrac{4}{5} \) bulunur.
SORU 4:
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bir negatif sayının tek sayı üssü negatif, çift sayı üssü pozitiftir.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
\( = (\dfrac{1}{2^3} + 1)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{1}{8} + 1)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{9}{8})^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{8}{9})^2 + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64}{81} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64 + 27}{81} \)
\( = \dfrac{91}{81} \) bulunur.
SORU 5:
Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
(b) \( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
(c) \( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri en büyük ortak çarpanları olan \( 2^{9995} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{2^4 \cdot 2^{9995} + 2^1 \cdot 2^{9995}}{2^2 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 2^{9995} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{9995}\ (2^4 + 2^1)}{2^{9995}\ (2^2 - 1)} \)
\( = \dfrac{16 + 2}{4 - 1} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \( 2^{14} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{-2^{18} - 2^1 \cdot 2^{18} - 2^2 \cdot 2^{18}}{2^{14} - 2^4 \cdot 2^{14} + 2^3 \cdot 2^{14}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{18}\ (-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14}\ (1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18}\ (-7)}{2^{14}\ (-7)} \)
\( = 2^{18 - 14} = 2^4 = 16 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3^3 \cdot 3^{n - 1} + 3^2 \cdot 3^{n - 1} - 3^1 \cdot 3^{n - 1}}{3^1 \cdot 3^{n - 1} - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{3^{n - 1}\ (3^3 + 3^2 - 3^1)}{3^{n - 1}\ (3^1 - 1)} \)
\( = \dfrac{27 + 9 - 3}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{33}{2} \)
SORU 6:
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-2}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
İfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( (-a) \) değil \( a \) tabanına uygulanır.
\( (-a^5) = -a^5 \)
Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a)^4 = a^4 \)
Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a)^{-2} = a^{-2} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{-a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
\( = -\dfrac{a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{a^{5 + 4 + (-2)}}{a^{2 + (-6)}} = -\dfrac{a^7}{a^{-4}} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = -a^7 \cdot a^4 \)
\( = -a^{7 + 4} = -a^{11} \) bulunur.
SORU 7:
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
İfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \)
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( (-3) \) değil \( 3 \) tabanına uygulanır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{-3^{-2} \cdot (-3^6)} \)
Paydadaki iki negatif işaretinin çarpımı pozitif olur.
\( = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-2} \cdot 3^6} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{3^{-6 + (-6)}}{3^{-2 + 6}} \)
\( = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = 3^{-12} \cdot 3^{-4} \)
\( = 3^{-12 + (-4)} = 3^{-16} \) bulunur.
SORU 8:
\( \dfrac{(-x^2)^5 \cdot (-x^5)^2 \cdot (-x^{-2})^5}{(-x^2)^4 \cdot (-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
İfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^2)^5 = -x^{10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-x^5)^2 = x^{10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^{-2})^5 = -x^{-10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-x^2)^4 = x^8 \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^5)^{-3} = -x^{-15} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{-x^{10} \cdot x^{10} \cdot (-x^{-10})}{x^8 \cdot (-x^{-15})} \)
Negatif işaretlerini parantezden çıkardığımızda tüm ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10} \cdot x^{10} \cdot x^{-10}}{x^8 \cdot x^{-15}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 + (-10)}}{x^{8 + (-15)}} \)
\( = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = -x^{10} \cdot x^7 \)
\( = -x^{10 + 7} = -x^{17} \) bulunur.
SORU 9:
\( 5^{a + 2} = 250 \) ise \( 5^{a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Öncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a + 2} = 5^a \cdot 5^2 = 250 \)
\( 5^a = \dfrac{250}{25} = 10 \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( 5^{a - 1} = 5^{a} \cdot 5^{-1} \)
\( = 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 2 \) bulunur.
SORU 10:
\( a = 5^{-3}, \quad b = 10^{-4}, \quad c = (-2)^{-3} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{a \cdot c}{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Sayıları ifadede yerlerine yazalım.
\( \dfrac{a \cdot c}{b} = \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki bir üslü ifade paydaya, paydadaki bir üslü ifade de paya, ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( = \dfrac{10^4}{(-10)^3} \)
Negatif bir sayının bir tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{10^4}{-10^3} \)
\( = -10 \) bulunur.
SORU 11:
\( 14^{a + 2} = 2^{a - 1} \) olduğuna göre, \( 7^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 14 \) tabanını \( 2 \cdot 7 \) şeklinde çarpanlarına ayıralım.
\( (2 \cdot 7)^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a + 2} \cdot 7^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a} \cdot 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = 2^{a} \cdot 2^{-1} \)
\( 2^{a} \) çarpanları sadeleşir.
\( 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = \dfrac{1}{2} \)
\( 4 \cdot 7^a \cdot 49 = \dfrac{1}{2} \)
\( 7^a \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( 7^a = \dfrac{1}{2 \cdot 4 \cdot 49} \)
\( = \dfrac{1}{392} \) bulunur.
SORU 12:
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} = (\dfrac{648}{8})^y \)
\( 9^x = 81^y \)
Eşitliğin taraflarını 3 tabanında yazalım.
\( (3^2)^x = (3^4)^y \)
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Verilen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
SORU 13:
\( X = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( Y = 49^{0,5} - 25^0 \)
olduğuna göre, \( XY \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( X = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( Y = (7^2)^{0,5} - 25^0 \)
\( = 7^{2 \cdot 0,5} - 1 \)
\( = 7^1 - 1 = 6 \)
\( XY = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.
SORU 14:
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Ondalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} = \dfrac{1}{625} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \)
\( (5^{-4})^a = (5^{-1})^b \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Bu eşitliği soruda verilen birinci eşitlikle birlikte ortak çözmek için birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2(4a) = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) bulunur.
SORU 15:
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a^{16} = 16 \) ise \( a^{12} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( a^{16} = 16 \)
\( (a^4)^4 = 2^4 \)
Üsler eşit olduğu için tabanlar da eşittir.
\( a^4 = 2 \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( (a^4)^3 = 2^3 \)
\( a^{12} = 8 \) bulunur.
SORU 16:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ab = 81^{81} \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster
\( ab = 81^{81} = (3^4)^{81} = 3^{324} \)
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olduğu için iki sayı da \( x \in \mathbb{N} \) olmak üzere \( 3^x \) formunda olmalıdır.
324 tane 3 çarpanı \( a \) ve \( b \) arasında 325 farklı şekilde paylaştırılabilir.
\( (a, b) = (3^0, 3^{324}) \)
\( (a, b) = (3^1, 3^{323}) \)
\( (a, b) = (3^2, 3^{322}) \)
\( \vdots \)
\( (a, b) = (3^{324}, 3^0) \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 325 farklı \( (a,b) \) ikilisi vardır.
SORU 17:
\( x = 3^a - 4 \)
\( y = 9^a - 15 \)
olduğuna göre, \( y \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( 3^a \) ifadesini birinci eşitlikte yalnız bırakalım.
\( 3^a = x + 4 \)
Bulduğumuz değeri ikinci eşitlikte yerine yazalım.
\( y = 9^a - 15 = 3^{2a} - 15 \)
\( = (3^a)^2 - 15 \)
\( = (x + 4)^2 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 16 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 1 \) bulunur.
SORU 18:
\( 4^x + 2 = a \)
\( 2^{x + 1} - 3 = b \)
olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( 2^x \) ifadesini ikinci eşitlikte yalnız bırakalım.
\( 2^x \cdot 2^1 - 3 = b \)
\( 2^x = \dfrac{b + 3}{2} \)
Bulduğumuz değeri birinci eşitlikte yerine yazalım.
\( 4^x + 2 = (2^2)^x + 2 = a \)
\( (2^x)^2 + 2 = a \)
\( (\dfrac{b + 3}{2})^2 + 2 = a \)
\( a = \dfrac{b^2 + 6b + 9}{4} + 2 \)
\( = \dfrac{b^2 + 6b + 17}{4} \) bulunur.
SORU 19:
\( a^{x + 2} = 4^3, \quad b^{x + 3} = 2^6 \)
olduğuna göre, \( (\frac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (\dfrac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^3)^{x + 3}}{(2^6)^{x + 2}} = \dfrac{2^{6(x + 3)}}{2^{6(x + 2)}} \)
\( = \dfrac{2^{6x + 18}}{2^{6x + 12}} \)
\( = 2^{6x + 18 - 6x - 12} \)
\( = 2^6 = 64 \) bulunur.
SORU 20:
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster
45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
2, 3 ve 45'in soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
SORU 21:
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = (3^a)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = (5^b)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 5^{\frac{b}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
SORU 22:
\( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
SORU 23:
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \) olduğuna göre,
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 3^a \cdot 3 = (2 \cdot 3)^a \)
\( 3^a \cdot 3 = 2^a \cdot 3^a \)
\( 2^a = 3 \)
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinde üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( 2^a \) yerine 3 yazalım.
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( 3^b \) yerine 4 yazalım.
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
SORU 24:
\( 5y - 3x = 4 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8^x}{32^y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Sorudaki ifadenin payını ve paydasını 2 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{8^x}{32^y} = \dfrac{(2^3)^x}{(2^5)^y} = \dfrac{2^{3x}}{2^{5y}} \)
\( = 2^{3x - 5y} = 2^{-(5y - 3x)} \)
Parantez içindeki ifadenin değeri 4 olarak verilmiştir.
\( = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.
SORU 25:
\( 5^a = 7^b, \quad x = \dfrac{a + b}{b} \)
olduğuna göre, \( 5^x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( x = \dfrac{a}{b} + 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = x - 1 \)
Birinci eşitliğin iki tarafının \( \frac{1}{b} \). kuvvetini alalım.
\( (5^a)^{\frac{1}{b}} = (7^b)^{\frac{1}{b}} \)
\( 5^{\frac{a}{b}} = 7 \)
Yukarıda bulduğumuz değeri yerine koyalım.
\( 5^{x - 1} = 7 \)
\( \dfrac{5^x}{5} = 7 \)
\( 5^x = 35 \) bulunur.
SORU 26:
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} = \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
Bu değeri bulmak için \( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) eşitliğinde tarafların karesini alalım.
\( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + (\dfrac{1}{3a})^2 = 12^2 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
SORU 27:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
Aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanırsa \( N \) mutlaka bir tam kare sayı olur?
(a) \( a \) tek sayıdır.
(b) \( a + b \) tek sayıdır.
(c) \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
(d) \( a + b \) çift sayıdır.
(e) \( a - c \) çift sayıdır.
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
\( = 3^a \cdot (3^3){b} \cdot (3^4){c} \)
\( = 3^a \cdot 3^{3b} \cdot 3^{4c} \)
\( = 3^{a+3b+4c} \)
Bu ifadenin bir tam kare sayı olması için üs pozitif çift sayı olmalıdır.
\( a + 3b + 4c = (a + b) + (2b + 4c) \)
\( 2b + 4c \) her zaman çift sayıdır.
Buna göre üssün mutlaka çift sayı olması için \( a + b \) çift sayı olmalıdır.
Doğru cevap (d) seçeneğidir.
SORU 28:
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama uzama miktarı kaçtır?
Çözümü Göster
2008 yılı başındaki boy:
\( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) cm
2022 yılı sonundaki boy:
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \) cm
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
Yıllık uzama miktarı \( = \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8\ (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) cm/yıl bulunur.
SORU 29:
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \)
Bu iki değeri verilen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
SORU 30:
\( 49^a = 36^b = 42 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4ab}{a + b} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( 49^a = 42 \)
\( 7^{2a} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{7^{2a}}{7} = 7^{2a - 1} = 6 \)
\( 36^b = 42 \)
\( 6^{2b} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{6^{2b}}{6} = 6^{2b - 1} = 7 \)
6 yerine \( 7^{2a - 1} \) yazalım.
\( (7^{2a - 1})^{2b - 1} = 7 \)
\( 7^{(2a - 1)(2b - 1)} = 7^1 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( (2a - 1)(2b - 1) = 1 \)
\( 4ab - 2a - 2b + 1 = 1 \)
\( 4ab = 2a + 2b \)
\( 2ab = a + b \)
Soruda istenen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4ab}{a + b} = \dfrac{2(a + b)}{a + b} = 2 \) bulunur.
SORU 31:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \) ifadesinin sonucunun bir tam sayı olması için \( a \) ve \( b \) değer aralıkları ne olmalıdır?
Çözümü Göster
Verilen ifadedeki üslü sayıları 2 ve 3'ün kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2 \cdot 3)^{a - b} \cdot (2^2 \cdot 3)^{a - b + 2}}{(2^3)^{a - 3b - 4} \cdot (3^2)^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2^{a - b} \cdot 3^{a - b}) \cdot (2^{2a - 2b + 4} \cdot 3^{a - b + 2})}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Tabanları eşit üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{2^{3a - 3b + 4} \cdot 3^{2a - 2b + 2}}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Paydaki bir üslü ifade paydaya, ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilebilir.
\( = 2^{3a - 3b + 4 - (3a - 9b - 12)} \cdot 3^{2a - 2b + 2 - (2a + 4b - 4)} \)
\( = 2^{6b + 16} \cdot 3^{-6b + 6} \)
Bulduğumuz ifade \( a \) değişkenine bağlı değildir, dolayısıyla her \( a \) değeri için ifade tam sayı değer alabilir.
İfadenin tam sayı olabilmesi için 2 ve 3'ün üsleri ayrı ayrı doğal sayı olmalıdır.
\( 6b + 16 \ge 0 \Longrightarrow b \ge -\dfrac{8}{3} \)
\( -6b + 6 \ge 0 \Longrightarrow b \lt 1 \)
\( a \in \mathbb{Z}, \quad b \in \{-2, -1, 0\} \) bulunur.
SORU 32:
\( 3^5 - 3 \) ile \( 3^{15} - 3 \) arasında kaç tane kübik (bir tam sayının küpü) tam sayı vardır?
Çözümü Göster
Önce verilen aralıktaki en küçük kübik sayıyı bulalım.
\( 3^5 - 3 = 243 - 3 = 240 \) sayısına en yakın kübik tam sayı \( 6^3 = 216 \)'dır.
\( 216 \lt 240 \) olduğundan \( 3^5 - 3 \) sayısından büyük en küçük kübik sayı \( 7^3 = 343 \) olur.
Şimdi verilen aralıktaki en büyük kübik sayıyı bulalım.
\( 3^{15} - 3 = (3^5)^3 - 3 = 243^3 - 3 \)
\( 3^{15} - 3 \lt 3^{15} \) olduğundan \( 3^{15} - 3 \) sayısından küçük en büyük kübik sayı \( 242^3 \) olur.
\( 7^3 \le x^3 \le 242^3 \)
Bu aralıkta \( 7 \le x \le 242 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) tam sayı değeri kadar kübik sayı vardır.
Buna göre verilen aralıkta \( 242 - 7 + 1 = 236 \) kübik sayı vardır.