Üslü İfade İşlem Kuralları
Bu bölümde üslü ifadeler arasındaki işlemlerde geçerli olan işlem kurallarını inceleyeceğiz.
Benzer Terimlerle Toplama/Çıkarma
Tabanı ve üssü aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
\( a \cdot x^n \pm b \cdot x^n = (a \pm b) \cdot x^n \)
\( 6 \cdot 2^{15} + 3 \cdot 2^{15} = (6 + 3) \cdot 2^{15} \)
\( = 9 \cdot 2^{15} \)
\( 7^{38} + 4 \cdot 7^{36} = 7^2 \cdot 7^{36} + 4 \cdot 7^{36} \)
\( = (49 + 4) \cdot 7^{36} = 53 \cdot 7^{36} \)
Tabanları Aynı İfadelerin Çarpımı
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin çarpımında üsler toplanır.
\( x^m \cdot x^n = x^{m + n} \)
\( 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5 + 4} = 2^9 \)
\( 5^9 \cdot 5^{-3} = 5^{9 + (-3)} = 5^6 \)
\( 7^2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} = 7^{2 + \frac{2}{3}} = 7^{\frac{8}{3}} \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet} \)
\( = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m + n adet} \)
\( = x^{m + n} \)
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde birden fazla çarpana ayrılabilir.
\( x^m = x \cdot x^{m - 1} = x^2 \cdot x^{m - 2} = \ldots \)
\( 5^9 = 5^2 \cdot 5^7 = 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^4 \)
\( 7^4 = 7^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} \)
Tabanları Aynı İfadelerin Bölümü
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin bölümünde, paydanın üssü payın üssünden çıkarılır.
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^m \cdot x^{-n} = x^{m - n} \)
\( \dfrac{4^8}{4^3} = 4^{8 - 3} = 4^5 \)
\( \dfrac{6^8}{6^{-3}} = 6^{8 - (-3)} = 6^{11} \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{x^n} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ifadeyi iki çarpana ayıralım.
\( = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \cdot \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{n adet}}{\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n adet}} \)
Paydaki ikinci çarpan grubu ile paydayı sadeleştirelim.
\( = \overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m - n adet} \)
\( = x^{m - n} \)
Üsleri Aynı İfadelerin Çarpımı
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında, ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( x^m \cdot y^m = (x \cdot y)^m \)
\( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \)
\( 3^{4} \cdot (\frac{1}{2})^4 = (\frac{3}{2})^4 \)
İSPATI GÖSTER
\( x^m \cdot y^m = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m adet} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet} \)
\( = \underbrace{(x \cdot y) \cdot (x \cdot y) \cdots (x \cdot y)}_\text{m adet} \)
\( = (x \cdot y)^m \)
Bu işlemin tersi olarak, bir üslü ifade tabanının çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayrılabilir.
\( x = a \cdot b \) ise,
\( x^m = (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \)
\( 14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5 \)
\( 30^8 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^8 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^8 \)
Üsleri Aynı İfadelerin Bölümü
Üsleri aynı olan iki ifadenin bölümünde, ifadeler tabanlar bölünerek ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( \dfrac{x^m}{y^m} = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
\( \dfrac{2^3}{5^3} = {\left( \dfrac{2}{5} \right)}^3 \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{x^m}{y^m} = \dfrac{\overbrace{x \cdot x \cdots x}^\text{m adet}}{\underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m adet}} \)
\( = \underbrace{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x}{y} \cdots \dfrac{x}{y}}_\text{m adet} \)
\( = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^m \)
Üslü İfadenin Üssü
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \)
\( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
\( (3^{-2})^4 = 3^{(-2) \cdot 4} = 3^{-8} \)
İSPATI GÖSTER
\( (x^m)^n = \underbrace{x^m \cdot x^m \cdots x^m}_\text{n adet} \)
\( = x^{\overbrace{m + m + ... + m}^\text{n adet}} \)
\( = x^{m \cdot n} \)
Üslü bir ifadenin birden fazla kez üssü alındığında aynı işlem tekrarlanabilir.
\( ((x^m)^n)^p = x^{m \cdot n \cdot p} \)
\( ((3^2)^3)^4 = 3^{2 \cdot 3 \cdot 4} = 3^{24} \)
Bu kuralın yukarıdaki çarpım kuralı ile birlikte bir uygulaması aşağıdaki gibidir.
\( (x^m \cdot y^n)^p = x^{m \cdot p} \cdot y^{n \cdot p} \)
\( (4^2 \cdot 5^3)^3 = 4^{2 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 3} = 4^6 \cdot 5^9 \)
Bir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise ve işlem önceliğini belirten bir parantez kullanılmadıysa, işlem önceliği en üstten tabana doğrudur.
\( x^{m^n} = x^{(m^n)} \)
\( 2^{3^4} = 2^{(3^4)} = 2^{81} \)
Negatif Üsler
Paydadaki bir üslü ifade paya, paydaki bir üslü ifade de paydaya, ifadenin üssünün işareti tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrilerek geçirilebilir.
\( \dfrac{1}{x^m} = x^{-m} \)
\( \dfrac{1}{x^{-m}} = x^m \)
\( \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3} \)
\( \dfrac{1}{3^{-2}} = 3^2 \)
Bu kuralın bir uygulaması olarak, kesirli ifadelerde pay ve payda aralarında yer değiştirirse ifadenin üssünün işareti tersine döner.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-m} = {\left( \dfrac{y}{x} \right)}^m \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-2} = {\left( \dfrac{3}{2} \right)}^2 \)
Bu kuralın bir diğer uygulaması olarak, bir ifadenin \( (-1) \). üssü alındığında pay ve payda aralarında yer değiştirir.
\( {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-1} = \dfrac{y}{x} \)
\( {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{-1} = \dfrac{3}{2} \)
\( 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)
Rasyonel Üsler
Köklü ifadeler konusunda detaylı şekilde inceleyeceğimiz üzere; üs \( \frac{1}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad n \gt 1 \),
\( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} \)
\( x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \)
Üs \( \frac{m}{n} \) şeklinde bir kesirli sayı olduğunda, üslü ifade tabanın \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden köküne karşılık gelir.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \), \( \quad m, n \) aralarında asal sayılar,
\( n \) çift sayı ise \( x \ge 0 \) olmak üzere,
\( x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} \)
\( x^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{x^2} \)
Yukarıdaki tanımlar doğrultusunda aşağıdaki ifadeler özdeştir ve bir sayının \( m \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökü, \( n \). dereceden kökünün \( m \). kuvvetine eşittir.
\( x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m \)
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \)
\( \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 \)
Sık Yapılan Hatalar
Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
Yanlış: \( (x + y)^2 \ne x^2 + y^2 \)
Doğru: \( (x + y)^2 = (x + y)(x + y) \) \( = x^2 + 2xy + y^2 \)
Yanlış: \( (x + y)^n \ne x^n + y^n \)
Üslü ifadelerin çarpımı ve toplamı birbirine karıştırılmamalıdır.
\( \underbrace{ x^n \cdot x^n \cdot x^n \cdot \ldots \cdot x^n }_\text{m adet} = (x^{n})^m = x^{m \cdot n} \)
\( \underbrace{ x^n + x^n + x^n + \ldots + x^n }_\text{m adet} = m \cdot x^n \)
Aşağıdaki üslü ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( (-3)^{-2} \)
(b) \( (0,125)^{-2} \)
(c) \( (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği: \( (-3)^{-2} \)
Parantez içindeki ifadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} \)
Negatif sayının çift sayı üssü pozitif olur.
\( = \dfrac{1}{9} \)
(b) seçeneği: \( (0,125)^{-2} \)
Parantez içindeki sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( (0,125)^{-2} = \left(\dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( = \left(\dfrac{8}{1} \right)^2 \)
\( = 8^2 = 64 \)
(c) seçeneği: \( (-2^{-2})^{-1} \)
\( 2^{-2} \) ifadesini paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( (-\dfrac{1}{2^2})^{-1} = (-\dfrac{1}{4})^{-1} \)
Parantez içindeki ifadenin çarpmaya göre tersini alarak negatif üssü pozitife çevirelim.
\( = (-4)^1 = -4 \)
\( 4^{49} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü GösterYarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{49}}{2} = \dfrac{(2^2)^{49}}{2} = \dfrac{2^{98}}{2} \)
Paydadaki 2'yi paya alalım.
\( = 2^{98} \cdot 2^{-1} \)
\( = 2^{98 - 1} = 2^{97} \) bulunur.
\( 5^{-1} \cdot ((-2)^3)^2 \cdot 4^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir negatif sayının tek sayı üssü negatif, çift sayı üssü pozitiftir.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( \dfrac{1}{5} \cdot (-8)^2 \cdot \dfrac{1}{4^2} \)
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 64 \cdot \dfrac{1}{16} \)
\( = \dfrac{4}{5} \) bulunur.
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir negatif sayının tek sayı üssü negatif, çift sayı üssü pozitiftir.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( (2^{-3} + 1)^{-2} + 3^{-1} \)
\( = (\dfrac{1}{2^3} + 1)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{1}{8} + 1)^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{9}{8})^{-2} + \dfrac{1}{3} \)
\( = (\dfrac{8}{9})^2 + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64}{81} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{64 + 27}{81} \)
\( = \dfrac{91}{81} \) bulunur.
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-2}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( (-a) \) değil \( a \) tabanına uygulanır.
\( (-a^5) = -a^5 \)
Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a)^4 = a^4 \)
Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a)^{-2} = a^{-2} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{-a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
\( = -\dfrac{a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{a^{5 + 4 + (-2)}}{a^{2 + (-6)}} \)
\( = -\dfrac{a^7}{a^{-4}} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = -a^7 \cdot a^4 \)
\( = -a^{7 + 4} = -a^{11} \) bulunur.
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \)
Üs işlemi negatif işaretinden öncelikli olduğu için \( (-3) \) değil \( 3 \) tabanına uygulanır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{-3^{-2} \cdot (-3^6)} \)
Paydadaki iki negatif işaretinin çarpımı pozitif olur.
\( = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-2} \cdot 3^6} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{3^{-6 + (-6)}}{3^{-2 + 6}} \)
\( = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = 3^{-12} \cdot 3^{-4} \)
\( = 3^{-12 + (-4)} = 3^{-16} \) bulunur.
\( \dfrac{(-x^2)^5 \cdot (-x^5)^2 \cdot (-x^{-2})^5}{(-x^2)^4 \cdot (-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki her bir çarpanın sonucunu bulalım.
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^2)^5 = -x^{10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-x^5)^2 = x^{10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^{-2})^5 = -x^{-10} \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir çift sayı üssü alındığında işaret pozitife döner.
\( (-x^2)^4 = x^8 \)
Üslü bir ifadenin tekrar üssü alındığında üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. Negatif işaretinin bir tek sayı üssü alındığında işaret negatif olarak kalır.
\( (-x^5)^{-3} = -x^{-15} \)
Bulduğumuz sonuçları sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{-x^{10} \cdot x^{10} \cdot (-x^{-10})}{x^8 \cdot (-x^{-15})} \)
Negatif işaretlerini parantezden çıkardığımızda tüm ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10} \cdot x^{10} \cdot x^{-10}}{x^8 \cdot x^{-15}} \)
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 + (-10)}}{x^{8 + (-15)}} \)
\( = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
Paydadaki bir üslü ifade paya ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilir.
\( = -x^{10} \cdot x^7 \)
\( = -x^{10 + 7} = -x^{17} \) bulunur.
Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
(b) \( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
(c) \( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri en büyük ortak çarpanları olan \( 2^{9995} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{2^4 \cdot 2^{9995} + 2^1 \cdot 2^{9995}}{2^2 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 2^{9995} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{9995}\ (2^4 + 2^1)}{2^{9995}\ (2^2 - 1)} \)
\( = \dfrac{16 + 2}{4 - 1} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \( 2^{14} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{-2^{18} - 2^1 \cdot 2^{18} - 2^2 \cdot 2^{18}}{2^{14} - 2^4 \cdot 2^{14} + 2^3 \cdot 2^{14}} \)
Paydaki terimleri \( 2^{18} \), paydadaki terimleri \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{2^{18}\ (-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14}\ (1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18}\ (-7)}{2^{14}\ (-7)} \)
\( = 2^{18 - 14} \)
\( = 2^4 = 16 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{3^3 \cdot 3^{n - 1} + 3^2 \cdot 3^{n - 1} - 3^1 \cdot 3^{n - 1}}{3^1 \cdot 3^{n - 1} - 3^{n - 1}} \)
Paydaki ve paydadaki terimleri \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{3^{n - 1}\ (3^3 + 3^2 - 3^1)}{3^{n - 1}\ (3^1 - 1)} \)
\( = \dfrac{27 + 9 - 3}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{33}{2} \)
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a^{16} = 16 \) ise \( a^{12} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a^{16} = 16 \)
\( (a^4)^4 = 2^4 \)
Üsler eşit olduğu için tabanlar da eşittir.
\( a^4 = 2 \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( (a^4)^3 = 2^3 \)
\( a^{12} = 8 \) bulunur.
\( 5^{a + 2} = 250 \) olduğuna göre, \( 5^{a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a + 2} = 5^a \cdot 5^2 = 250 \)
\( 5^a = \dfrac{250}{25} = 10 \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( 5^{a - 1} = 5^{a} \cdot 5^{-1} \)
\( = 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 2 \) bulunur.
\( a = 5^{-3}, \quad b = 10^{-4}, \quad c = (-2)^{-3} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{a \cdot c}{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSayıları ifadede yerlerine yazalım.
\( \dfrac{a \cdot c}{b} = \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki bir üslü ifade paydaya, paydadaki bir üslü ifade de paya, ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında ifadeler tabanlar çarpılarak ve üs korunarak birleştirilebilir.
\( = \dfrac{10^4}{(-10)^3} \)
Negatif bir sayının bir tek sayı üssü negatiftir.
\( = \dfrac{10^4}{-10^3} \)
\( = -10^{4-3} = -10 \) bulunur.
\( 14^{a + 2} = 2^{a - 1} \) olduğuna göre, \( 7^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 14 \) tabanını \( 2 \cdot 7 \) şeklinde çarpanlarına ayıralım.
\( (2 \cdot 7)^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a + 2} \cdot 7^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a} \cdot 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = 2^{a} \cdot 2^{-1} \)
\( 2^{a} \) çarpanları sadeleşir.
\( 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = \dfrac{1}{2} \)
\( 4 \cdot 7^a \cdot 49 = \dfrac{1}{2} \)
\( 7^a \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( 7^a = \dfrac{1}{2 \cdot 4 \cdot 49} \)
\( = \dfrac{1}{392} \) bulunur.
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} = (\dfrac{648}{8})^y \)
\( 9^x = 81^y \)
Eşitliğin taraflarını 3 tabanında yazalım.
\( (3^2)^x = (3^4)^y \)
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Verilen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
\( 3^x = 5, \quad 9^y = 125 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen iki eşitlikte 9'un 3'ün, 125'in de 5'in bir tam sayı kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için ikinci eşitliğin iki tarafındaki sayıları asal tabanlara çevirelim.
\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)
Birinci eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)
İki eşitlikte \( 5^3 \) değerine eşit iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
\( 3^{3x} = 3^{2y} \)
\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir.
\( 3x = 2y \)
Değeri sorulan oranda \( 2y = 3x \) yazalım.
\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)
\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} = \dfrac{5x}{-x} = -5 \) bulunur.
\( X = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( Y = 49^{0,5} - 25^0 \)
olduğuna göre, \( XY \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( X = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( Y = (7^2)^{0,5} - 25^0 \)
\( = 7^{2 \cdot 0,5} - 1 \)
\( = 7^1 - 1 = 6 \)
\( XY = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} \)
\( = \dfrac{1}{625} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} \)
\( = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \)
\( (5^{-4})^a = (5^{-1})^b \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Bu eşitliği soruda verilen birinci eşitlikle birlikte ortak çözmek için birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2(4a) = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ab = 81^{81} \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( ab = 81^{81} = (3^4)^{81} = 3^{324} \)
\( a \) ve \( b \) birer pozitif tam sayı olduğu için iki sayı da \( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere \( 3^n \) formunda olmalıdır.
324 tane 3 çarpanı \( a \) ve \( b \) arasında 325 farklı şekilde paylaştırılabilir.
\( (a, b) = (3^0, 3^{324}) \)
\( (a, b) = (3^1, 3^{323}) \)
\( (a, b) = (3^2, 3^{322}) \)
\( \vdots \)
\( (a, b) = (3^{324}, 3^0) \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 325 farklı \( (a,b) \) ikilisi vardır.
\( x = 3^a - 4 \)
\( y = 9^a - 15 \)
olduğuna göre, \( y \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 3^a \) ifadesini birinci eşitlikte yalnız bırakalım.
\( 3^a = x + 4 \)
Bulduğumuz değeri ikinci eşitlikte yerine yazalım.
\( y = 9^a - 15 = 3^{2a} - 15 \)
\( = (3^a)^2 - 15 \)
\( = (x + 4)^2 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 16 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 1 \) bulunur.
\( 4^x + 2 = a \)
\( 2^{x + 1} - 3 = b \)
olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 2^x \) ifadesini ikinci eşitlikte yalnız bırakalım.
\( 2^x \cdot 2^1 - 3 = b \)
\( 2^x = \dfrac{b + 3}{2} \)
Bulduğumuz değeri birinci eşitlikte yerine yazalım.
\( 4^x + 2 = (2^2)^x + 2 = a \)
\( (2^x)^2 + 2 = a \)
\( (\dfrac{b + 3}{2})^2 + 2 = a \)
\( a = \dfrac{b^2 + 6b + 9}{4} + 2 \)
\( = \dfrac{b^2 + 6b + 17}{4} \) bulunur.
\( 4^p = 7 \)
\( 7^q = 13 \)
\( 13^r = 20 \)
\( 20^s = 64 \)
olduğuna göre, \( pqrs \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci eşitlikte 7 yerine \( 4^p \) yazalım.
\( 7^q = (4^p)^q = 4^{pq} = 13 \)
Üçüncü eşitlikte 13 yerine \( 4^{pq} \) yazalım.
\( 13^r = (4^{pq})^r = 4^{pqr} = 20 \)
Dördüncü eşitlikte 20 yerine \( 4^{pqr} \) yazalım.
\( 20^s = (4^{pqr})^s = 4^{pqrs} = 64 \)
\( 4^{pqrs} = 4^3 \)
Buna göre, \( pqrs = 3 \) olarak bulunur.
\( a, b \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \) olduğuna göre,
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^a \cdot 3 = (2 \cdot 3)^a \)
\( 3^a \cdot 3 = 2^a \cdot 3^a \)
\( 2^a = 3 \)
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinde üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( 2^a \) yerine 3 yazalım.
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( 3^b \) yerine 4 yazalım.
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
\( 5y - 3x = 4 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8^x}{32^y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadenin payını ve paydasını 2 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{8^x}{32^y} = \dfrac{(2^3)^x}{(2^5)^y} = \dfrac{2^{3x}}{2^{5y}} \)
\( = 2^{3x - 5y} = 2^{-(5y - 3x)} \)
Parantez içindeki ifadenin değeri 4 olarak veriliyor.
\( = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın boyunun 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama büyüme oranı kaçtır?
Çözümü Göster2008 yılı başındaki boy:
\( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) cm
2022 yılı sonundaki boy:
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \) cm
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
Yıllık ortalama büyüme oranı \( = \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8\ (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) cm/yıl bulunur.
\( y \in \mathbb{Z^+}, x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^{23y} = (23x)^y \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( (x^{23})^y = (23x)^y \)
Eşitliğin her iki tarafının \( y \). dereceden kökünü alalım.
\( \sqrt[y]{(x^{23})^y} = \sqrt[y]{(23x)^y} \)
\( x^{23} = 23x \)
Eşitliğin iki tarafından bir \( x \) çarpanı sadeleşir.
\( x^{22} = 23 \)
Eşitliğin her iki tarafının 22. dereceden kökünü alalım.
\( \sqrt[22]{x^{22}} = \sqrt[22]{23} \)
\( x = \sqrt[22]{23} \) bulunur.
\( 11^{4x} = 7 \) olduğuna göre, \( 7^{\frac{6x - 1}{2x} - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 7^{\frac{6x - 1}{2x} - 1} = 7^{\frac{6x}{2x} - \frac{1}{2x} - 1} \)
\( = 7^{3 - \frac{1}{2x} - 1} = 7^{2 - \frac{1}{2x}} \)
\( = \dfrac{7^2}{7^{\frac{1}{2x}}} \)
Paydadaki 7 yerine \( 11^{4x} \) yazalım.
\( = \dfrac{7^2}{(11^{4x})^{\frac{1}{2x}}} = \dfrac{7^2}{11^{4x \cdot \frac{1}{2x}}} \)
\( = \dfrac{7^2}{11^2} = \dfrac{49}{121} \) bulunur.
\( a^{x + 2} = 4^3, \quad b^{x + 3} = 2^6 \)
olduğuna göre, \( (\frac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} \) kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (\dfrac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^3)^{x + 3}}{(2^6)^{x + 2}} = \dfrac{2^{6(x + 3)}}{2^{6(x + 2)}} \)
\( = \dfrac{2^{6x + 18}}{2^{6x + 12}} \)
\( = 2^{6x + 18 - 6x - 12} \)
\( = 2^6 = 64 \) bulunur.
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
2, 3 ve 45'in soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot 3^{\frac{a}{b}} + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = 3 \cdot (3^a)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = 3 \cdot (5^b)^{\frac{1}{b}} + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5^{\frac{b}{b}} + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
\( 5^a = 7^b, \quad x = \dfrac{a + b}{b} \)
olduğuna göre, \( 5^x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x = \dfrac{a}{b} + 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = x - 1 \)
Birinci eşitliğin iki tarafının \( \frac{1}{b} \). kuvvetini alalım.
\( (5^a)^{\frac{1}{b}} = (7^b)^{\frac{1}{b}} \)
\( 5^{\frac{a}{b}} = 7 \)
Yukarıda bulduğumuz değeri yerine koyalım.
\( 5^{x - 1} = 7 \)
\( \dfrac{5^x}{5} = 7 \)
\( 5^x = 35 \) bulunur.
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} = \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
Bu değeri bulmak için soruda verilen eşitlikteki tarafların karesini alalım.
\( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + (\dfrac{1}{3a})^2 = 12^2 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
Aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanırsa \( N \) mutlaka bir tam kare sayı olur?
(a) \( a \) tek sayıdır.
(b) \( a + b \) tek sayıdır.
(c) \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
(d) \( a + b \) çift sayıdır.
(e) \( a - c \) çift sayıdır.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( N = 3^a \cdot 27^b \cdot 81^c \)
\( = 3^a \cdot (3^3){b} \cdot (3^4){c} \)
\( = 3^a \cdot 3^{3b} \cdot 3^{4c} \)
\( = 3^{a+3b+4c} \)
Bu ifadenin bir tam kare sayı olması için üs pozitif çift sayı olmalıdır.
\( a + 3b + 4c = (a + b) + (2b + 4c) \)
\( 2b + 4c \) her zaman çift sayıdır.
Buna göre üssün mutlaka çift sayı olması için \( a + b \) çift sayı olmalıdır.
Doğru cevap (d) seçeneğidir.
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \)
Bu iki değeri verilen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
\( 49^a = 36^b = 42 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8ab}{a + b} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 49^a = 42 \)
\( 7^{2a} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{7^{2a}}{7} = 7^{2a - 1} = 6 \)
\( 36^b = 42 \)
\( 6^{2b} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{6^{2b}}{6} = 6^{2b - 1} = 7 \)
6 yerine \( 7^{2a - 1} \) yazalım.
\( (7^{2a - 1})^{2b - 1} = 7 \)
\( 7^{(2a - 1)(2b - 1)} = 7^1 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( (2a - 1)(2b - 1) = 1 \)
\( 4ab - 2a - 2b + 1 = 1 \)
\( 4ab = 2a + 2b \)
\( 2ab = a + b \)
Soruda istenen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4 \cdot 2ab}{a + b} \)
\( = \dfrac{4(a + b)}{a + b} = 4 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \) ifadesinin sonucunun bir tam sayı olması için \( a \) ve \( b \) değer aralıkları ne olmalıdır?
Çözümü GösterVerilen ifadedeki üslü sayıları 2 ve 3'ün kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( \dfrac{6^{a - b} \cdot 12^{a - b + 2}}{8^{a - 3b - 4} \cdot 9^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2 \cdot 3)^{a - b} \cdot (2^2 \cdot 3)^{a - b + 2}}{(2^3)^{a - 3b - 4} \cdot (3^2)^{a + 2b - 2}} \)
\( = \dfrac{(2^{a - b} \cdot 3^{a - b}) \cdot (2^{2a - 2b + 4} \cdot 3^{a - b + 2})}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Tabanları eşit üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.
\( = \dfrac{2^{3a - 3b + 4} \cdot 3^{2a - 2b + 2}}{2^{3a - 9b - 12} \cdot 3^{2a + 4b - 4}} \)
Paydaki bir üslü ifade paydaya, ifadenin üssünün işareti tersine çevrilerek geçirilebilir.
\( = 2^{3a - 3b + 4 - (3a - 9b - 12)} \cdot 3^{2a - 2b + 2 - (2a + 4b - 4)} \)
\( = 2^{6b + 16} \cdot 3^{-6b + 6} \)
Bulduğumuz ifade \( a \) değişkenine bağlı değildir, dolayısıyla her \( a \) değeri için ifade tam sayı değer alabilir.
İfadenin tam sayı olabilmesi için 2 ve 3'ün üsleri ayrı ayrı doğal sayı olmalıdır.
\( 6b + 16 \ge 0 \Longrightarrow b \ge -\dfrac{8}{3} \)
\( -6b + 6 \ge 0 \Longrightarrow b \lt 1 \)
\( a \in \mathbb{Z}, \quad b \in \{-2, -1, 0\} \) bulunur.