Bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta arasındaki en kısa uzaklık, noktadan doğruya çizilecek dik doğru parçasının uzunluğudur.
\( A(x_1, y_1) \)
\( d_1: ax + by + c = 0 \) olmak üzere,
\( A \) noktası ve \( d_1 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( A(-4, 1) \) noktası ve \( 3x - 4y + 6 = 0 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{3 \cdot (-4) - 4 \cdot 1 + 6}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{5} = 2 \)
Birbirine paralel iki doğru arasındaki en kısa uzaklık, iki doğruya da dik olan bir doğru parçasının uzunluğudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{-3 - 7}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \)
Birbirine paralel iki doğruya eşit uzaklıktaki doğru, yukarıdaki iki doğru arasındaki uzaklık formülüne göre iki doğruya da eşit uzaklıktaki doğrudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularına eşit uzaklıktaki \( d_3 \) doğrusunun denklemi:
\( d_3: ax + by + \dfrac{c_1 + c_2}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğrularına eşit uzaklıktaki doğrunun denklemi:
\( 2x - y + \dfrac{7 + (-3)}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 2 = 0 \)
Kesişen iki doğru arasında oluşan \( \alpha \) açısının tanjant değeri, doğruların eğimleri cinsinden aşağıdaki formülle bulunur.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru arasındaki açının tanjantı:
\( \tan{\alpha} = \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \)
\( y = 3x + 2 \) ve \( y = -x - 5 \) doğruları arasındaki açının tanjantı:
\( m_1 = 3, \quad m_2 = -1 \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{-1 - 3}{1 + (-1) \cdot 3} \)
\( = \dfrac{-4}{-2} = 2 \)
Buna göre iki doğru arasındaki açı tanjant değeri \( 2 \) olan açıdır.
Kesişen iki doğrunun açıortayı olan doğruların denklemleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( d_1: ax + by + c = 0 \)
\( d_2: dx + ey + f = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının açıortayı olan \( d_3 \) ve \( d_4 \) doğrularının denklemleri:
\( d_3: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = +\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_4: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = -\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_1: x - 3y - 5 = 0 \) ve \( d_2: 3x + y + 1 = 0 \) doğrularının açıortayı olan doğruların denklemleri:
1. açıortay doğrusu (\( d_3 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = 3x + y + 1 \)
\( d_3: x + 2y + 3 = 0 \)
2. açıortay doğrusu (\( d_4 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = -3x - y - 1 \)
\( d_4: 2x - y - 2 = 0 \)
\( A(1, m) \) noktasının \( 3x + 2y + 2 = 0 \) doğrusuna en yakın uzaklığı \( \sqrt{13} \text{ br} \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 8x - 6y + 3 = 0 \) doğrusundan 2 br uzaklıkta bulunan doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözümü GösterAnalitik düzlemde \( A(8, 6) \) noktasının \( B(-9, -13) \) ve \( C(-1, 3) \) noktaları ile aynı doğru üzerinde olabilmesi için yeri en az ne kadar değiştirilmelidir?
Çözümü Göster