Denklemleri aşağıdaki gibi olan iki doğrunun birbirine göre durumları üç şekilde olabilir.
Doğru 1:
\( d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
\( m_1 = -\dfrac{a_1}{b_1} \)
Doğru 2:
\( d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)
\( m_2 = -\dfrac{a_2}{b_2} \)
Doğrular bir noktada kesişir.
Bunun özel bir durumu olarak, doğrular dik kesişir.
Doğrular çakışıktır.
Doğrular paraleldir.
Kesişen Doğrular
Eğimleri farklı iki doğru tek bir noktada kesişir. Buna göre eğimleri farklı iki doğrunun denklemlerinin ortak çözüm kümesi bir elemanlıdır ve bu çözüm iki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarını verir.
Bir noktada kesişen iki doğru
İki doğrunun tek noktada kesişme koşulu:
\( m_1 \ne m_2 \)
Bu aynı zamanda doğrunun kapalı denkleminde \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranlarının farklı olması anlamına gelir.
\( \dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2} \)
ÖRNEK:
\( d_1: 2x - 5y + 3 = 0 \)
\( d_2: 3x + 2y - 6 = 0 \)
\( \dfrac{2}{3} \ne \dfrac{-5}{2} \)
Katsayıların oranları farklı olduğu için iki doğru tek noktada kesişir.
Dik Kesişen Doğrular
Bir noktada kesişen doğruların özel bir durumu olarak, iki doğru aralarındaki açı 90° olacak şekilde (yani dik) kesişebilir. Birbirini dik kesen iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) olur.
Tek noktada kesişen doğrular için geçerli olan yukarıdaki katsayı orantısı dik kesişen doğrular için de geçerlidir.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru çizelim. İşlem kolaylığı açısından bu doğruların orijinden geçtiğini varsayalım. Doğruların kesişim noktaları koordinat düzleminde herhangi bir noktaya taşındığında doğruların eğimleri değişmeyeceği için çarpımları da aynı kalacaktır.
\( C(1, 0) \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizelim. \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 \) olduğu için bu doğrunun \( d_1 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( A(1, m_1) \) olur.
\( m_1 = \dfrac{m_1}{1} \)
Benzer şekilde, \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 \) olduğu için bu doğrunun \( d_2 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( B(1, m_2) \) olur.
Dik \( \overset{\triangle}{OCA} \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OA}^2 = 1^2 + m_1^2 \)
\( \abs{OA} = \sqrt{1^2 + m_1^2} \)
Aynı şekilde dik \( \overset{\triangle}{OCB} \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
\( \abs{OB}^2 = 1^2 + m_2^2 \)
\( \abs{OB} = \sqrt{1^2 + m_2^2} \)
\( \overset{\triangle}{OBA} \) üçgeni de dik üçgen olduğu için hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
Bir istisna olarak, yatay (\( x \) eksenine paralel) ve dikey (\( y \) eksenine paralel) iki doğru birbirini dik kesiyor olsa da, eğimleri sırasıyla 0 ve tanımsız olduğu için eğimlerinin çarpımı bu koşulu sağlamaz.
Çakışık Doğrular
Kapalı denklemlerindeki tüm katsayıların oranları birbirine eşit olan iki doğru çakışıktır. Çakışık iki doğrunun denklemlerinin ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır ve doğrular üzerindeki tüm noktalardır.
Çakışık doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)), ancak eğimleri eşit iki doğru çakışık olmak zorunda değildir, aşağıda göreceğimiz üzere paralel de olabilir.
Doğruların tüm katsayılarının oranları eşit olduğu için iki doğru çakışıktır.
Paralel Doğrular
Kapalı denklemlerinin \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları birbirine eşit, sabit terimlerin oranı birbirinden farklı olan iki doğru birbirine paraleldir. Paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmez ve bu doğruların denklemlerinin ortak çözüm kümesi boş kümedir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)).
Eğimleri \( 3 \) ve \( -6 \) olan iki doğru \( (0, k) \) noktasında kesişmektedir. Bu doğruların \( x \) eksenini kesen noktaları arasındaki uzaklık 3 birim olduğuna göre, \( k \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
