Herhangi iki doğrunun (ya da eğrinin) kesişim noktaları bu iki doğrunun denklemini birlikte sağlayan \( (x, y) \) ikilileridir.
Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun kesişimi üç farklı şekilde olabilir.
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemler aşağıdaki şekilde ortak çözülür.
Her durum için doğruların kesişim noktalarını nasıl bulabileceğimizi birer örnekle gösterelim.
Eğimleri farklı iki doğru tek bir noktada kesişir.
ÖRNEK 1:
\( d_1: 3x - y - 1 = 0 \)
\( d_2: -x - y + 3 = 0 \) doğrularının kesişim noktasını bulalım.
Doğruların açık denklemlerini yazalım.
\( d_1: y = 3x - 1 \)
\( d_2: y = -x + 3 \)
\( y \) değerlerini eşitleyerek denklemleri ortak çözelim.
\( 3x - 1 = -x + 3 \)
\( 4x = 4 \Longrightarrow x = 1 \)
Kesişim noktasının apsisi \( x = 1 \) olarak bulunur.
Bu değeri iki denklemden birinde yerine koyarak kesişim noktasının ordinat değerini bulalım.
\( y = 3x - 1 = 3 \cdot 1 - 1 \Longrightarrow y = 2 \)
Buna göre iki doğrunun kesişim noktası \( (1, 2) \) olarak bulunur.
Paralel doğrular kesişmez.
ÖRNEK 2:
\( d_1: 2x - y + 2 = 0 \)
\( d_2: 4x - 2y - 8 = 0 \) doğrularının (varsa) kesişim noktasını bulalım.
Doğruların açık denklemlerini yazalım.
\( d_1: y = 2x + 2 \)
\( d_2: y = 2x - 4 \)
\( y \) değerlerini eşitleyerek denklemleri ortak çözelim.
\( 2x + 2 = 2x - 4 \)
\( 2 = -4 \)
\( x \) değişkeninden bağımsız ve hiçbir zaman sağlanmayan bir eşitlik elde etmemiz iki denklemi de sağlayan bir çözüm bulunmadığını gösterir.
Buna göre iki doğru paraleldir ve hiçbir noktada kesişmez.
Çakışık doğruların sonsuz sayıda ortak noktaları vardır.
ÖRNEK 3:
\( d_1: 2x - y + 2 = 0 \)
\( d_2: 4x - 2y + 4 = 0 \) doğrularının kesişim noktasını bulalım.
Doğruların açık denklemlerini yazalım.
\( d_1: y = 2x + 2 \)
\( d_2: y = 2x + 2 \)
\( y \) değerlerini eşitleyerek denklemleri ortak çözelim.
\( 2x + 2 = 2x + 2 \)
\( 0 = 0 \)
\( x \) değişkeninden bağımsız ve her zaman sağlanan bir eşitlik elde etmemiz iki denklemi de sağlayan sonsuz çözüm bulunduğunu gösterir.
Buna göre iki doğru çakışıktır.
SORU 1:
\( x + 2y = 6 \) ve \( x + my = 12 \) doğruları \( y = -x \) doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x + 2y = 6 \) ve \( y = -x \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için birinci denklemde \( y = -x \) koyalım.
\( x + 2(-x) = 6 \)
\( x = -6, \quad y = 6 \)
Üç doğru aynı noktada kesiştiği için \( (-6, 6) \) noktasının koordinatları \( x + my = 12 \) doğrusunun denklemini de sağlar.
\( -6 + m(6) = 12 \)
\( m = 3 \) bulunur.
SORU 2:
\( y = x \), \( x = 0 \) ve \( y = 4 \) doğruları ile sınırlı bölgenin alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Verilen üç doğruyu analitik düzlemde çizelim.
Şekilde oluşan taralı bölge bir dik üçgendir.
\( y = x \) ve \( y = 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözersek \( A \) noktasının koordinatlarını \( A(4, 4) \) olarak buluruz.
\( A(OAB) = \dfrac{\abs{OB} \cdot \abs{BA}}{2} \)
\( = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ br}^2 \) bulunur.
SORU 3:
\( ABCD \) paralelkenarı hakkında aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( A \) ve \( C \) köşeleri aynı kenar üzerinde değildir.
\( B \) ve \( D \) köşeleri \( 2x + ky + 3 = 0 \) doğrusunun üzerindedir.
\( A(4, 6) \) ve \( C(-2, 4) \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
Paralelkenarda köşegenlerin kesiştikleri nokta her iki köşegenin de orta noktasıdır.
Yani \( [AC] \) doğru parçasının orta noktası ile \( [BD] \) doğru parçasının orta noktası aynıdır.
İlk olarak \( [AC] \) doğru parçasının orta noktasını bulalım.
\( [AC] \) köşegeninin orta noktasına \( K \) diyelim.
\( K(\dfrac{4 + (-2)}{2}, \dfrac{6 + 4}{2}) = K(1, 5) \)
\( K(1, 5) \) noktası aynı zamanda \( [BD] \) köşegeninin orta noktası olduğu için \( 2x + ky + 3 = 0 \) doğrusunun üzerindedir ve doğru denklemini sağlar.
\( 1 \cdot 2 + k \cdot 5 + 3 = 0 \)
\( 5k = -5 \)
\( k = -1 \) bulunur.
SORU 4:
Şekildeki \( OABC \) karesinin \( B \) köşesi \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre, \( A(OABC) \) kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
Karenin bir kenar uzunluğuna \( a \text{ br} \) diyelim.
\( \abs{OA} = \abs{AB} = a \) olur. \( B \) köşesi birinci bölgede olup koordinatları \( B(a, a) \) olur.
\( d \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklem formülü ile bulalım.
\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1 \)
\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için bu doğru denklemini sağlar. Bu yüzden bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.
\( \dfrac{a}{8} + \dfrac{a}{4} = 1 \)
\( a = \dfrac{8}{3} \)
Karenin alanını hesaplayalım.
\( A(OABC) = a^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2 = \dfrac{64}{9} \text{ br}^2 \) bulunur.
SORU 5:
Yukarıda iki aracın hız - zaman grafikleri verilmiştir. Buna göre bu araçların kaçıncı saatte hızlarının farkı 100 km/s olur?
Çözümü Göster
\( (0, 10) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( A \) aracının hız denklemini bulalım.
\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 10}{5 - 0} = 4 \)
\( y - 30 = 4(x - 5) \)
\( y = 4x + 10 \)
\( (0, 20) \) ve \( (5, 30) \) noktalarından geçen \( B \) aracının hız denklemini bulalım.
\( \dfrac{y - 30}{x - 5} = \dfrac{30 - 20}{5 - 0} = 2 \)
\( y - 30 = 2(x - 5) \)
\( y = 2x + 20 \)
İki aracın hızları farkının 100 km/s olduğu ana \( t \) dersek araçların \( t \) anındaki hızları aşağıdaki gibi olur.
\( y_A = 4t + 10 \)
\( y_B = 2t + 20 \)
Bu \( t \) anındaki hız farkını 100'e eşitleyelim.
\( y_A - y_B = (4t + 10) - (2t + 20) = 100 \)
\( 2t - 10 = 100 \)
\( t = 55 \) saat bulunur.
SORU 6:
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü Göster
\( d_1 \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklem formülü ile bulalım.
\( \dfrac{x}{-2} + \dfrac{y}{2} = 1 \)
\( y = x + 2 \)
\( d_2 \) doğrusunun denklemini eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklem formülü ile bulalım.
\( \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} = 1 \)
\( y = -x + 1 \)
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri taraf tarafa toplayarak ortak çözelim.
\( y = \dfrac{3}{2} \)
\( x = - \dfrac{1}{2} \)
Buna göre taralı alan taban uzunluğu \( 1 - (-2) = 3 \) ve yüksekliği \( y = \frac{3}{2} \) birim olan üçgenin alanıdır.
Alan \( = \dfrac{3 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \dfrac{9}{4} \text{ br}^2 \) bulunur.