Yamuk

Karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına üst taban ve alt taban, paralel olmayan kenarlarına yan kenar, yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban, tabanları birleştiren dikmeye yükseklik denir.

Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir yamuktur ve diğer özellikleri de taşır.

• Karşılıklı iki kenar paralel (yamuk tanımı)
• Komşu iki köşenin açıları bütünler

Yamuk bir dörtgen olduğu için, dörtgenler bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler yamuk için de geçerlidir.

Giriş bölümünde paylaştığımız dörtgen hiyerarşisine göre; paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare yamuğun ek özelliklere sahip özel birer durumu olarak düşünülebilir.

Yamuğun Kenar ve Köşegen Özellikleri

Yamuğun alt ve üst tabanları birbirine paraleldir.

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, yamuğun kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır. Varignon paralelkenarı adı verilen bu dörtgenle ilgili daha fazla bilgi ve yamukta da geçerli olan özellikleri için dörtgenler sayfasını inceleyebilirsiniz.

Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren orta tabanın uzunluğu alt ve üst taban uzunluklarının yarısına eşittir.

Orta taban yamuğun yükseklik ve köşegenlerini de ortalar.

Bir yamuğun köşegenlerinin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle bulunur.

Yamuğun Açı Özellikleri

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, yamuğun hem iç açıları hem de dış açıları toplamı 360°'dir.

Yamuğun yan kenarları üzerindeki komşu köşe açıları bütünler açılardır.

Yamuğun yan kenarları üzerindeki komşu köşelerin açıortayları birbirini orta taban üzerinde ve dik keser.

Yamuğun Çevresi ve Alanı

Yamuğun çevresi, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Orta taban alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısına eşit olduğu için, yamuğun alanını orta taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımı şeklinde de yazabiliriz.

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi; yamuğun alanı, köşegenlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşit olduğu için, köşegenlerin arasında oluşan bütünler açıların ikisi de aynı sonucu verir. Aşağıda bu formülün tüm dörtgenler için geçerli olan ispatı verilmiştir.

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu dört üçgenden yan kenarlara bakan alanlar birbirine eşittir.

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, yamuğun köşegenlerinin oluşturduğu dört üçgenden karşılıklı olanların alanları çarpımı birbirine eşittir. Aşağıda bu formülün tüm dörtgenler için geçerli olan ispatı verilmiştir.

Yamuğun bir yan kenarı üzerindeki iki komşu köşeden diğer yan kenarın orta noktasına çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, yamuğun alanının yarısına eşittir.

İkizkenar Yamuk

Yan kenar uzunlukları eşit olan ve paralel kenarlarını ortalayan bir doğruya göre simetrik olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

İkizkenar yamuk normal yamuğun sahip olduğu tüm özelliklere sahiptir.

Bir yamuğun aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu yamuk bir ikizkenar yamuktur ve diğer özellikleri de taşır.

• Paralel olmayan iki kenar uzunluğu eşit (ikizkenar yamuk tanımı)
• Alt taban açı ölçüleri birbirine eşit
• Üst taban açı ölçüleri birbirine eşit
• Köşegen uzunlukları birbirine eşit

İkizkenar yamukta köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir ve köşegenler birbirini eşit oranlarda böler. Benzer şekilde, bir yamuğun köşegen uzunlukları eşitse bu yamuk ikizkenardır.

İkizkenar yamukta alt taban ve üst taban açı ölçüleri ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir yamuğun alt taban ya da üst taban açı ölçüleri birbirine eşitse bu yamuk ikizkenardır.

İkizkenar yamukta üst tabanın iki ucundaki köşelerden alt tabana indirilen dikmeler solda ve sağda eş üçgenler oluşturur.

Dik Yamuk

Yan kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Dik yamuk normal yamuğun sahip olduğu tüm özelliklere sahiptir.