Derecesi ve kök içi aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
Köklü ifadeler arasındaki toplama/çıkarma işleminde kök içleri toplanmaz/çıkarılmaz.
Bir köklü ifade, kökün derecesi kök içinin üssünün paydasına gelecek şekilde üslü bir ifadeye çevrilebilir.
Üslü ifadelerde gördüğümüz işlem kuralları köklü ifadelerin üslü gösterimine de uygulanabilir.
Dereceleri eşit olan köklü ifadelerin çarpımı, kök içlerinin çarpımının aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.
Dereceleri eşit olan köklü ifadelerin bölümü, kök içlerinin bölümünün aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.
Bir köklü ifadenin derecesi ve kök içindeki ifadenin kuvveti, aynı pozitif tam sayı ile çarpılabilir ya da (bölüm yine birden büyük bir tam sayı olmak koşuluyla) aynı sayıya bölünebilir.
Dereceleri farklı iki köklü ifade, dereceleri eşitlenerek tek bir köklü ifade içinde birleştirilebilir.
Kök içinde kökün derecesine eşit ya da bir tam sayı katı olan bir çarpan varsa bu çarpanın kuvveti kökün derecesine bölünerek kökün dışına çıkarılabilir.
Kök içindeki tüm çarpanlar bu şekilde kök dışına çıkabiliyorsa kök işareti ifadeden kalkar.
Yukarıdaki işlemin tersi olarak, kök dışındaki bir çarpan kökün derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine alınabilir.
İç içe iki köklü ifade aşağıdaki şekilde tek bir köklü ifade içinde birleştirilebilir.
Yukarıdaki kurallar aşağıdaki gibi bir ifadeye tek adımda belirtilen şekilde uygulanabilir.
Bir köklü ifade aşağıdaki formda ise ya da bu forma benzetilebiliyorsa parantez karesi şeklinde yazılarak dıştaki kökten kurtarılabilir.
Köklü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
SORU 1:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
aşağıdaki ifadelerden hangisinin karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamaz?
(a) \( 28 + 16\sqrt{3} \)
(b) \( 52 + 16\sqrt{3} \)
(c) \( 67 + 16\sqrt{3} \)
(d) \( 88 + 16\sqrt{3} \)
(e) \( 193 + 16\sqrt{3} \)
Çözümü Göster
Seçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)
\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)
Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.
\( a = 1, \quad b = 8 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = 193 \)
Bu durumda cevap \( 193 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 2, \quad b = 4 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)
Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 4, \quad b = 2 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)
Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)
Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.
Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.
SORU 2:
\( x \) asal sayı, \( b \) doğal sayıdır.
Buna göre \( \sqrt[3]{x + 19} = b \) işleminde \( x \)'in alabileceği en küçük değer nedir?
Çözümü Göster
\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( x + 19 = b^3 \)
\( x = b^3 - 19 \)
Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 5^3 - 19 = 106 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 6^3 - 19 = 197 \Longrightarrow \) Asal
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer 197 olur.
SORU 3:
\( \sqrt{1800} \) metre uzunluğundaki bir ipin yarısı her biri \( 5\sqrt{2} \) metre uzunluğunda olacak şekilde kaç parçaya ayrılabilir?
Çözümü Göster
\( \dfrac{\sqrt{1800} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{1800}}{10\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{1800}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\dfrac{1800}{200}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
SORU 4:
\( \dfrac{6\sqrt{243}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Köklü ifadelerin hepsini kök dışına çıkaralım.
\( \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.
\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{21}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{162 + 168 - 267}{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{63 \cdot \sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) olarak buluruz.
SORU 5:
\( (\sqrt[8]{\sqrt[3]{7^8}})^9 \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[8]{7^9}})^8 \)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Köklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)
\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)
\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)
\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.
SORU 6:
\( \dfrac{\sqrt{88} + \sqrt{44}}{\sqrt{88} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{88} - \sqrt{44}}{\sqrt{88} + \sqrt{44}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeleri sadeleştirelim.
\( \dfrac{\sqrt{44 \cdot 2} + \sqrt{44}}{\sqrt{44 \cdot 2} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{44 \cdot 2} - \sqrt{44}}{\sqrt{44 \cdot 2} + \sqrt{44}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{44}\sqrt{2} + \sqrt{44}}{\sqrt{44}\sqrt{2} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{44}\sqrt{2} - \sqrt{44}}{\sqrt{44}\sqrt{2} + \sqrt{44}} \)
Pay ve paydalardaki ifadeleri \( \sqrt{44} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{\sqrt{44}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{44}(\sqrt{2} - 1)} + \dfrac{\sqrt{44}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{44}(\sqrt{2} + 1)} \)
\( \sqrt{44} \) ifadeleri sadeleşir.
\( = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \)
Paydaları eşitleyelim.
\( = \dfrac{(\sqrt{2} + 1)^2 + (\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} \)
\( = 2 + 2\sqrt{2} + 1 + 2 - 2\sqrt{2} + 1 \)
\( = 6 \) bulunur.
SORU 7:
\( \sqrt[4]{(9! + 10! + 11!) \cdot A} \) işleminin sonucunu rasyonel yapan en küçük \( A \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Kök içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \sqrt[4]{(9! + 10 \cdot 9! + 11 \cdot 10 \cdot 9!) \cdot A} \)
\( = \sqrt[4]{9! \cdot (1 + 10 + 110) \cdot A} = \sqrt[4]{9! \cdot 121 \cdot A} \)
Kök içindeki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot A} \)
Köklü ifadenin derecesi 4 olduğu için, ifadenin rasyonel olabilmesi tüm asal çarpanların üsleri 4 ya da 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.
Buna göre bu ifadeyi rasyonel hale getirecek en küçük \( A \) sayısı içinde 2 çarpanı 1 kez, 5 ve 7 çarpanları 3'er kez, 11 çarpanı da 2 kez bulunmalıdır.
\( A = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)
SORU 8:
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)
İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)
İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.
SORU 9:
\( \sqrt{\sqrt{20} + \sqrt{45}} \cdot (\sqrt[4]{80} - \sqrt[4]{5}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Kök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)
Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5}\)
\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.
SORU 10:
\( \sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.
\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)
\( = (7 + x) - (x + 3) \)
\( A \cdot B = 4 \)
\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.
SORU 11:
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{3} - 1 = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası bir küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.
\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.
\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)
\( B \)'yi yalnız bırakalım.
\( B = 2A \) bulunur.
SORU 12:
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)
Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.
\( = \sqrt[4]{(3 - \sqrt{5}) \cdot (12 + 4\sqrt{5})} \)
\( = \sqrt[4]{36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 20} \)
\( = \sqrt[4]{16} = 2 \) bulunur.
SORU 13:
\( \sqrt{2} = a, \quad \sqrt{3} = b, \quad \sqrt{5} = c \) olmak üzere,
\( \sqrt[4]{0,036} \) ifadesinin \( a \), \( b \) ve \( c \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Sorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{1000}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)
\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)
Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)
Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \)
SORU 14:
\( \dfrac{(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)}{(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Sorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı olarak düşünebiliriz.
\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)
Şimdi paydayı düzenleyelim.
\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)
\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)
Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.
\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.
SORU 15:
\( \sqrt[4]{4 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3 - 2\sqrt{3} + 1} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)
\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt[4]{16 - 12} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.
SORU 16:
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{64}, \quad \sqrt[b]{27} = \sqrt[c]{81} \) ve
\( a \cdot b \cdot c = 12 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü Göster
Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)
\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)
Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)
\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)
Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)
\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)
Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)
\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)
\( k = 1 \)
\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)
\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.
SORU 17:
\( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{6} \) olduğuna göre, \( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)
\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)
\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)
Bu değeri sonucu istenen işlemde yerine koyalım.
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)
İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)
\( = 9\) bulunur.
SORU 18:
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Önce paydayı düzenleyelim.
Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.
SORU 19:
\( \sqrt{\sqrt{28 + 8\sqrt{12}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(16 + 12) + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)
\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)
Aynı işlemi tekrarlayalım.
\( = \sqrt{(3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)
\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.
SORU 20:
\( \sqrt{11 + 4\sqrt{6}} - \sqrt{11 - 4\sqrt{6}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \sqrt{11 + 2\sqrt{6 \cdot 4}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{6 \cdot 4}} \)
\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)
Dıştaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = \sqrt{(8 + 3) + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{(8 + 3) - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)
\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)
\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.
SORU 21:
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot (\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci köklü ifadeyi \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} \) ifadesini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(7 + 3) + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.
\( = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{2} \cdot ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.
SORU 22:
\( \sqrt[4]{a^3} \) sayısı \( a^{\frac{2}{3}} \) sayısından \( \%25 \) daha büyük olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.
\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \dfrac{25}{100}) \)
\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.
SORU 23:
\( x = 14 - 6\sqrt{5} \) olduğuna göre, \( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
x'i tam kare şeklinde yazalım.
\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)
\( = (9 + 5) - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)
\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{1}{3 - \sqrt{5}} \)
Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)
\( = 6 \) bulunur.
SORU 24:
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 7 + \sqrt{40} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( 8 + \sqrt{48} = (6 + 2) + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)
\( 11 + \sqrt{120} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)
Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
\( = 0 \) bulunur.
SORU 25:
\( \sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{28} + 29}{\sqrt{28} - 1}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{28} + 1 \) ile genişletelim.
\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)
\( a = \sqrt{28}, \quad b = 1 \) olmak üzere,
\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)
Denklemde yerine yazalım.
\( x = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.
SORU 26:
\( x = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} \) olduğuna göre, \( x^2 - 6x - 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.
\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)
\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)
\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)
\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.
SORU 27:
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
En içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 3 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4 \cdot (3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)
\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 2 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)
\( = \sqrt{2} \) bulunur.