Köklü İfade İşlem Kuralları
Benzer Terimlerle Toplama/Çıkarma
Derecesi ve kök içi aynı olan ifadeler benzer terim oldukları için, bu ifadelerin arasındaki toplama/çıkarma işlemlerinde katsayılar toplanır/çıkarılır.
\( a\sqrt{x} \pm b\sqrt{x} = (a \pm b)\sqrt{x} \)
\( a\sqrt[n]{x} \pm b\sqrt[n]{x} = (a \pm b)\sqrt[n]{x} \)
\( 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3 + 2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
\( \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3} \)
Köklü ifadeler arasındaki toplama/çıkarma işleminde kök içleri toplanmaz/çıkarılmaz.
\( \sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5} \)
Köklü İfadelerin Üslü Gösterimi
Bir köklü ifade, kökün derecesi kök içinin üssünün paydasına gelecek şekilde üslü bir ifadeye çevrilebilir.
\( \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \)
\( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \)
\( \sqrt{2} = 2^\frac{1}{2} \)
\( \sqrt[3]{2} = 2^\frac{1}{3} \)
\( \sqrt[5]{3^2} = 3^\frac{2}{5} \)
Üslü ifadelerde gördüğümüz işlem kuralları köklü ifadelerin üslü gösterimine de uygulanabilir.
\( \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \)
\( = x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x \)
\( \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} = x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} \)
\( = (x \cdot y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x \cdot y} \)
Dereceleri Eşit İfadeler Arasında Çarpma
Dereceleri eşit olan köklü ifadelerin çarpımı, kök içlerinin çarpımının aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.
\( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} \)
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y} \)
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10} \)
\( \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{7 \cdot 3} = \sqrt[3]{21} \)
İSPATI GÖSTER
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = x^{\frac{1}{n}} \cdot y^{\frac{1}{n}} = (x \cdot y)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x \cdot y} \)
Dereceleri Eşit İfadeler Arasında Bölme
Dereceleri eşit olan köklü ifadelerin bölümü, kök içlerinin bölümünün aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.
\( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\dfrac{x}{y}} \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} \)
\( \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
\( \dfrac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\dfrac{3}{2}} \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{y^{\frac{1}{n}}} = {\left( \dfrac{x}{y} \right)}^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} \)
Derece İşlemleri
Bir köklü ifadenin derecesi ve kök içindeki ifadenin kuvveti, aynı pozitif tam sayı ile çarpılabilir ya da (bölüm yine birden büyük bir tam sayı olmak koşuluyla) aynı sayıya bölünebilir.
\( p \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}} \)
\( \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[\frac{n}{p}]{x^{\frac{m}{p}}} \)
\( \sqrt[2]{3^3} = \sqrt[4]{3^6} = \sqrt[8]{3^{12}} \)
\( \sqrt[3]{xy^2} = \sqrt[6]{x^2y^4} = \sqrt[9]{x^3y^6} \)
İSPATI GÖSTER
\( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} = x^{\frac{m \cdot p}{n \cdot p}} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}} \)
Dereceleri farklı iki köklü ifade, dereceleri eşitlenerek tek bir köklü ifade içinde birleştirilebilir.
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[m]{y} = \sqrt[n \cdot m]{x^m} \cdot \sqrt[m \cdot n]{y^n} = \sqrt[n \cdot m]{x^m \cdot y^n} \)
\( \sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{5^3 \cdot 7^2} \)
Kök Dışına Çıkarma/İçine Alma
Kök içinde kökün derecesine eşit ya da bir tam sayı katı olan bir çarpan varsa bu çarpanın kuvveti kökün derecesine bölünerek kökün dışına çıkarılabilir.
\( \sqrt[n]{x^ny} = x^{\frac{n}{n}}\sqrt[n]{y} = x\sqrt[n]{y} \)
\( \sqrt[n]{x^{2n}y} = x^{\frac{2n}{n}}\sqrt[n]{y} = x^2\sqrt[n]{y} \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \)
\( \sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 2} = 2^2\sqrt[4]{2} \)
İSPATI GÖSTER
\( \sqrt[n]{x^ny} = \sqrt[n]{x^n} \cdot \sqrt[n]{y} = x^{\frac{n}{n}}\sqrt[n]{y} = x\sqrt[n]{y} \)
Kök içindeki tüm çarpanlar bu şekilde kök dışına çıkabiliyorsa kök işareti ifadeden kalkar.
\( \sqrt[n]{x^n} = x^\frac{n}{n} = x \)
\( \sqrt[n]{x^{2n}} = x^\frac{2n}{n} = x^2 \)
\( \sqrt{121} = \sqrt{11^2} = 11 \)
\( \sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{3^6} = 3^2 \)
\( \sqrt[4]{x^4y^8} = xy^2 \)
Yukarıdaki işlemin tersi olarak, kök dışındaki bir çarpan kökün derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine alınabilir.
\( x\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^ny} \)
\( x^2\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^{2n}y} \)
\( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{75} \)
\( 2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = \sqrt{56} \)
İSPATI GÖSTER
\( x\sqrt[n]{y} = x^{\frac{n}{n}}\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^ny} \)
İç İçe Köklü İfadeler
İç içe iki köklü ifade aşağıdaki şekilde tek bir köklü ifade içinde birleştirilebilir.
\( \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x} \)
\( \sqrt[n]{\sqrt[m]{\sqrt[p]{x}}} = \sqrt[n \cdot m \cdot p]{x} \)
\( \sqrt[2]{\sqrt[3]{\sqrt[4]{3}}} = \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 4]{3} = \sqrt[24]{3} \)
İSPATI GÖSTER
\( \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n]{x^{\frac{1}{m}}} = {\left( x^{\frac{1}{m}} \right)}^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[n \cdot m]{x} \)
Yukarıdaki kurallar aşağıdaki gibi bir ifadeye tek adımda belirtilen şekilde uygulanabilir.
\( \sqrt[n]{x \sqrt[m]{y \sqrt[p]{z}}} = \sqrt[n \cdot m \cdot p]{x^{m \cdot p} \cdot y^p \cdot z} \)
\( \sqrt[4]{2 \sqrt[3]{3 \sqrt[2]{4}}} = \sqrt[4 \cdot 3 \cdot 2]{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^2 \cdot 4} \)
\( = \sqrt[24]{2^6 \cdot 3^2 \cdot 4} \)
Diğer İşlemler
Bir köklü ifade aşağıdaki formda ise ya da bu forma benzetilebiliyorsa parantez karesi şeklinde yazılarak dıştaki kökten kurtarılabilir.
\( \sqrt{(a + b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \)
\( \sqrt{4 - \sqrt{12}} = \sqrt{3 + 1 - 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \abs{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3} - 1 \)
İSPATI GÖSTER
\( \sqrt{(a + b) \pm 2\sqrt{ab}} \) \( = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 \pm 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}} \) \( = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2} \) \( = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \)
Sık Yapılan Hatalar
Köklü ifadelerle ilgili aşağıdaki hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir.
\( \sqrt{x + y} \textcolor{red}{\ne} \sqrt{x} + \sqrt{y} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} \textcolor{red}{\ne} x + y \)
\( \sqrt[n]{x \pm y} \textcolor{red}{\ne} \sqrt[n]{x} \pm \sqrt[n]{y} \)
\( \sqrt[n]{x^n \pm y^n} \textcolor{red}{\ne} x \pm y \)
\( \dfrac{\sqrt{88} + \sqrt{44}}{\sqrt{88} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{88} - \sqrt{44}}{\sqrt{88} + \sqrt{44}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeleri sadeleştirelim.
\( \dfrac{\sqrt{44 \cdot 2} + \sqrt{44}}{\sqrt{44 \cdot 2} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{44 \cdot 2} - \sqrt{44}}{\sqrt{44 \cdot 2} + \sqrt{44}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{44}\sqrt{2} + \sqrt{44}}{\sqrt{44}\sqrt{2} - \sqrt{44}} + \dfrac{\sqrt{44}\sqrt{2} - \sqrt{44}}{\sqrt{44}\sqrt{2} + \sqrt{44}} \)
Pay ve paydalardaki ifadeleri \( \sqrt{44} \) parantezine alalım.
\( = \dfrac{\sqrt{44}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{44}(\sqrt{2} - 1)} + \dfrac{\sqrt{44}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{44}(\sqrt{2} + 1)} \)
\( \sqrt{44} \) ifadeleri sadeleşir.
\( = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \)
Paydaları eşitleyelim.
\( = \dfrac{(\sqrt{2} + 1)^2 + (\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} \)
\( = \dfrac{2 + 1 + 2 + 1}{2 - 1} \)
\( = 6 \) bulunur.
\( \dfrac{6\sqrt{243}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin içindeki tam kare çarpanları kök dışına çıkaralım.
\( \dfrac{6\sqrt{81 \cdot 3}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{16 \cdot 7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
\( = \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
\( = \dfrac{54\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{24\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.
\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}} \)
\( = \dfrac{54 \cdot 3}{\sqrt{21}} + \dfrac{24 \cdot 7}{\sqrt{21}} - \dfrac{89 \cdot 3}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{162 + 168 - 267}{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{63\sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) bulunur.
\( \sqrt{\dfrac{9}{8}} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} - \sqrt{\dfrac{25}{32}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki bölme işlemi aynı dereceden köklerin bölümü şeklinde yazılabilir.
\( \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} + \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{32}} \)
\( = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{5}{4\sqrt{2}} \)
Paydaları rasyonel hale getirelim.
\( = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{5\sqrt{2}}{8} \)
\( = \dfrac{6\sqrt{2}}{8} + \dfrac{4\sqrt{2}}{8} - \dfrac{5\sqrt{2}}{8} \)
\( = \dfrac{5\sqrt{2}}{8} \) bulunur.
\( \dfrac{\sqrt{55} \cdot \sqrt{23} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{63}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{92} \cdot \sqrt{14}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDereceleri eşit olan köklü ifadelerin çarpımı/bölümü, kök içlerinin çarpımının/bölümünün aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.
\( \sqrt{\dfrac{55 \cdot 23 \cdot 8 \cdot 63}{5 \cdot 11 \cdot 92 \cdot 14}} \)
Pay ve paydadaki sayıları sadeleştirelim.
\( = \sqrt{\dfrac{5 \cdot 8 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
\( (\sqrt[8]{\sqrt[3]{7^8}})^9 \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[8]{7^9}})^8 \)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)
\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)
\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)
\( = 7^{9 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 7^{8 \cdot \frac{3}{8}} \)
\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.
\( a = \sqrt[3]{625\sqrt{125\sqrt{25}}} \)
\( b = \sqrt[5]{5\sqrt{5^5\sqrt{5^6}}} \)
olduğuna göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci ifadeyi en sade şekilde yazalım.
\( a = \sqrt[3]{625\sqrt{125\sqrt{25}}} \)
\( = \sqrt[3]{5^4\sqrt{5^3\sqrt{5^2}}} \)
Üslü ifadeyi köklü ifadenin içine alalım.
\( = \sqrt[3]{\sqrt{5^8 \cdot 5^3\sqrt{5^2}}} \)
\( = \sqrt[3]{\sqrt{5^{11}\sqrt{5^2}}} \)
Üslü ifadeyi köklü ifadenin içine alalım.
\( = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{5^{22} \cdot 5^2}}} \)
\( = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{5^{24}}}} \)
İç içe üç köklü ifadeyi tek kökte birleştirelim.
\( = \sqrt[3 \cdot 2 \cdot 2]{5^{24}} \)
\( = \sqrt[12]{5^{24}} \)
\( = 5^2 = 25 \)
İkinci ifadeyi en sade şekilde yazalım.
\( b = \sqrt[5]{5\sqrt{5^5\sqrt{5^6}}} \)
En içteki üslü ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \sqrt[5]{5\sqrt{5^5 \cdot 5^3}} \)
\( = \sqrt[5]{5\sqrt{5^8}} \)
En içteki üslü ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \sqrt[5]{5 \cdot 5^4} \)
\( = \sqrt[5]{5^5} = 5 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( a - b = 25 - 5 = 20 \) bulunur.
\( \sqrt{1800} \) metre uzunluğundaki bir ipin yarısı her biri \( 5\sqrt{2} \) metre uzunluğunda olacak şekilde kaç parçaya ayrılabilir?
Çözümü Göster\( \sqrt{1800} \) ifadesinin yarısını \( 5\sqrt{2} \) ifadesine bölelim.
\( \dfrac{\sqrt{1800} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{1800}}{10\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{1800}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\dfrac{1800}{200}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
\( \sqrt[4]{a^3} \) sayısı \( a^{\frac{2}{3}} \) sayısından \( \%25 \) daha büyük olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.
\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}}(1 + \dfrac{25}{100}) \)
\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)
İki tarafın 12. kuvvetini alalım.
\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)
İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)
İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.
\( \sqrt{\sqrt{20} + \sqrt{45}} \cdot (\sqrt[4]{80} - \sqrt[4]{5}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)
Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} \)
\( = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5} \)
\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} \)
\( = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.
\( \sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.
\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)
\( = (7 + x) - (x + 3) \)
\( A \cdot B = 4 \)
\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{3} - 1 = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.
\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.
\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)
\( B \)'yi yalnız bırakalım.
\( B = 2A \) bulunur.
\( \sqrt[4]{4 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt[4]{16 - 12} \)
\( = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{4(3 + \sqrt{5})} \)
Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.
\( = \sqrt[4]{4(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4(3^2 - (\sqrt{5})^2)} \)
\( = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = 2 \) bulunur.
\( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterVerilen işlemin sonucuna \( x \) diyelim.
\( x = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \)
Tarafların karesini alalım.
\( x^2 = (\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^2 \)
\( = (\sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2 - 2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + (\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^2 \)
\( = (5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} + (5 - 2\sqrt{6}) \)
\( = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{25 - 24} + 5 - 2\sqrt{6} \)
\( = 10 - 2 = 8 \)
\( x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) bulunur.
\( \dfrac{(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)}{(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı şeklinde yazalım.
\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)
Şimdi paydayı düzenleyelim.
\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)
\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)
Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.
\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.
\( \sqrt{11 + 4\sqrt{6}} - \sqrt{11 - 4\sqrt{6}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{11 + 2\sqrt{4 \cdot 6}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{4 \cdot 6}} \)
\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)
\( = \sqrt{8 + 3 + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{8 + 3 - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{\sqrt{8})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)
\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)
\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.
\( \sqrt{2} = a, \quad \sqrt{3} = b, \quad \sqrt{5} = c \) olmak üzere,
\( \sqrt[4]{0,036} \) ifadesinin \( a \), \( b \) ve \( c \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{1000}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)
\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)
Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)
Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \) bulunur.
\( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{6} \) olduğuna göre,
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)
\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)
\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)
Bu değerleri sonucu istenen ifadede yerine koyalım.
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)
İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)
\( = 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)
\( = 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)
\( = 9\) bulunur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce paydayı düzenleyelim.
Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.
\( x = 14 - 6\sqrt{5} \) olduğuna göre,
\( \sqrt{x} + 4x^{-\frac{1}{2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \)'i tam kare şeklinde yazalım.
\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)
\( = 9 + 5 - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)
\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{x} + 4x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}} \)
\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + \dfrac{4}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \)
Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 3 - \sqrt{5} + \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)
\( = 6 \) bulunur.
\( \sqrt{\sqrt{28 + 8\sqrt{12}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16 + 12 + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16})^2 + (\sqrt{12})^2 + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)
\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)
Aynı işlemi tekrarlayalım.
\( = \sqrt{3 + 1 + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{1})^2 + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)
\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( 7 + \sqrt{40} = 5 + 2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( 8 + \sqrt{48} = 6 + 2 + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)
\( 11 + \sqrt{120} = 6 + 5 + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)
Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
\( = 0 \) bulunur.
\( \sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{28} + 29}{\sqrt{28} - 1}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadeden kurtulmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile genişletelim.
\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)
\( = 2\sqrt{28 \cdot 1} + (\sqrt{28})^2 + (\sqrt{1})^2 \)
\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)
Sorudaki ifadede yerine yazalım.
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{\sqrt{121 + \sqrt{121^2 - 1}}} \) ifadesini en sade haliyle yazınız.
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{\sqrt{121 + \sqrt{121^2 - 1}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{121 + \sqrt{(121 - 1)(121 + 1)}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{121 + \sqrt{120 \cdot 122}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{121 + 2\sqrt{60 \cdot 61}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{61 + 60 + 2\sqrt{61 \cdot 60}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{61})^2 + (\sqrt{60})^2 + 2\sqrt{61}\sqrt{60}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{61} + \sqrt{60})^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{61} + \sqrt{60}} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{\sqrt{61} - \sqrt{60}}{(\sqrt{61} + \sqrt{60})(\sqrt{61} - \sqrt{60})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{61} - \sqrt{60}}{(\sqrt{61})^2 - (\sqrt{60})^2} \)
\( = \dfrac{\sqrt{61} - \sqrt{60}}{61 - 60} \)
\( = \sqrt{61} - \sqrt{60} \) bulunur.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterEn içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} \)
\( = \sqrt{3^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} \)
\( = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = 3 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4(3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)
\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} \)
\( = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} \)
\( = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)
\( = \sqrt{2} \) bulunur.
\( x \) asal sayı, \( b \) doğal sayıdır.
Buna göre \( \sqrt[3]{x + 19} = b \) işleminde \( x \)'in alabileceği en küçük değer nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( x + 19 = b^3 \)
\( x = b^3 - 19 \)
Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 5^3 - 19 = 106 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 6^3 - 19 = 197 \Longrightarrow \) Asal
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer 197 olur.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{64}, \quad \sqrt[b]{27} = \sqrt[c]{81} \) ve
\( a \cdot b \cdot c = 12 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)
\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)
Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)
\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)
\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)
Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)
Bu değerleri soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)
\( k = 1 \)
\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)
\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.
\( x = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} \) olduğuna göre,
\( x^2 - 6x - 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.
\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)
\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)
\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)
\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.
\( \sqrt[3]{8 + 3\sqrt{21}} + \sqrt[3]{8 - 3\sqrt{21}} \) ifadesini en sade haliyle yazınız.
Çözümü GösterDeğeri istenen işlemin sonucuna \( x \) diyelim.
Aşağıdaki değişkenleri tanımlayalım.
\( a = \sqrt[3]{8 + 3\sqrt{21}} \)
\( b = \sqrt[3]{8 - 3\sqrt{21}} \)
\( x = a + b \)
Bu eşitliğin taraflarının küpünü alalım.
\( x^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
\( a + b \), \( a \) ve \( b \) ifadelerinin karşılıklarını yazalım.
\( x^3 = (\sqrt[3]{8 + 3\sqrt{21}})^3 + (\sqrt[3]{8 - 3\sqrt{21}})^3 + 3(\sqrt[3]{8 + 3\sqrt{21}})(\sqrt[3]{8 - 3\sqrt{21}})x \)
\( x^3 = 8 + 3\sqrt{21} + 8 - 3\sqrt{21} + 3(\sqrt[3]{8^2 - (3\sqrt{21})^2})x \)
\( x^3 = 8 + 3\sqrt{21} + 8 - 3\sqrt{21} + 3(\sqrt[3]{64 - 9 \cdot 21})x \)
\( x^3 = 16 + 3x\sqrt[3]{-125} \)
\( x^3 = 16 - 15x \)
\( x^3 + 15x - 16 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafına \( x^2 \) ekleyip çıkaralım.
\( x^3 - x^2 + x^2 + 15x - 16 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2(x - 1) + (x + 16)(x - 1) = 0 \)
\( (x - 1)(x^2 + x + 16) = 0 \)
İkinci çarpanın deltası sıfırdan küçük olduğu için sadece birinci çarpandan reel çözüm gelir.
\( x = 1 \)
Verilen ifadenin sonucu 1 olarak bulunur.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12})(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci köklü ifadeyi \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}})\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)
Paydaki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7 + 3 + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{(2\sqrt{7} - 2\sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{2(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}} \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{2}((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Aşağıdaki ifadelerden hangisinin karekökü \( a + b\sqrt{3} \) formunda yazılamaz?
(a) \( 28 + 16\sqrt{3} \)
(b) \( 52 + 16\sqrt{3} \)
(c) \( 67 + 16\sqrt{3} \)
(d) \( 88 + 16\sqrt{3} \)
(e) \( 193 + 16\sqrt{3} \)
Çözümü GösterSeçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)
\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)
Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.
\( a = 1, \quad b = 8 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = 193 \)
Bu durumda cevap \( 193 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 2, \quad b = 4 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)
Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 4, \quad b = 2 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)
Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)
Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.
Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.