İki ifadeyi karşılaştırdığımızda ifadelerin farkının \( \frac{b^2}{4a} \) kadar olduğunu görürüz. Şimdi de bu farkın her zaman 1'den küçük olacağını gösterelim.
\( a \) sayısının \( n \)'den küçük ve karekökünün \( k \) sayısı olduğunu varsayalım. Buna göre aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( k^2 \lt a + b \lt (k + 1)^2 \)
\( k^2 \lt a + b \lt k^2 + 2k + 1 \)
Yaptığımız tanıma göre \( a \) en yakın tam kare sayıya eşittir.
\( a = k^2 \)
\( b \)'nin alabileceği en büyük değer de yukarıdaki eşitsizliğin alt ve üst sınır değerlerinin yarısıdır (daha büyük olması aralığın üst sınırının daha yakın bir tam kare sayı olduğunu gösterir).
\( b \le \dfrac{k^2 + 2k + 1 - k^2}{2} \)
\( b \le k + \dfrac{1}{2} \)
Yukarıda bulduğumuz gerçek ve yaklaşık değerler arasındaki farkı, \( b \) için olabilecek en büyük değeri alarak \( k \) cinsinden yazalım.
Hatırlarsak bu ifade karekök değerini bulmak istediğimiz sayı ve yaklaşık karekök değerinin karesi arasındaki farktır. Bu ifade en büyük değerini \( k = 1 \) olduğunda alır (\( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16} \)) ve karekök değerini bulmak istediğimiz sayı büyüdükçe küçülür. Dolayısıyla bu formülle hesaplayacağımız yaklaşık karekök değerinin karesi verilen sayıdan farkı en fazla \( \frac{9}{16} \) olabilir.
Dolayısıyla örneğin \( 108 \) sayısının yaklaşık karekök değerini hesapladığımızda, formülün bize vereceği değerin karesinin \( (108 - \frac{9}{16}, 108 + \frac{9}{16}) \) aralığında olmasını bekleriz, nitekim bulduğumuz yaklaşık değerin karesi \( 108,16 \) olur.
Bu yaklaşımı \( a \) sayısının \( n \)'den büyük olduğu duruma da uygulayabiliriz.
Bu yöntemi farklı sayılara uyguladığımızda elde edilen tahmini karekök değerleri gerçek değerlerle karşılaştırmalı olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir.
\( \sqrt{n} \)
\( a \)
\( b \)
Tahmini Değer
Gerçek Değer
\( \sqrt{8} \)
\( 9 \)
\( -1 \)
\( 2,8333 \ldots \)
\( 2,8284 \ldots \)
\( \sqrt{19} \)
\( 16 \)
\( 3 \)
\( 4,3750 \)
\( 4,3588 \ldots \)
\( \sqrt{45} \)
\( 49 \)
\( -4 \)
\( 6,7142 \ldots \)
\( 6,7082 \ldots \)
\( \sqrt{71} \)
\( 64 \)
\( 7 \)
\( 8,4375 \)
\( 8,4261 \ldots \)
\( \sqrt{94} \)
\( 100 \)
\( -6 \)
\( 9,7000 \)
\( 9,6953 \ldots \)
\( \sqrt{181} \)
\( 169 \)
\( 12 \)
\( 13,4615 \ldots \)
\( 13,4536 \ldots \)
\( \sqrt{274} \)
\( 289 \)
\( -15 \)
\( 16,5588 \ldots \)
\( 16,5529 \ldots \)
\( \sqrt{420} \)
\( 400 \)
\( 20 \)
\( 20,5000 \)
\( 20,4939 \ldots \)
\( \sqrt{635} \)
\( 625 \)
\( 10 \)
\( 25,2000 \)
\( 25,1992 \ldots \)
\( \sqrt{886} \)
\( 900 \)
\( -14 \)
\( 29,7666 \ldots \)
\( 29,7657 \ldots \)
SORU 1:
Bir kumaş fabrikası pantolon yapmak üzere \( 6\sqrt{33} \) metre uzunluğunda kumaş üretmiştir. Bu kumaştan \( 25\sqrt{2} \) cm uzunluğunda parçalar kesilecektir.
Buna göre, bu üretilen kumaştan en fazla kaç parça kumaş kesilebilir?