Köklü İfadelerin Yaklaşık Değeri
Bir sayının yaklaşık karekök değerini bulmak için kullanılabilecek farklı yöntemler vardır, bunlardan en pratik olanı aşağıdaki gibidir.
\( n, a \in \mathbb{Z^+}, \quad b \in \mathbb{Z} \),
\( n \): Karekök değerini bulmak istediğimiz sayı,
\( a \): Alttan ya da üstten \( n \)'ye en yakın tam kare sayı,
\( b \): \( a \) sayını \( n \)'ye tamamlayan pozitif ya da negatif sayı,
\( n = a + b \) olmak üzere,
\( n \) sayısının yaklaşık karekök değer formülü:
\( \sqrt{n} \approx \sqrt{a} + \dfrac{b}{2\sqrt{a}} \)
108 sayısının yaklaşık karekök değerini bulalım.
108'e en yakın tam kare sayı 100'dür.
\( a = 100, \quad b = 8 \)
108'in yaklaşık karekök değeri:
\( \sqrt{108} \approx \sqrt{100} + \dfrac{8}{2\sqrt{100}} \)
\( = 10 + \dfrac{8}{2 \cdot 10} = 10,4000 \)
108'in gerçek karekök değeri:
\( \sqrt{108} = 10,3923 \ldots \)
610 sayısının yaklaşık karekök değerini bulalım.
610'a en yakın tam kare sayı 625'tir.
\( a = 625, \quad b = -15 \)
610'un yaklaşık karekök değeri:
\( \sqrt{610} \approx \sqrt{625} + \dfrac{-15}{2\sqrt{625}} \)
\( = 25 - \dfrac{15}{2 \cdot 25} = 24,7000 \)
610'un gerçek karekök değeri:
\( \sqrt{610} = 24,6981 \ldots \)
İSPATI GÖSTER
Bir ispat olmasa da bu formülün neden gerçek karekök değerine yakın bir değer ürettiğini aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz.
Karekök değerini bulmak istediğimiz \( n \) sayısını \( a \) ve \( b \) cinsinden yazalım.
\( n = a + b \)
Şimdi de formülle elde edeceğimiz yaklaşık karekök değerinin karesini alalım.
\( (\sqrt{a} + \dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 = (\sqrt{a})^2 \) \( + 2\sqrt{a}\dfrac{b}{2\sqrt{a}} \) \( + (\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 \)
\( = a + b + \dfrac{b^2}{4a} \)
İki ifadeyi karşılaştırdığımızda ifadelerin farkının \( \frac{b^2}{4a} \) kadar olduğunu görürüz. Şimdi de bu farkın her zaman 1'den küçük olacağını gösterelim.
\( a \) sayısının \( n \)'den küçük ve karekökünün \( k \) sayısı olduğunu varsayalım. Buna göre aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( k^2 \lt a + b \lt (k + 1)^2 \)
\( k^2 \lt a + b \lt k^2 + 2k + 1 \)
Yaptığımız tanıma göre \( a \) en yakın tam kare sayıya eşittir.
\( a = k^2 \)
\( b \)'nin alabileceği en büyük değer de yukarıdaki eşitsizliğin alt ve üst sınır değerlerinin yarısıdır (daha büyük olması aralığın üst sınırının daha yakın bir tam kare sayı olduğunu gösterir).
\( b \le \dfrac{k^2 + 2k + 1 - k^2}{2} \)
\( b \le k + \dfrac{1}{2} \)
Yukarıda bulduğumuz gerçek ve yaklaşık değerler arasındaki farkı, \( b \) için olabilecek en büyük değeri alarak \( k \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{b^2}{4a} = \dfrac{(k + \frac{1}{2})^2}{4k^2} \)
\( = \dfrac{k^2 + k + \frac{1}{4}}{4k^2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4k} + \dfrac{1}{16k^2} \)
Hatırlarsak bu ifade karekök değerini bulmak istediğimiz sayı ve yaklaşık karekök değerinin karesi arasındaki farktır. Bu ifade en büyük değerini \( k = 1 \) olduğunda alır (\( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16} \)) ve karekök değerini bulmak istediğimiz sayı büyüdükçe küçülür. Dolayısıyla bu formülle hesaplayacağımız yaklaşık karekök değerinin karesi verilen sayıdan farkı en fazla \( \frac{9}{16} \) olabilir.
Dolayısıyla örneğin \( 108 \) sayısının yaklaşık karekök değerini hesapladığımızda, formülün bize vereceği değerin karesinin \( (108 - \frac{9}{16}, 108 + \frac{9}{16}) \) aralığında olmasını bekleriz, nitekim bulduğumuz yaklaşık değerin karesi \( 108,16 \) olur.
Bu yaklaşımı \( a \) sayısının \( n \)'den büyük olduğu duruma da uygulayabiliriz.
Bu yöntemi farklı sayılara uyguladığımızda elde edilen tahmini karekök değerleri gerçek değerlerle karşılaştırmalı olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| \( \sqrt{n} \) | \( a \) | \( b \) | Tahmini Değer | Gerçek Değer |
|---|---|---|---|---|
| \( \sqrt{8} \) | \( 9 \) | \( -1 \) | \( 2,8333 \ldots \) | \( 2,8284 \ldots \) |
| \( \sqrt{19} \) | \( 16 \) | \( 3 \) | \( 4,3750 \) | \( 4,3588 \ldots \) |
| \( \sqrt{45} \) | \( 49 \) | \( -4 \) | \( 6,7142 \ldots \) | \( 6,7082 \ldots \) |
| \( \sqrt{71} \) | \( 64 \) | \( 7 \) | \( 8,4375 \) | \( 8,4261 \ldots \) |
| \( \sqrt{94} \) | \( 100 \) | \( -6 \) | \( 9,7000 \) | \( 9,6953 \ldots \) |
| \( \sqrt{181} \) | \( 169 \) | \( 12 \) | \( 13,4615 \ldots \) | \( 13,4536 \ldots \) |
| \( \sqrt{274} \) | \( 289 \) | \( -15 \) | \( 16,5588 \ldots \) | \( 16,5529 \ldots \) |
| \( \sqrt{420} \) | \( 400 \) | \( 20 \) | \( 20,5000 \) | \( 20,4939 \ldots \) |
| \( \sqrt{635} \) | \( 625 \) | \( 10 \) | \( 25,2000 \) | \( 25,1992 \ldots \) |
| \( \sqrt{886} \) | \( 900 \) | \( -14 \) | \( 29,7666 \ldots \) | \( 29,7657 \ldots \) |
\( \sqrt{14} \lt x \lt \sqrt{83} \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği kaç tam sayı değer vardır?
Çözümü Göster\( 14 \)'ün bulunduğu ardışık tam kare sayı aralığından, \( \sqrt{14} \)'ün değerinin tam sayı aralığını bulalım.
\( \sqrt{9} \lt \sqrt{14} \lt \sqrt{16} \)
\( 3 \lt \sqrt{14} \lt 4 \)
Aynı işlemi \( 83 \) için yapalım.
\( \sqrt{81} \lt \sqrt{83} \lt \sqrt{100} \)
\( 9 \lt \sqrt{83} \lt 10 \)
Buna göre, \( x \)'in alabileceği tam sayı değer aralığı aşağıdaki gibi olur.
\( 4 \le x \le 9 \)
\( x \)'in alabileceği \( 9 - 4 + 1 = 6 \) tam sayı değer vardır.
\( \sqrt{22} \cong 4,69 \) olduğuna göre, \( \sqrt{\frac{11}{2}} \) ifadesinin yaklaşık değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{22} \cong 4,69 \)
Eşitliğin iki tarafını \( 2 = \sqrt{4} \)'e bölelim.
\( \dfrac{\sqrt{22}}{\sqrt{4}} \cong \dfrac{4,69}{\sqrt{4}} \)
\( \sqrt{\dfrac{22}{4}} \cong \dfrac{4,69}{2} \)
\( \sqrt{\dfrac{11}{2}} \cong 2,345 \) olarak bulunur.
Bir kumaş fabrikası pantolon yapmak üzere ürettiği \( 6\sqrt{33} \) metre kumaştan \( 25\sqrt{2} \) cm uzunluğunda parçalar kesecektir.
Buna göre, üretilen kumaştan en fazla kaç parça kumaş kesilebilir?
Çözümü GösterÖncelikle birimleri farklı olan uzunlukların birimlerini aynı yapalım.
\( 6\sqrt{33} \) metre = \( 600\sqrt{33} \) cm kumaş olur.
Kumaşın toplam uzunluğunu her bir parçanın uzunluğuna bölelim.
\( \dfrac{600\sqrt{33}}{25\sqrt{2}} = \dfrac{24\sqrt{33}}{\sqrt{2}} \)
Paydayı rasyonel hale getirmek için payı ve paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{24\sqrt{33} \cdot \sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{66} \)
\( \sqrt{66} \) ifadesinin yaklaşık değerini bulalım.
66'ya en yakın tam kare sayı 64'tür.
\( a = 64, \quad b = 66 - 64 = 2 \) olmak üzere,
Yaklaşık değer \( = \sqrt{a} + \dfrac{b}{2\sqrt{a}} \)
\( = \sqrt{64} + \dfrac{2}{2\sqrt{64}} \)
\( = 8 + \dfrac{2}{2 \cdot 8} = 8,125 \)
Buna göre \( 12\sqrt{66} \) ifadesinin yaklaşık değerini bulalım.
\( 12\sqrt{66} \approx 12 \cdot 8,125 = 97,5 \)
Buna göre üretilen kumaştan en fazla 97 parça kumaş kesilebilir.