Önceki bölümdeki bir sorunun çözümü sonucunda bulduğumuz değerleri orijinal denklemde yerine koyduğumuzda bazı değerlerin eşitliği sağlamadığını görmüş ve bu değerleri çözüm kümesi dışında bırakmıştık. Bu bölümde bu tip değerlerin nasıl oluştuğunu anlamaya çalışacağız.
Reel olmayan çözümler; bir denklemin çözümü sonucunda bulunan, ancak denklemi ya da problemdeki diğer bazı kısıtlamaları sağlamadığı için çözüm kümesine dahil edilmemesi gereken değerlerdir.
Bir denklemin çözümünde reel olmayan bir çözüm elde edilmesi denklemin yanlış çözüldüğünü ya da yanlış bir yöntem izlendiğini göstermez, kullanılan yöntemin reel olmayan çözüm üretebilen bir yöntem olmasından kaynaklanır. Bu yüzden hangi durumlarda reel olmayan çözümlerin ortaya çıkabileceğinin bilinmesi önemlidir.
Şimdi reel olmayan çözümlere yol açabilecek bazı durumları inceleyelim.
Bazı durumlarda, problem çözümü sonucunda bulunan bir değer sorunun doğası ile ilgili bazı kısıtlamaları sağlamıyor olabilir. Bu kısıtlamaların problemde özellikle belirtilmemiş olabileceğine dikkat edilmelidir.
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı kısa kenarından 2 metre daha uzundur. Bahçenin alanı 48 metrekare olduğuna göre, bahçenin kısa kenarının uzunluğu kaç metredir?
Bahçenin kısa kenarının uzunluğuna \( x \) diyelim ve alan değerini \( x \) cinsinden hesaplayalım.
\( x(x + 2) = 48 \)
\( x^2 + 2x - 48 = 0 \)
\( (x + 8)(x - 6) = 0 \)
Her iki çarpanı sıfır yapan \( x = -8 \) ve \( x = 6 \) değerleri bu eşitliği sağlar.
Bununla birlikte bahçenin bir kenar uzunluğu negatif değer alamaz, dolayısıyla \( x = -8 \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = 6 \)
Gördüğümüz gibi, yazdığımız denklem ve uyguladığımız çözüm adımlarında matematiksel açıdan bir hata olmasa da, bulduğumuz değerlerden biri soruda açıkça yazılmasa da aslında sorunun parçası olan bir kısıtlamaları sağlamamaktadır ve çözüm kümesinden çıkartılması gerekir.
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları \( x \) ve \( x - 7 \), hipotenüs uzunluğu \( x + 2 \) olduğuna göre, \( x \) kaç olabilir?
\( x \) cinsinden verilen kenar uzunluklarını Pisagor teoreminde yerine koyalım ve denklemi çözelim.
\( x^2 + (x - 7)^2 = (x + 2)^2 \)
\( x^2 + x^2 - 14x + 49 = x^2 + 4x + 4 \)
Oluşan ikinci dereceden denklemde tüm terimleri tek bir tarafta toplayıp denklemi çözelim.
\( x^2 - 18x + 45 = 0 \)
\( (x - 3)(x - 15) = 0 \)
Her iki çarpanı sıfır yapan \( x = 3 \) ve \( x = 15 \) değerleri bu eşitliği sağlar.
Elde ettiğimiz iki değerin de pozitif olduğunu görüyoruz. Her ne kadar ilk bakışta iki değer de geçerli birer çözüm gibi gözükse de, aslında problemdeki kısıtlama \( x \)'in değil, kenar uzunluklarının pozitif olmasıdır.
\( x = 3 \) için dik kenar uzunluklarından biri \( x - 7 = -4 \) olduğu için \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = 15 \)
Bir denklemin her iki tarafına aynı işlemin uygulanması (aynı sayı ile toplama, çıkarma, çarpma ya da bölme) eşitliği bozmaz. Ancak her iki tarafın sabit bir değer yerine bir değişkenle ya da değişken içeren bir ifade ile çarpılması çözüm kümesini değiştirebilir. Bu durumu bir örnek üzerinde inceleyelim.
\( x - 5 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Bu oldukça basit soruda \( x \)'i yalnız bırakıp \( x = 5 \) değerinin denklemin tek çözüm kümesi olduğunu hemen görebiliriz. Çözüm için gerekli bir adım olmasa da, denklemin her iki tarafını önce \( x \) ile çarptığımızı varsayalım.
\( (x - 5)x = 0x \)
Eşitliğin sağ tarafı yine 0'a eşit olur.
\( (x - 5)x = 0 \)
Denklemin şu haliyle çözüm kümesi \( \{ 0, 5 \} \) olan bir denkleme dönüştüğünü görebiliriz.
Şimdi de iki tarafı \( (x - 3) \) ile çarpalım.
\( (x - 5)x(x - 3) = 0(x - 3) = 0 \)
Şimdi de çözüm kümesi \( \{ 0, 3, 5 \} \) olan bir denklem elde etmiş olduk.
Her ne kadar bir denklemin her iki tarafını değişken içeren bir ifade ile çarpmamız matematiksel olarak doğru bir işlem gibi gözükse de, denklemin her iki tarafını 0 değeri alabilecek bir ifade ile çarptığımızda çarptığımız ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerini denkleme çözüm olarak eklemiş oluruz, bu yüzden bu durumlarda bulduğumuz değerlerin ilk denklemde sağlamasını yaparak çözüm kümesini belirlemeliyiz.
Denklem çözümlerinde pay ve paydadaki değişken içeren bazı çarpanları sadeleştirmek ya da paydanın bir değişken içerdiği durumlarda denklemin iki tarafındaki terimler arasında içler - dışlar çarpımı yapmak da denklemin her iki tarafını bir değişkenle çarpma işlemidir, dolayısıyla bu durumlarda da elde edilen değerler ilk denklemde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilmelidir.
Önceki bölümde karşılaştığımız köklü denklemlerin çözümünde uyguladığımız işlem yukarıdakilerden farklı olarak denklemin her iki tarafının karesini almaktı. Bir denklemde her iki tarafın karesini almak da reel olmayan çözüm üretebilecek işlemlerden biridir, dolayısıyla böyle bir işlem sonrasında mutlaka çözüm sonucunda elde edilen değerler ilk denklemde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilmelidir.
Son iki adımda gördüğümüz denklemin her iki tarafını bir değişkenle çarpma ve denklemin her iki tarafının karesini alma işlemlerinin ortak yanı, her ikisinin de denklemin derecesini artırıyor olmasıdır. Bir denklemin sonsuz çözümünün olduğu özel durumları saymazsak, \( n \). dereceden bir denklemin en fazla \( n \) reel çözümü olabilir.
Birinci dereceden denklem:
\( 2x - 6 = 2(x - 3) = 0 \)
\( x = \{ 3 \} \)
İkinci dereceden denklem:
\( x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0 \)
\( x = \{ 3, 4 \} \)
Üçüncü dereceden denklem:
\( x^3 - 7x^2 + 12x = x(x - 3)(x - 4) = 0 \)
\( x = \{ 0, 3, 4 \} \)
Dolayısıyla, bir denklemin her iki tarafı değişken içeren bir ifade ile çarpıldığında ya da karesi alındığında, aynı zamanda denklemin derecesi artmış ve çözüm kümesine dahil olmayan bazı değerler çözüm kümesine eklenmiş olur. Bu yüzden bu işlemlerin uygulandığı durumlarda elde edilen tüm değerler ilk denklemde yerine konarak denklemi sağlayıp sağlamadıkları kontrol edilmeli, denklemi sağlamayan değerler çözüm kümesine dahil edilmemelidir.