Geometrik Kombinasyon

12 nokta arasından seçilebilecek her nokta ikilisi bir doğru belirtir, ancak dikdörtgenin kenarları üzerindeki noktalar doğrusal oldukları için her kenar üzerindeki noktalar sadece bir doğru belirtir.

$$: 12 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek doğru sayısı

$$: $$ kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı

$$: $$ kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı

$$: $$ kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı

$$: $$ kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı

Tüm durumlardan doğrusal olan noktaların oluşturduğu tüm nokta ikililerinin sayısını çıkaralım.

Dikdörtgenin kenarları üzerindeki noktalar doğrusal olsalar da her bir kenar üzerindeki noktalar tek bir doğru oluşturur, dolayısıyla bu dört doğruyu yukarıda bulduğumuz sayıya ekleriz.

$$ tane doğru çizilebilir.

Doğrusal olmayan üç farklı nokta tek bir üçgen oluşturur. Herhangi üçü doğrusal olmayan $$ tane farklı nokta içinden seçilecek her nokta üçlüsü benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam üçgen sayısı $$ olur.

Buna göre, herhangi üçü doğrusal olmayan bu 8 noktayı köşe kabul eden üçgen sayısı:

$$ olur.

10 nokta arasından 3 nokta $$ farklı şekilde seçilebilir. Ancak 6 nokta doğrusal olduğu için bu seçimlerden $$ kadarı üçgen belirtmez. Tüm durumlardan üçgen belirtmeyen durumları çıkarırsak çizilebilecek üçgen sayısını buluruz.

$$ tane üçgen çizilebilir.

Çizilecek üçgenlerin bir köşesi $$ olduğundan, diğer iki köşesi kalan 8 nokta arasından seçilmelidir. Dolayısıyla 8 nokta içinden seçilebilecek her nokta ikilisi kadar bir köşesi $$ olan üçgen çizilebilir.

Buna göre, bir köşesi $$ olan üçgen sayısı:

$$ olur.

1. yöntem:

9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısından $$ ve $$ doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgenlerin sayısını çıkarırsak verilen noktalarla çizilebilecek toplam üçgen sayısını buluruz.

$$: 9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısı

$$: $$ doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı

$$: $$ doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı

$$ bulunur.

2. yöntem:

Çizilebilecek üçgenlerin ya bir köşesi $$ doğrusu üzerinde ve iki köşesi $$ doğrusu üzerinde olur, ya da iki köşesi $$ doğrusu üzerinde ve bir köşesi $$ doğrusu üzerinde olur.

Durum 1: İki köşe $$ doğrusu üzerinde

$$ doğrusu üzerinden bir ve $$ doğrusu üzerinden iki noktanın farklı seçim sayısı: $$

Durum 2: İki köşe $$ doğrusu üzerinde

$$ doğrusu üzerinden iki ve $$ doğrusu üzerinden bir noktanın farklı seçim sayısı: $$

Toplam farklı seçim sayısı bu iki durumun toplamına eşittir.

$$ bulunur.

9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısından, $$ ve $$ doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgenlerin sayısını çıkarırsak verilen noktalarla çizilebilecek toplam üçgen sayısını buluruz.

$$: 9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısı

$$: $$ doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı

$$: $$ doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı

$$ tane üçgen çizilebilir.

10 nokta arasından 3 nokta $$ farklı şekilde seçilebilir. Ancak bu noktalardan 6'sı ($$ noktaları) doğrusal olduğu için bu seçimlerden $$ kadarı üçgen belirtmez. Tüm durumlardan üçgen belirtmeyen durumları çıkarırsak çizilebilecek üçgen sayısını buluruz.

$$ tane üçgen çizilebilir.

Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 nokta $$ farklı üçgen oluşturur, ancak bu sayıdan doğrusal olan noktalarla oluşturulamayacak üçgenlerin sayısı çıkarılmalıdır.

Üzerinde 3 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı $$ üçgen oluşturulabilirdi.

Üzerinde 4 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı $$ üçgen oluşturulabilirdi.

Üzerinde 6 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı $$ üçgen oluşturulabilirdi.

Buna göre şekildeki noktalar ile oluşturulabilecek üçgen sayısı $$ olarak bulunur.

Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 nokta $$ farklı üçgen oluşturur.

Bu noktalardan $$ doğrusu üzerindeki 3 nokta doğrusal oldukları için $$ üçgen eksik oluşmuş olur.

Buna göre şekildeki noktalar $$ üçgen oluşturur.

Doğrusal olmayan üç farklı nokta tek bir üçgen oluşturur. Doğrusal üç farklı nokta bir üçgen oluşturmaz.

Şekildeki 9 nokta arasından 3 nokta $$ farklı şekilde seçilebilir.

Bu kombinasyonlar içinden AOE, BOF, COG ve DOH nokta üçlüleri doğrusal oldukları için bir üçgen oluşturmaz.

Buna göre verilen 9 nokta arasından 3 nokta bir üçgen oluşturacak şekilde $$ farklı şekilde seçilebilir.

$$ noktaları doğrusal olmadıkları için bu noktalarla $$ farklı dörtgen elde edilebilir.

$$ doğrusu üzerindeki noktalar doğrusal oldukları için bu noktalar bir dörtgen oluşturmaz.

$$ noktaları ile $$ noktaları birlikte 2 farklı şekilde dörtgen oluşturur.

Durum 1: 3 köşesi $$ noktalarından, 1 köşesi $$ noktalarından olacak şekilde en fazla $$ farklı dörtgen elde edilebilir.

Durum 2: 2 köşesi $$ noktalarından, 2 köşesi $$ noktalarından olacak şekilde en fazla $$ farklı dörtgen elde edilebilir.

$$ noktaları doğrusal oldukları için 3 köşesi bu noktalardan seçilen bir dörtgen çizilemez.

Buna göre şekilde verilen noktalar $$ farklı dörtgen oluşturur.

Aynı düzlemde bulunan ve farklı (çakışık olmayan) $$ tane doğrunun kesişebileceği nokta sayısı en çok $$ olabilir. Doğruların kesişim noktaları çakıştığı ya da doğrular birbirine paralel olduğu ölçüde bu sayı azalacaktır.

Buna göre, aynı düzlemde bulunan bu 7 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı:

$$ olur.

12 farklı doğru en fazla $$ farklı noktada kesişir. Ancak bu noktalardan 3'ü tek bir $$ noktasında, 5'i de tek bir $$ noktasında kesiştikleri için sırasıyla $$ ve $$ kesişim noktası yerine sadece birer kesişim noktası olmuş olur.

$$: 12 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı

$$: 3 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı

$$: 5 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı

Bu doğruların toplam kesişim nokta sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

Bu sonuca çıkardığımız doğruların kesiştikleri $$ ve $$ noktalarını eklersek sonucu buluruz.

$$ kesişim noktası vardır.

11 doğru en çok $$ noktada kesişebilir.

Verilen 11 doğrunun 6'sı birbirine paralel olduğu için hiçbir noktada kesişmez, dolayısıyla hesapladığımız en çok kesişme durumundan $$ sayısını çıkarmamız gerekir.

Diğer 5 doğru sadece tek bir $$ noktasında kesiştikleri için kesişebilecekleri en çok $$ noktası yerine tek bir noktada kesişmiş olurlar, dolayısıyla en çok kesişme durumundan bu sayıyı da çıkarmamız ve kesiştikleri bir noktayı eklememiz gerekir.

Buna göre, 11 doğru belirtilen şekilde en çok $$ noktada kesişebilir.

Birbiriyle çakışık olmayan $$ tane çember en çok $$ noktada kesişir.

Buna göre 8 farklı çemberin kesişebileceği en fazla nokta sayısı:

$$ kesişim noktası olur.

Yatay paralel doğrular arasından seçeceğimiz her 2 farklı doğru ve düşey paralel doğrular arasından seçeceğimiz her 2 farklı doğru arasında kalan alan bir paralelkenar oluşturur.

Buna göre, yatay ve paralel doğrular arasından yapabileceğimiz 2'şer farklı doğru seçim sayısı:

$$ tane paralelkenar vardır.

Levhada 6 yatay, 6 düşey doğru parçası vardır. Yatay doğru parçaları arasından seçilecek herhangi iki doğru parçası ve düşey doğru parçaları arasından seçilecek herhangi iki doğru parçası bir dikdörtgen oluşturur.

Buna göre oluşan dikdörtgenlerin sayısı:

$$ tane dikdörtgen oluşur.

2 kare en çok 8 noktada kesişir.

$$ tane kare en çok $$ noktada kesişir.

Buna göre 5 farklı karenin kesişebileceği en fazla nokta sayısı:

$$ kesişim noktası olur.

Üçgenin bir köşesi $$ ise diğer iki köşesi $$ ve $$ kenarları üzerinden seçilmelidir. $$ üzerindeki 6 noktadan iki nokta $$ farklı şekilde seçilir. Aynı şekilde $$ üzerindeki 6 noktadan iki nokta da 15 farklı şekilde seçilir. O halde, bir köşesi $$ olan $$ tane üçgen vardır.

Üçgenin bir köşesi $$, ikinci köşesi $$ üzerindeki 5 noktadan biri, üçüncü köşesi de $$ üzerinde bir nokta olan 5 farklı üçgen vardır.

Buna göre şekilde toplam $$ tane üçgen vardır.

Bu şekildeki üçgenlerin tümünün tepe köşesi ortak ve $$ noktasıdır.

$$ noktasında birleşen 6 doğru içinden seçilecek herhangi 2 doğru üçgenin yan kenarlarını oluşturur.

Buna göre bir üçgenin yan kenarları $$ farklı şekilde seçilebilir.

Birbirine paralel 6 doğru içinden seçilecek bir doğru üçgenin tabanını oluşturur.

Buna göre bir üçgenin tabanı $$ farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre verilen şekilde seçilebilecek 2 yan kenar ve 1 taban ile oluşan $$ üçgen vardır.

Çember üzerinde seçilecek noktalar doğrusal değildir.

Bu 6 noktadan üçü ile $$ farklı üçgen çizilebilir.

Bu 6 noktadan dördü ile $$ farklı dörtgen çizilebilir.

Bu 6 noktadan beşi ile $$ farklı beşgen çizilebilir.

Bu 6 noktadan altısı ile $$ farklı altıgen çizilebilir.

Buna göre bu 6 nokta ile $$ farklı çokgen çizilebilir.

Doğrusal olmayan 3 nokta uzayda tek bir düzlem belirtir. Buna göre herhangi üçünün doğrusal olmadığı durumda 10 nokta arasından seçilecek her 3 nokta bir düzlem belirtir.

Buna göre 10 noktadan en fazla $$ düzlem geçer.

$$ noktasına ek olarak çember üzerindeki 9 noktadan herhangi 2'si seçilerek bir daire dilimi çizilebilir.

Buna göre verilen şekildeki noktalar ile $$ farklı daire dilimi elde edilebilir.

Bir düzgün altıgen prizmada kenarlar arasındaki paralellik iki şekilde olur.

Öncelikle, bir düzgün altıgen prizmada 6 yan kenar kendi aralarında paraleldir.

Buna göre, 6 yan kenar arasından seçilebilecek her kenar ikilisi kadar birbirine paralel kenar ikilisi vardır.

İkinci olarak, prizmanın alt ve üst tabanlarındaki karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir. Örneğin alt tabandan seçilen bir kenar; alt tabanda karşısındaki 1 kenarla, üst tabanda aynı hizadaki 1 kenarla ve onun karşısındaki 1 kenarla olmak üzere toplam 3 kenarla paraleldir.

Alt ve üst tabandaki toplam 12 kenarı aralarında paralellik gösteren, her biri 4 kenardan oluşan 3 gruba ayırabiliriz.

Buna göre, her gruptaki 4 kenar arasından seçilebilecek her kenar ikilisi kadar paralel kenar ikilisi vardır.

Alt ve üst tabanda bu şekilde 3 kenar dörtlüsü vardır, dolayısıyla alt ve üst tabandaki kenarlar arasında birbirine paralel $$ kenar ikilisi vardır.

Yan kenarlar arasındaki paralel kenar ikilileri ile alt ve üst taban kenarları arasındaki paralel kenar ikililerini toplayalım.

$$ bulunur.

Verilen $$ tanım kümesine göre üçgenin köşelerinin bulunabileceği $$ tane nokta vardır.

25 nokta arasından 3 nokta $$ farklı şekilde seçilebilir.

Bu 2300 farklı seçimden, seçilen 3 noktanın doğrusal olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Yukarıdaki şekildeki turuncu kutuda olduğu gibi, aynı yatay doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Yukarıdaki şekildeki mavi kutuda olduğu gibi, aynı dikey doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Yukarıdaki şekildeki turuncu kutularda olduğu gibi, 3 nokta içeren aynı çapraz doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu kutuların yatay simetriklerini de sayarsak bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Yukarıdaki şekildeki mavi kutularda olduğu gibi, 4 nokta içeren aynı çapraz doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu kutuların yatay simetriklerini de sayarsak bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Yukarıdaki şekildeki yeşil kutuda olduğu gibi, 5 nokta içeren aynı çapraz doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu kutunun yatay simetriğini de sayarsak bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Yukarıdaki şekildeki mavi kutularda olduğu gibi, eğimleri 2 olacak şekilde 3 nokta içeren aynı çapraz doğru üzerinde seçilecek 3 nokta doğrusal olur. Bu kutuların eğimleri $$, $$ ve $$ olacak şekilde yatay ve dikey simetriklerini de sayarsak bu şekilde seçilebilecek $$ farklı nokta üçlüsü vardır.

Doğrusal nokta üçlülerinin toplam sayısı $$ olur.

Buna göre köşeleri verilen noktalarda olan $$ tane üçgen çizilebilir.