Nesnelerin Seçimi

10 spor ayakkabı modelinden 6'sı \( C(10, 6) = 210 \) farklı şekilde seçebilir.

8 bot modelinden 5'i \( C(8, 5) = 56 \) farklı şekilde seçebilir.

Buna göre ürünler vitrinde sergilenmek üzere \( 210 \cdot 56 = 11760 \) farklı şekilde seçilebilir.

Merve mavi renk dışında bir elbiseyi \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçebilir.

Merve beyaz renk dışında bir çantayı \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde seçebilir.

Merve beyaz renk dışında bir ayakkabıyı \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçebilir.

Buna göre Merve gardırobundan \( 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72 \) farklı seçim yapabilir.

(a) seçeneği:

Mavi olmayan 9 topun arasından 3 topun seçildiği \( C(9, 3) = 84 \) farklı durum vardır.

(b) seçeneği:

Mavi bir top \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde, kırmızı bir top \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde, sarı bir top \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre üç topun her birinin farklı renkte olduğu \( 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \) farklı durum vardır.

(c) seçeneği:

3 mavi toptan biri \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.

Diğer renkteki 9 toptan ikisi \( C(9, 2) = 36 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre 3 topun sadece birinin mavi olduğu \( 3 \cdot 36 = 108 \) farklı durum vardır.

(d) seçeneği:

3 topun da mavi, kırmızı ve sarı olduğu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.

3 mavi top içinden 3 top \( C(3, 3) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.

4 kırmızı top içinden 3 top \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.

5 sarı top içinden 3 top \( C(5, 3) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre üç topun aynı renkte olduğu \( 1 + 4 + 10 = 15 \) farklı durum vardır.

İstenen koşulun sağlanması için seçilen 3 bilyeden 2'si ya da 3'ü kırmızı olmalıdır.

Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: 2 kırmızı bilye

3 kırmızı bilye arasından 2 bilye, diğer renkteki 9 bilye arasından 1 bilye seçilir.

\( C(3, 2) \cdot C(9, 1) = 3 \cdot 9 = 27 \)

Durum 2: 3 kırmızı bilye

3 kırmızı bilye arasından 3 bilye, diğer renkteki 9 bilye arasından 0 bilye seçilir.

\( C(3, 3) \cdot C(9, 0) = 1 \cdot 1 = 1 \)

Toplam farklı seçim sayısı bu iki durumun toplamına eşittir.

\( 27 + 1 = 28 \) bulunur.

Öğrenci ya çakışan derslerden birini ve diğer derslerden ikisini seçer ya da çakışmayan derslerden üçünü seçer.

Durum 1:

Çakışan 3 dersten biri ve diğer 5 dersten ikisi seçilir.

\( C(3, 1) \cdot C(5, 2) = 3 \cdot 10 = 30 \)

Durum 2:

Çakışmayan 5 dersten üçü seçilir.

\( C(5, 3) = 10 \)

Toplam farklı seçim sayısı bu iki durumun toplamına eşittir.

\( 30 + 10 = 40 \) bulunur.

İlk 6 sorudan doğru cevaplanacak 3 soru \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.

Kalan 4 sorunun her biri doğru ya da yanlış cevaplanabileceği için \( 2^4 = 16 \) farklı sonuç oluşur.

Buna göre tüm sorular için cevaplar \( 20 \cdot 16 = 320 \) farklı şekilde olabilir.

1. satırdaki 6 kutudan ikisi \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

1. satırda boyanan kutuların bulunduğu sütunlar tekrar boyanamayacağı için, 2. satırda henüz boyanmamış 4 sütundan ikisi \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

1. ve 2. satırda boyanan kutuların bulunduğu sütunlar tekrar boyanamayacağı için, 3. satırda henüz boyanmamış 2 sütundan ikisi \( C(2, 2) = 1 \) farklı şekilde seçilip boyanabilir.

Buna göre tablo istenen şekilde \( 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90 \) farklı şekilde boyanabilir.

Çoğunluğun korku filmi olması istendiği için, film listesi 3, 4 ya da 5 korku filmi ile oluşturulabilir.

Bu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: 3 korku, 2 aksiyon filmi

6 korku filmi arasından 3 film, 7 aksiyon filmi arasından 2 film seçilir.

\( C(6, 3) \cdot (7, 2) = 20 \cdot 21 = 420 \)

Durum 2: 4 korku, 1 aksiyon filmi

6 korku filmi arasından 4 film, 7 aksiyon filmi arasından 1 film seçilir.

\( C(6, 4) \cdot (7, 1) = 15 \cdot 7 = 105 \)

Durum 3: 5 korku, 0 aksiyon filmi

6 korku filmi arasından 5 film, 7 aksiyon filmi arasından 0 film seçilir.

\( C(6, 5) \cdot (7, 0) = 6 \cdot 1 = 6 \)

Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.

\( 420 + 105 + 6 = 531 \) bulunur.

3 özdeş mektubun farklı zarflara, 2 özdeş mektubun aynı zarfa ve 3 mektubun aynı zarfa konduğu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: 3 mektup farklı zarflara

3 özdeş mektubu koymak için 3 farklı zarf \( C(5, 3) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 2: 2 mektup aynı zarfa, 1 mektup farklı zarfa

2 mektubu koymak için bir zarf \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde, diğer mektubu koymak için ikinci zarf \( C(4, 1) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre toplam farklı seçim sayısı \( 5 \cdot 4 = 20 \) olur.

Durum 3: 3 mektup aynı zarfa

3 mektubu koymak için bir zarf \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.

Toplam farklı durum sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.

\( 10 + 20 + 5 = 35 \) bulunur.

Bu sorunun çözümünde kullanabileceğimiz bir diğer yöntem olan ayraç yöntemini nesnelerin dağıtımı konusunda öğreneceğiz.

1. yöntem:

5 mektubu atmak için 8 posta kutusu içinden 5 posta kutusu \( C(8, 5) \) farklı şekilde seçilebilir.

5 mektup seçilen bu 5 posta kutusuna \( 5! \) farklı şekilde atılabilir.

Buna göre 5 farklı mektup 8 farklı posta kutusuna istenen şekilde \( C(8, 5) \cdot 5! = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot 5! = \frac{8!}{3!} \) farklı şekilde atılabilir.

2. yöntem:

Birinci mektubun atılabileceği 8 kutu vardır, ikinci mektubun atılabileceği 7 kutu vardır, benzer şekilde beşinci mektubun atılabileceği 4 kutu vardır.

Buna göre, 5 mektup 8 farklı posta kutusuna istenen şekilde \( P(8, 5) = \frac{8!}{3!} \) farklı şekilde atılabilir.

1. satırdaki 1 kutu içinden boyamak için 1 kutu \( C(1, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.

\( C(1, 1) = 1 \)

2. satırdaki 2 kutu içinden boyamak için 1 kutu \( C(2, 1) \) farklı şekilde, 2 kutu \( C(2, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.

\( C(2, 1) + C(2, 2) = 2 + 1 = 3 \)

Alternatif olarak, aynı sayıyı 2 kutu içinden yapabileceğimiz tüm alt küme seçimlerinden hiçbir kutunun seçilmediği durumu çıkararak da bulabiliriz.

\( 2^2 - C(2, 0) = 4 - 1 = 3 \)

3. satırdaki 3 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^3 - C(3, 0) = 8 - 1 = 7 \)

4. satırdaki 4 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^4 - C(4, 0) = 16 - 1 = 15 \)

5. satırdaki 5 kutu içinden boyamak için en az 1 kutunun farklı seçim sayısı:

\( 2^5 - C(5, 0) = 32 - 1 = 31 \)

Buna göre kutuları istenen şekilde boyayarak \( 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 31 = 9765 \) farklı desen elde edilebilir.

Nil'in 15 araba tercih hakkı vardır. Sıla Nil ile aynı renk araba alacağı için, Nil bir araba seçtikten sonra Sıla'nın aynı renkteki diğer arabalar arasından 2 tercih hakkı olur.

Sude, Nil ve Sıla'nın seçtiği renk dışındaki 12 arabadan birini seçebilir.

Ceren, üç arkadaşının seçtiği renkler dışındaki 9 arabadan birini seçebilir.

Buna göre dört arkadaş arabaları \( 15 \cdot 2 \cdot 12 \cdot 9 = 3240 \) farklı şekilde seçebilirler.

Verilen aralığa göre \( n \) sayısı 18 basamaklıdır.

\( n \) sayısının basamakları toplamı dört farklı şekilde 3 olur.

Durum 1: İlk basamak 1, kalan 17 basamaktan ikisi 1

\( 10^{17} \lt 1\underbrace{0 \ldots 1 \ldots 1 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 1 olacak 2 basamak \( C(17, 2) = \frac{17!}{15! \cdot 2!} = 136 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 2: İlk basamak 1, kalan 17 basamaktan biri 2

\( 10^{17} \lt 1\underbrace{0 \ldots 2 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 2 olacak 1 basamak \( C(17, 1) = 17 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 3: İlk basamak 2, kalan 17 basamaktan biri 1

\( 10^{17} \lt 2\underbrace{0 \ldots 1 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

17 basamaktan 1 olacak 1 basamak \( C(17, 1) = 17 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 4: İlk basamak 3, kalan 17 basamak 0

\( 10^{17} \lt 3\underbrace{00 \ldots 0}_\text{17 basamak} \lt 10^{18} \)

Bu şekilde tek bir sayı vardır.

Buna göre toplamda \( 136 + 17 + 17 + 1 = 171 \) farklı \( n \) sayısı yazılabilir.