Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Durumları

Lineer denklem sistemlerinin çözüm kümesi üç farklı şekilde olabilir.

Tek çözümlü: Denklem sistemini sağlayan tek bir \( (s_1, s_2, \ldots, s_n) \) sıralı \( n \)'lisi vardır. Aşağıda göreceğimiz üzere, tek çözümlü lineer denklem sistemlerinde satır eşelon formu \( n \) adet pivot içerir, yani her değişkenin bir pivotu vardır. Pivotu olan bu değişkenleri temel değişken olarak isimlendireceğiz.
Çözümsüz: Denklem sistemini sağlayan hiçbir \( (s_1, s_2, \ldots, s_n) \) sıralı \( n \)'lisi yoktur. Aşağıda göreceğimiz üzere, çözümsüz lineer denklem sistemlerinde satır eşelon formu \( b \ne 0 \) olmak üzere bir \( [\ 0\ 0\ \ldots\ 0\ |\ b\ ] \) satırı içerir.
Sonsuz sayıda çözümlü: Denklem sistemini sağlayan sonsuz sayıda \( (s_1, s_2, \ldots, s_n) \) sıralı \( n \)'lisi vardır. Aşağıda göreceğimiz üzere, sonsuz sayıda çözümlü lineer denklem sistemlerinde satır eşelon formu pivotu olmayan sütun ya da sütunlar içerir, yani pivotu olmayan değişken(ler) vardır. Pivotu olmayan bu değişkenleri serbest değişken olarak isimlendireceğiz.

Şimdi bu çözüm durumlarının her biri için birer örnek yapalım.

Tek Çözümlü Sistem

Aşağıdaki denklem sisteminin çözümünü Gauss eliminasyon yöntemi ile bulalım.

\( x_2 - 2x_3 + 7x_4 = 11 \)

\( x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 10 \)

\( x_1 - 2x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -9 \)

\( -3x_1 + 3x_2 + x_3 + 5x_4 = 8 \)

İşlem	Denklem Sistemi
Verilen denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım.
Satır 1 - Adım 1: İşleme 1. satır ile başlayalım. En soldaki sütundan başlayarak, 1. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 1. sütundur. \( a_{21} = 1 \) bu sütunda 1. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 1 - Adım 2: Belirlediğimiz pivot 1. satırın altında bulunduğu için 1. ve 2. satırlar arasında yer değiştirme işlemi ile 1. satıra taşıyalım. \( R_1 \leftrightarrow R_2 \)
Satır 1 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 3R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 1. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 2 - Adım 1: İşleme 2. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 2. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 2. sütundur. \( a_{22} = 1 \) bu sütunda 2. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 2 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 4R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( -9R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 2. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 3 - Adım 1: İşleme 3. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 3. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 3. sütundur. \( a_{33} = -15 \) bu sütunda 3. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 3 - Adım 1: 3. satırın tüm elemanlarını işlem kolaylığı açısından çarpma satır işlemi ile 5'e bölelim. \( \dfrac{1}{5}R_3 \rightarrow R_3 \)
Satır 3 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{31}{3}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 3. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 4 - Adım 1: İşleme 4. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 4. satırda sıfırdan farklı ilk eleman \( a_{44} = -\frac{14}{3} \) olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. Matrisin son satırına ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formundadır.
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini cebirsel olarak yazalım.

Dikkat edilirse elde ettiğimiz satır eşelon formu her sütunda bir pivot içermektedir, bu da lineer denklem sisteminin tek çözümünün olduğuna işaret etmektedir. Satır eşelon formunda pivotu olan değişkenlere temel değişken adı verilir. Buna göre \( x_1 \), \( x_2 \), \( x_3 \) ve \( x_4 \) birer temel değişkendir.

Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini, en son denklemden başlayarak geriye doğru yerine koyma yöntemi ile çözelim.

4. denklemi kullanarak \( x_4 \) değerini bulalım.

\( -\dfrac{14}{3}x_4 = -\dfrac{28}{3} \)

\( x_4 = 2 \)

3. denklemi ve \( x_4 \) değerini kullanarak \( x_3 \) değerini bulalım.

\( -3x_3 + 4x_4 = 5 \)

\( -3x_3 + 4(2) = 5 \)

\( x_3 = 1 \)

2. denklemi ve \( x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_2 \) değerini bulalım.

\( x_2 - 2x_3 + 7x_4 = 11 \)

\( x_2 - 2(1) + 7(2) = 11 \)

\( x_2 = -1 \)

1. denklemi ve \( x_2, x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_1 \) değerini bulalım.

\( x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 10 \)

\( x_1 + 2(-1) + 4(1) + 4(2) = 10 \)

\( x_1 = 0 \)

Buna göre lineer denklem sisteminin tek çözümü \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, -1, 1, 2) \) olarak bulunur.

Çözümsüz Sistem

Aşağıdaki denklem sisteminin çözümünü Gauss eliminasyon yöntemi ile bulalım.

\( x_1 - 3x_2 + x_3 = 4 \)

\( 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \)

\( -6x_1 - 4x_2 - 2x_3 = 1 \)

İşlem	Denklem Sistemi
Verilen denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım.
Satır 1 - Adım 1: İşleme 1. satır ile başlayalım. En soldaki sütundan başlayarak, 1. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 1. sütundur. \( a_{11} = 1 \) bu sütunda 1. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 1 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -3R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( 6R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) Bu işlemler sonucunda matris 1. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 2 - Adım 1: İşleme 2. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 2. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 2. sütundur. \( a_{22} = 11 \) bu sütunda 2. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 2 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 2R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) Bu işlemler sonucunda matris 2. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 3 - Adım 1: İşleme 3. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 3. satırda sıfırdan farklı bir eleman yoktur, dolayısıyla bu satırın pivotu yoktur. Matrisin son satırına ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formundadır.
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini cebirsel olarak yazalım.

Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sisteminde 3. satırın \( 0 = 7 \) olduğunu görüyoruz. Bu eşitlik hiçbir \( (x_1, x_2, x_3) \) üçlüsü için sağlanmayacağı için bu denklem sisteminin bir çözümü yoktur. Temel satır işlemleri ile satırca denk ve aynı çözüm kümesine sahip denklem sistemleri elde ettiğimiz için, orijinal denklem sisteminin de bir çözümü olmadığını söyleyebiliriz.

Yukarıda da belirttiğimiz gibi; bir lineer denklem sisteminin çözümünün olmamasının koşulu, \( b \ne 0 \) olmak üzere sistemin satış eşelon formunun \( 0 = b \) formunda bir denklem içermesidir.

Sonsuz Çözümlü Sistem

1 Serbest Değişken

Aşağıdaki denklem sisteminin çözümünü Gauss eliminasyon yöntemi ile bulalım.

\( x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 9x_4 = 11 \)

\( -x_1 - 2x_2 - x_3 + 3x_4 = -5 \)

\( -2x_1 - 3x_2 + 3x_4 = -7 \)

\( -3x_2 - 6x_3 + 4x_4 = 1 \)

İşlem	Denklem Sistemi
Verilen denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım.
Satır 1 - Adım 1: İşleme 1. satır ile başlayalım. En soldaki sütundan başlayarak, 1. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 1. sütundur. \( a_{11} = 1 \) bu sütunda 1. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 1 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( 2R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) Bu işlemler sonucunda matris 1. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 2 - Adım 1: İşleme 2. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 2. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 2. sütundur. \( a_{22} = 2 \) bu sütunda 2. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 2 - Adım 1: 2. satırın tüm elemanlarını işlem kolaylığı açısından çarpma işlemi ile 2'ye bölelim. \( \dfrac{1}{2}R_2 \rightarrow R_2 \)
Satır 2 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -5R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 3R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 2. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 3 - Adım 1: 3. satır sıfır satırı olduğu için yer değiştirme işlemi ile matrisin en altına alalım. \( R_3 \leftrightarrow R_4 \)
Satır 3 - Adım 1: İşleme 3. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 3. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 4. sütundur. \( a_{34} = -5 \) bu sütunda 3. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim. Matrisin sıfır satırları hariç son satırına ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formundadır.
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini cebirsel olarak yazalım.

Dikkat edilirse elde ettiğimiz satır eşelon formu 3. sütunda bir pivot içermemektedir, bu da lineer denklem sisteminin sonsuz çözümünün olduğuna işaret etmektedir. Satır eşelon formunda pivotu olmayan değişkenlere serbest değişken adı verilir. Buna göre birer pivotu olan \( x_1 \), \( x_2 \) ve \( x_4 \) değişkenleri birer temel değişkendir, pivotu olmayan \( x_3 \) değişkeni ise bir serbest değişkendir.

Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini, en son denklemden başlayarak geriye doğru yerine koyma yöntemi ile çözelim.

3. denklemi kullanarak \( x_4 \) değerini bulalım.

\( -5x_4 = 10 \)

\( x_4 = -2 \)

Satır eşelon formundaki denklem sisteminde \( x_4 \) değerini kullanarak \( x_3 \) değerini bulabileceğimiz bir denklem olmadığını görüyoruz. Bu yüzden \( x_3 \) değişkenini olduğu gibi bırakalım.

\( x_3 = x_3 \)

2. denklemi ve \( x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_2 \) değerini bulalım.

\( x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 3 \)

\( x_2 + 2x_3 - 3(-2) = 3 \)

\( x_2 = -3 - 2x_3 \)

1. denklemi ve \( x_2, x_3, x_4 \) değerlerini kullanarak \( x_1 \) değerini bulalım.

\( x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 9x_4 = 11 \)

\( x_1 + 4(-3 - 2x_3) + 5x_3 - 9(-2) = 11 \)

\( x_1 - 12 - 8x_3 + 5x_3 + 18 = 11 \)

\( x_1 = 5 + 3x_3 \)

Buna göre lineer denklem sisteminin çözüm kümesi \( x_3 \) değişkenine bağlı olarak \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (5 + 3x_3, -3 - 2x_3, x_3, -2) \) olarak bulunur.

Bulduğumuz sonuç \( x_3 \) değişkeninin farklı değerleri için denklem sisteminin farklı çözümleri olabileceğini söylemektedir. Örneğin \( x_3 = 0 \) değeri için oluşan çözümün denklem sistemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

\( (x_1, x_2, x_3, x_4) \) \( = (5 + 3x_3, -3 - 2x_3, x_3, -2) \)

\( = (5 + 3(0), -3 - 2(0), 0, -2) \)

\( = (5, -3, 0, -2) \)

\( 5 + 4(-3) + 5(0) - 9(-2) = 11 \)

\( -5 - 2(-3) - 0 + 3(-2) = -5 \)

\( -2(5) - 3(-3) + 3(-2) = -7 \)

\( -3(-3) - 6(0) + 4(-2) = 1 \)

Tüm denklemler sağlandığı için \( (5, -3, 0, -2) \) denklem sisteminin bir çözümüdür. Şimdi de \( x_3 = -2 \) değeri için oluşan çözümün denklem sistemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

\( (x_1, x_2, x_3, x_4) \) \( = (5 + 3x_3, -3 - 2x_3, x_3, -2) \)

\( = (5 + 3(-2), -3 - 2(-2), -2, -2) \)

\( = (-1, 1, -2, -2) \)

\( -1 + 4(1) + 5(-2) - 9(-2) = 11 \)

\( -(-1) - 2(1) - (-2) + 3(-2) = -5 \)

\( -2(-1) - 3(1) + 3(-2) = -7 \)

\( -3(1) - 6(-2) + 4(-2) = 1 \)

Tüm denklemler sağlandığı için \( (-1, 1, -2, -2) \) de denklem sisteminin bir çözümüdür.

\( x_3 \) değişkenine herhangi bir değer verebileceğimiz için denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü olur.

Serbest değişkenler \( s \), \( t \) gibi değişkenler yardımıyla parametrik şekilde de ifade edilebilir. Örneğin bu örnekte \( x_3 = s \) dersek çözüm kümesini \( s \) cinsinden parametrik şekilde de ifade edebiliriz.

\( x_3 = s \) olmak üzere,

\( (x_1, x_2, x_3, x_4) \) \( = (5 + 3s, -3 - 2s, s, -2) \)

2 Serbest Değişken

Aşağıdaki denklem sisteminin çözümünü Gauss eliminasyon yöntemi ile bulalım.

\( x_1 + x_2 − 2x_3 + x_4 + 3x_5 = 12 \)

\( x_1 − x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 6x_5 = 23 \)

\( 3x_1 + 5x_2 − 10x_3 − 5x_4 − 15x_5 = 18 \)

\( -4x_1 + x_2 - 2x_3 - 3x_4 - 9x_5 = -72 \)

İşlem	Denklem Sistemi
Verilen denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım.
Satır 1 - Adım 1: İşleme 1. satır ile başlayalım. En soldaki sütundan başlayarak, 1. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 1. sütundur. \( a_{11} = 1 \) bu sütunda 1. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 1 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( 4R_1 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 1. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 2 - Adım 1: İşleme 2. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 2. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 2. sütundur. \( a_{22} = -2 \) bu sütunda 2. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 2 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) \( \dfrac{5}{2}R_2 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 2. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur.
Satır 3 - Adım 1: İşleme 3. satır ile devam edelim. En soldaki sütundan başlayarak, 3. ve altındaki satırlarda tüm elemanların sıfır olmadığı ilk sütun 4. sütundur. \( a_{34} = -7 \) bu sütunda 3. ya da altındaki satırlarda sıfırdan farklı üstten ilk eleman olduğu için pivot olarak seçilir. Belirlediğimiz pivotu turuncu ile işaretleyelim.
Satır 3 - Adım 3: Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda ve altında bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{1}{2}R_3 + R_4 \rightarrow R_4 \) Bu işlemler sonucunda matris 3. satırın pivotu için istediğimiz forma gelmiş olur. Matrisin sıfır satırları hariç son satırına ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formundadır.
Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini cebirsel olarak yazalım.

Dikkat edilirse elde ettiğimiz satır eşelon formu 3. ve 5. sütunlarda bir pivot içermemektedir, bu da lineer denklem sisteminin sonsuz çözümünün olduğuna işaret etmektedir. Birer pivotu olan \( x_1 \), \( x_2 \) ve \( x_4 \) değişkenleri birer temel değişkendir, pivotu olmayan \( x_3 \) ve \( x_5 \) değişkenleri ise birer serbest değişkendir.

Elde ettiğimiz satır eşelon formundaki denklem sistemini, en son denklemden başlayarak geriye doğru yerine koyma yöntemi ile çözelim.

Satır eşelon formundaki denklem sisteminde sadece \( x_5 \) değerini içeren bir denklem olmadığını görüyoruz. Bu yüzden \( x_5 \) değişkenini olduğu gibi bırakalım.

\( x_5 = x_5 \)

3. denklemi kullanarak \( x_4 \) değerini bulalım.

\( -7x_4 - 21x_5 = -7 \)

\( x_4 = 1 - 3x_5 \)

Satır eşelon formundaki denklem sisteminde \( x_4 \) ve \( x_5 \) değerlerini kullanarak \( x_3 \) değerini bulabileceğimiz bir denklem olmadığını görüyoruz. Bu yüzden \( x_3 \) değişkenini olduğu gibi bırakalım.

\( x_3 = x_3 \)

2. denklemi ve \( x_3, x_4, x_5 \) değerlerini kullanarak \( x_2 \) değerini bulalım.

\( -2x_2 + 4x_3 + x_4 + 3x_5 = 11 \)

\( -2x_2 + 4x_3 + (1 - 3x_5) + 3x_5 = 11 \)

\( -2x_2 + 4x_3 + 1 - 3x_5 + 3x_5 = 11 \)

\( x_2 = -5 + 2x_3 \)

1. denklemi ve \( x_2, x_3, x_4, x_5 \) değerlerini kullanarak \( x_1 \) değerini bulalım.

\( x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 + 3x_5 = 12 \)

\( x_1 + (-5 + 2x_3) - 2x_3 + (1 - 3x_5) + 3x_5 = 12 \)

\( x_1 + -5 + 2x_3 - 2x_3 + 1 - 3x_5 + 3x_5 = 12 \)

\( x_1 = 16 \)

Buna göre lineer denklem sisteminin çözüm kümesi \( x_3 \) ve \( x_5 \) değişkenlerine bağlı olarak \( (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (16, -5 + 2x_3, x_3, 1 - 3x_5, x_5) \) olarak bulunur.

Bulduğumuz sonuç \( x_3 \) ve \( x_5 \) değişkenlerinin farklı değerleri için denklem sisteminin farklı çözümleri olabileceğini söylemektedir. Örneğin \( (x_3, x_5) = (0, 0) \) ikilisi için oluşan çözümün denklem sistemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

\( (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (16, -5 + 2x_3, x_3, 1 - 3x_5, x_5) \)

\( = (16, -5 + 2(0), 0, 1 - 3(0), 0) \)

\( = (16, -5, 0, 1, 0) \)

\( 16 + (-5) − 2(0) + 1 + 3(0) = 12 \)

\( 16 − (-5) + 2(0) + 2(1) + 6(0) = 23 \)

\( 3(16) + 5(-5) − 10(0) − 5(1) − 15(0) = 18 \)

\( -4(16) + (-5) - 2(0) - 3(1) - 9(0) = -72 \)

Tüm denklemler sağlandığı için \( (16, -5, 0, 1, 0) \) denklem sisteminin bir çözümüdür. Şimdi de \( (x_3, x_5) = (2, 1) \) ikilisi için oluşan çözümün denklem sistemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

\( (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (16, -5 + 2x_3, x_3, 1 - 3x_5, x_5) \)

\( = (16, -5 + 2(2), 2, 1 - 3(1), 1) \)

\( = (16, -1, 2, -2, 1) \)

\( 16 + (-1) − 2(2) + (-2) + 3(1) = 12 \)

\( 16 − (-1) + 2(2) + 2(-2) + 6(1) = 23 \)

\( 3(16) + 5(-1) − 10(2) − 5(-2) − 15(1) = 18 \)

\( -4(16) + (-1) - 2(2) - 3(-2) - 9(1) = -72 \)

Tüm denklemler sağlandığı için \( (16, -1, 2, -2, 1) \) de denklem sisteminin bir çözümüdür.

\( x_3 \) ve \( x_5 \) değişkenlerine herhangi bir değer verebileceğimiz için denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü olur.

\( x_3 = s \) ve \( x_5 = t \) dersek çözüm kümesini \( s \) ve \( t \) cinsinden parametrik şekilde de ifade edebiliriz.

\( x_3 = s \) ve \( x_5 = t \) olmak üzere,

\( (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \) \( = (16, -5 + 2s, s, 1 - 3t, t) \)