Lineer Denklemlerin Matris Gösterimi
Cebirsel olarak aşağıdaki şekilde yazılan, \( m \) denklem ve \( n \) bilinmeyenden oluşan bir lineer denklem sistemi bir matris olarak da ifade edilebilir.
\( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \)
\( a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \)
\( \vdots \quad \vdots \quad \vdots \)
\( a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \)
Bir denklem sisteminin matris gösterimi, bu bölümde inceleyeceğimiz çözüm yöntemlerinde denklem sistemi üzerinde işlem yapılmasını kolaylaştırır.
Bir denklem sistemi matris denklemi ya da artırılmış matris şeklinde ifade edilebilir.
Matris Denklemi
Matris denklemi gösteriminde önce denklem sisteminin üç bileşeni (değişkenler, katsayılar ve sabit terimler) ayrı birer matris olarak tanımlanır.
\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \), \( \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \), \( \quad B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \)
\( X \) değişkenler matrisi olup \( n \) değişkeni \( n \times 1 \) bir matris şeklinde tutar.
\( A \) katsayılar matrisi olup \( m \) denklemdeki \( n \) değişkenin katsayılarını \( m \times n \) bir matris şeklinde tutar. Bu matrisin \( a_{ij} \) elemanı \( j \). değişkenin \( i \). denklemdeki katsayısına karşılık gelir.
\( B \) sabit terimler matrisi olup \( m \) denklemde eşitliğin sağ tarafındaki sabit terimleri \( m \times 1 \) bir matris şeklinde tutar.
Aşağıdaki matris denklemi bu denklem sisteminin tüm bileşenlerini matris formunda ifade eder. Buna göre bir lineer denklem sistemi katsayılar ve değişkenler matrislerinin arasındaki matris çarpımının sabit terimler matrisine eşitliği şeklinde yazılabilir.
\( AX = B \)
\( 5x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 23 \)
\( 2x_1 + 4x_2 - x_3 = -3 \)
\( x_1 - 11x_2 - 6x_3 = 19 \)
Yukarıdaki lineer denklem sistemini matris denklemi şeklinde yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \), \( \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \), \( \quad B = \begin{bmatrix} 23 \\ -3 \\ 19 \end{bmatrix} \)
İSPATI GÖSTER
\( AX = B \)
Katsayı (\( A \)), bilinmeyen (\( X \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini bu işlemde yerine koyalım.
\( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \) \( \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \) \( = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \)
Yukarıdaki \( m \times n \) ve \( n \times 1 \) boyutlarındaki iki matris arasındaki çarpma işlemini yapalım.
\( \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots & a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots & a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots & a_{mn}x_n \\ \end{bmatrix} \) \( = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \)
İki matris birbirine eşitse karşılıklı elemanlar birbirine eşittir.
\( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \)
\( a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \)
\( \vdots \quad \vdots \quad \vdots \)
\( a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \)
Bu şekilde verilen matris çarpımının denklem sisteminin açık yazılışına eşit olduğunu görmüş oluruz.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürürken bir katsayının ya da sabit terimin önünde negatif işareti varsa katsayı/sabit terim ilgili matrise bu negatif işareti ile birlikte yazılır. Bir değişken belirli bir denklemde bulunmuyorsa katsayısı katsayı matrisine sıfır olarak yazılır.
Aşağıdaki lineer denklem sistemini matris denklemi şeklinde yazalım.
\( \quad x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 2x_4 \quad = 9 \)
\( -2x_1 + 4x_2 \quad \quad \quad - x_4 \quad = 2 \)
\( \quad 3x_1 \quad \quad + 2x_3 - 3x_4 = -3 \)
\( \quad 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 \quad \quad \quad = 1 \)
Verilen denklem sistemi için matris denklemi aşağıdaki gibidir.
\( AX = B \)
Artırılmış Matris
Artırılmış matris gösteriminde sabit terim matrisi katsayı matrisinin sonuna eklenir. Buna göre \( n \) bilinmeyenli \( m \) denklemden oluşan bir denklem sistemi için artırılmış matris \( m \) satır ve \( n + 1 \) sütundan oluşur.
Bir matrisin artırılmış matris olduğunu vurgulamak için genellikle sabit terimlerin bulunduğu son sütun diğer sütunlardan dikey bir çizgi ile ayrılır.
Yukarıda matris denklemini yazdığımız denklem sistemini artırılmış matris şeklinde yazalım.
Verilen denklem sistemi için artırılmış matris aşağıdaki gibidir.
