Koşullu Olasılık

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( 0,6 = 0,5 + 0,2 - P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,1 \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( 0,1 \stackrel{?}{=} 0,5 \cdot 0,2 \)

\( 0,1 = 0,1 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) bağımsız olaylardır.

(a) seçeneği:

\( A \) ve \( B \) ayrık olaylar ise kesişimleri boş küme olur.

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( 0,6 = 0,5 + 0,4 - P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,3 \ne 0 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) ayrık olaylar değildir.

(b) seçeneği:

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( 0,3 \stackrel{?}{=} 0,5 \cdot 0,4 \)

\( 0,3 \ne 0,2 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) bağımlı olaylardır.

(a) seçeneği:

\( P(A \cup B) \)

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı her birinin gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06 \)

(b) seçeneği:

\( P(A \cup B) \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( = 0,3 + 0,2 - 0,06 = 0,44 \)

(c) seçeneği:

\( P(A \mid B) \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar olduğu için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

\( P(A \mid B) = P(A) = 0,3 \)

(d) seçeneği:

\( P(B' \mid A) \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar olduğu için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

\( P(B' \mid A) = P(B') \)

\( = 1 - P(B) \)

\( = 1 - 0,2 = 0,8 \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

(a) seçeneği:

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( 0,11 \stackrel{?}{=} 0,22 \cdot 0,44 \)

\( 0,11 \ne 0,0968 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) bağımlı olaylardır.

(b) seçeneği:

Verilen ve bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

\( A \) ve \( B \) olaylarının her ikisinin de gerçekleşmeme olasılığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A' \cap B') \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( = P[(A \cup B)'] \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılığı yazalım.

\( = 0,45 \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Verilen değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(A \cap B) = 0,5 \cdot 0,4 \)

\( = 0,2 \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( P(A' \cup B') = P[(A \cap B)'] \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A \cap B) + P[(A \cap B)'] = 1 \)

\( 0,2 + P[(A \cap B)'] = 1 \)

\( P[(A \cap B)'] = P(A' \cup B') = 0,8 \)

(a) seçeneği:

\( P(A \cup B) \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A) + P(A') = 1 \)

\( P(A) + 0,2 = 1 \)

\( P(A) = 0,8 \)

\( P(B) + P(B') = 1 \)

\( P(B) + 0,6 = 1 \)

\( P(B) = 0,4 \)

Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( = 0,8 \cdot 0,4 = 0,32 \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( = 0,8 + 0,4 - 0,32 \)

\( = 0,88 \)

(b) seçeneği:

\( P(A' \cup B) \)

Verilen ve bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( P(A' \cup B) = P[(A \cap B')'] \)

\( A \cap B' = A - B \) özdeşliğini kullanalım.

\( = P[(A - B)'] \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( = 1 - P(A - B) \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılığı yazalım.

\( = 1 - 0,48 = 0,52 \)

(a) seçeneği:

\( A \) ve \( B \) ayrık olaylar ise kesişimleri boş küme olur.

\( P(A \cap B) = 0 \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(B) + P(B') = 1 \)

\( P(B) + 0,6 = 1 \)

\( P(B) = 0,4 \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( 0,7 = P(A) + 0,4 - 0 \)

\( P(A) = 0,3 \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A) + P(A') = 1 \)

\( 0,3 + P(A') = 1 \)

\( P(A') = 0,7 \)

(b) seçeneği:

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Formülde yerine koyalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) \)

\( 0,7 = P(A) + 0,4 - P(A) \cdot 0,4 \)

\( P(A) = 0,5 \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A) + P(A') = 1 \)

\( 0,5 + P(A') = 1 \)

\( P(A') = 0,5 \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Formülde yerine koyalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) \)

\( \dfrac{9}{25} = a + a - a \cdot a \)

\( 25a^2 - 50a + 9 = 0 \)

\( (5a - 9)(5a - 1) = 0 \)

\( a = \dfrac{9}{5} \) ya da \( a = \dfrac{1}{5} \)

Bir olayın olasılığı 1'den büyük olamaz.

\( a = \dfrac{1}{5} \) bulunur.

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Örnek uzayın olasılığı 1'dir.

Bütünü kapsayıcı olayların birleşimi örnek uzaya eşittir.

\( P(A \cup B) = P(S) = 1 \)

Toplama kuralını uygulayalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( 1 = 0,6 + 0,52 - P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,12 \)

Koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

\( = \dfrac{0,12}{0,6} = \dfrac{1}{5} \) bulunur.

\( A' \cap B = B - A \) özdeşliğini kullanalım.

\( P(A' \cap B) = P(B - A) = 0,3 \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A) + P(A') = 1 \)

\( P(A) + 0,5 = 1 \)

\( P(A) = 0,5 \)

\( P(B) + P(B') = 1 \)

\( P(B) + 0,3 = 1 \)

\( P(B) = 0,7 \)

Bir olay birbirinden ayrık iki olayın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

\( P(B) = P(B - A) + P(A \cap B) \)

\( 0,7 = 0,3 + P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,4 \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

(a) seçeneği:

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0,4}{0,4 + 0,3} \)

\( = \dfrac{4}{7} \)

(b) seçeneği:

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0,4}{0,1 + 0,4} \)

\( = \dfrac{4}{5} \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A) + P(A') = 1 \)

\( P(A) + 0,6 = 1 \)

\( P(A) = 0,4 \)

Bir olay birbirinden ayrık iki olayın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

\( P(A) = P(A - B) + P(A \cap B) \)

\( 0,4 = P(A - B) + 0,22 \)

\( P(A - B) = 0,18 \)

\( P(A' \cap B') = 0,24 \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( P[(A \cup B)'] = 0,24 \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

\( P(B - A) = 1 - 0,18 - 0,22 - 0,24 \)

\( = 1 - 0,18 - 0,22 - 0,24 \)

\( = 0,36 \)

(a) seçeneği:

\( P(A \mid B') = \dfrac{P(A \cap B')}{P(B')} \)

\( A \cap B' = A - B \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{P(A - B)}{P(B')} \)

Venn şemasını kullanalım.

\( = \dfrac{0,18}{0,18 + 0,24} \)

\( = \dfrac{3}{7} \)

(b) seçeneği:

\( P(B \mid A') = \dfrac{P(B \cap A')}{P(A')} \)

\( A' \cap B = B - A \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{P(B - A)}{P(A')} \)

\( = \dfrac{0,36}{0,36 + 0,24} \)

\( = \dfrac{3}{5} \)

(a) seçeneği:

\( P(A \cap B) \)

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)

\( 0,3 = \dfrac{P(A \cap B)}{0,25} \)

\( P(A \cap B) = 0,075 \)

(b) seçeneği:

\( P(A' \cup B') \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A' \cup B') + P[(A' \cup B')'] = 1 \)

İkinci terime De Morgan kuralını uygulayalım.

\( P(A' \cup B') + P(A \cap B) = 1 \)

\( P(A' \cup B') + 0,075 = 1 \)

\( P(A' \cup B') = 0,925 \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Bir olay birbirinden ayrık iki olayın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

\( P(A) = P(A - B) + P(A \cap B) \)

\( 0,5 = P(A - B) + 0,075 \)

\( P(A - B) = 0,425 \)

\( P(B) = P(B - A) + P(A \cap B) \)

\( 0,25 = P(B - A) + 0,075 \)

\( P(B - A) = 0,175 \)

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

(c) seçeneği:

\( P(A' \mid B) = \dfrac{P(A' \cap B)}{P(B)} \)

\( A' \cap B = B - A \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{P(B - A)}{P(B)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0,175}{0,075 + 0,175} \)

\( = \dfrac{7}{10} \)

(a) seçeneği:

\( P(A) \)

\( A' \cap B = B - A \) özdeşliğini kullanalım.

\( P(A' \cap B) = P(B - A) = 0,2 \)

Bir olay birbirinden ayrık iki olayın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

\( P(B) = P(B - A) + P(A \cap B) \)

\( 0,3 = 0,2 + P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,1 \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( P(A' \cup B) + P[(A' \cup B)'] = 1 \)

İkinci terime De Morgan kuralını uygulayalım.

\( P(A' \cup B) + P(A \cap B') = 1 \)

\( A \cap B' = A - B \) özdeşliğini kullanalım.

\( P(A' \cup B) + P(A - B) = 1 \)

\( 0,6 + P(A - B) = 1 \)

\( P(A - B) = 0,4 \)

Bir olay birbirinden ayrık iki olayın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.

\( P(A) = P(A - B) + P(A \cap B) \)

\( P(A) = 0,4 + 0,1 = 0,5 \)

(b) seçeneği:

\( P(B \mid A) \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

Koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

Venn şemasını kullanalım.

\( = \dfrac{0,1}{0,4 + 0,1} \)

\( = \dfrac{1}{5} \)

(c) seçeneği:

\( P(A' \mid B) \)

Koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(A' \mid B) = \dfrac{P(A' \cap B)}{P(B)} \)

\( A' \cap B = B - A \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{P(B - A)}{P(B)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0,2}{0,1 + 0,2} \)

\( = \dfrac{2}{3} \)

\( B \): Bowlinge gitmek isteyenlerin kümesi

\( S \): Sinemaya gitmek isteyenlerin kümesi

Verilen bilgileri bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

İstenen olasılığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(B' \mid S) = \dfrac{s(B' \cap S)}{s(S)} \)

\( B' \cap S = S - B \) özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{s(S - B)}{s(S)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{3}{5} \)

\( K \): Keman kursunun açılmasını isteyen öğrenciler kümesi

\( G \): Gitar kursunun açılmasını isteyen öğrenciler kümesi

\( P \): Piyano kursunun açılmasını isteyen öğrenciler kümesi

Üçlü kesişim kümesi ile başlayarak ve ikili kesişim kümeleri ile devam ederek kümelerin eleman sayılarını gösteren bir Venn şeması çizelim.

(a) seçeneği:

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Örnek uzay okuldaki tüm öğrencilerden oluşur.

\( s(S) = 420 \)

Bir öğrencinin gitar kursunun açılmasını isteyip keman kursunun açılmasını istememe olayına \( A \) diyelim.

\( A \) olayını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( A = G - K \)

Venn şemasını kullanarak \( A \) olayının eleman sayısını bulalım.

\( s(A) = s(G - K) \)

\( = 10 + 20 = 30 \)

\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.

\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)

\( = \dfrac{30}{420} \)

\( = \dfrac{1}{14} \)

(b) seçeneği:

Bir öğrencinin yalnızca iki kursun açılmasını isteme olayına \( B \) diyelim.

Bir öğrencinin yalnızca iki kursun açılmasını isteme olayı, yalnızca keman ve gitar kursunun açılmasını isteme, yalnızca keman ve piyano kursunun açılmasını isteme ve yalnızca gitar ve piyano kursunun açılmasını isteme olaylarının birleşimine eşittir.

Venn şemasını kullanarak ilgili eleman sayılarını yazalım.

\( s(B) = 100 + 20 + 20 = 140 \)

\( B \) olayının gerçekleşme olasılığı, \( B \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.

\( P(B) = \dfrac{s(B)}{s(S)} \)

\( = \dfrac{140}{420} \)

\( = \dfrac{1}{3} \)

(c) seçeneği:

Seçilen kişinin üç kurstan ikisinin açılmasını istediği (\( B \) olayının gerçekleştiği) bilindiğine göre, keman kursunun açılmasını isteme olasılığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(K \mid B) = \dfrac{s(K \cap B)}{s(B)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{100 + 20}{140} \)

\( = \dfrac{6}{7} \)

Umut'un seçtiği iki kitaptan (en az) birinin okuduğu bir kitap olma olayına \( A \) diyelim.

Umut'un seçtiği diğer kitabın okuduğu bir kitap olma olayına \( B \) diyelim.

\( A \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} = \dfrac{s(B \cap A)}{s(A)} \)

\( A \) ve \( B \) olaylarının kesişimi, Umut'un seçtiği kitapların ikisini de okuduğu durumdur.

\( s(A \cap B) = C(30, 2) = 435 \)

\( A \) olayı için iki durum vardır.

Durum 1:

Bu durumda Umut seçtiği kitaplardan birini okumuştur, diğerini okumamıştır.

\( C(30, 1) \cdot C(20, 1) = 600 \)

Durum 2:

Bu durumda Umut seçtiği kitaplardan ikisini de okumuştur.

\( C(30, 2) = 435 \)

Bu iki durumun toplamı \( A \) olayındaki toplam sonuç sayısını verir.

\( s(A) = 600 + 435 = 1035 \)

Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{s(B \cap A)}{s(A)} \)

\( = \dfrac{435}{1035} = \dfrac{29}{69} \) bulunur.

İki zar atıldığında zarların toplamının 7 olma olayına \( B \) diyelim.

\( B = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\} \)

\( s(B) = 6 \)

Zarlardan birinin 2 gelme olayına \( A \) diyelim.

\( A \) ve \( B \) olaylarının kesişim olayı aşağıdaki gibi olur.

\( A \cap B = \{(2, 5), (5, 2)\} \)

\( s(A \cap B) = 2 \)

\( B \) olayının bilindiği durum için \( A \) olayının koşullu olasılığı:

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

(a) seçeneği:

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( 0,58 = 0,4 + 0,3 - P(A \cap B) \)

\( P(A \cap B) = 0,12 \)

\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

\( 0,12 \stackrel{?}{=} 0,4 \cdot 0,3 \)

\( 0,12 = 0,12 \)

Buna göre \( A \) ve \( B \) bağımsız olaylardır.

(b) seçeneği:

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Örnek uzayın olasılığı 1'dir.

Bir olay ile tümleyeninin birleşimi örnek uzaya eşittir.

\( P(S) = P(A \cup B) + P[(A \cup B)'] \)

\( 1 = 0,58 + P((A \cup B)') \)

\( P((A \cup B)') = 0,42 \)

Verilen ve bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

\( A \) ve \( B \) olaylarından sadece birinin gerçekleşme olasılığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A \cap B') + P(A' \cap B) \)

\( X \cap Y' = X - Y \) özdeşliğini kullanalım.

\( = P(A - B) + P(B - A) \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = 0,28 + 0,18 = 0,46 \)

(c) seçeneği:

\( A \) ve \( B \) olaylarından sadece birinin gerçekleme olayına \( C \) diyelim.

\( P(C) = P(A - B) + P(B - A) = 0,46 \)

\( C \) olayının gerçekleştiği durum için \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid C) = \dfrac{P(B \cap C)}{P(C)} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0,18}{0,46} = \dfrac{9}{23} \)

Bu soru için örnek uzay hastaneden yapılan tüm testlerdir.

\( s(S) = 10.000 \)

Bir hastanın test sonucundan bağımsız olarak Covid olma olayına \( A \), Covid olma durumundan bağımsız olarak testinin pozitif çıkma olayına \( B \) diyelim.

Soruda verilen bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Soruda istenen test sonucunun negatif çıktığı bilinen bir hastanın gerçekten Covid olmama olasılığıdır, bunu koşullu olasılık olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A' \mid B') = \dfrac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \dfrac{s(A' \cap B')}{s(B')} \)

\( A' \cap B' \) kümesi hem Covid olmayan hem de testi negatif çıkan hastalara karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu hastaların sayısı 2.300'dür.

\( B' \) kümesi testi negatif çıkan hastaların tümüne karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu hastaların sayısı 3.400'dür.

Soruda istenen koşullu olasılığı hesaplayalım.

\( P(A' \mid B') = \dfrac{s(A' \cap B')}{s(B')} \)

\( = \dfrac{2.300}{3.400} = \dfrac{23}{34} \) bulunur.

Bu soru için örnek uzay şirketteki tüm çalışanlardır.

\( s(S) = 100 \)

Bir çalışanın üniversite mezunu olma olayına \( A \), sigara içiyor olma olayına \( B \) diyelim.

Soruda verilen bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Soruda istenen sigara içtiği bilinen bir çalışanın üniversite mezunu olma olasılığıdır, bunu koşullu olasılık olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)

\( A \cap B \) kümesi hem üniversite mezunu olan hem de sigara içen çalışanlara karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu çalışanların sayısı 6'dır.

\( B \) kümesi sigara içen çalışanların tümüne karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu çalışanların sayısı 28'dir.

Soruda istenen koşullu olasılığı hesaplayalım.

\( P(A \mid B) = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)

\( = \dfrac{6}{28} = \dfrac{3}{14} \) bulunur.

Üretilen toplam telefon sayısına işlem kolaylığı açısından 100 diyelim. Bu telefonların 40'ı A ülkesinde, 60'ı B ülkesinde üretilmiş olur.

A ülkesinde üretilmiş olan bozuk telefon sayısını bulalım.

\( 40 \cdot \dfrac{15}{100} = 6 \)

B ülkesinde üretilmiş olan bozuk telefon sayısını bulalım.

\( 60 \cdot \dfrac{20}{100} = 12 \)

Buradan toplam bozuk telefon sayısını \( 6 + 12 = 18 \) olarak buluruz.

Bu bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Rastgele seçilen bozuk bir telefonun A ülkesinde üretilmiş olma olasılığı \( P(A \mid C') \), B ülkesinde üretilmiş olma olasılığı \( P(B \mid C') \) olur.

İstenen oranı bulalım.

\( \dfrac{P(B \mid C')}{P(A \mid C')} = \dfrac{\frac{P(B \cap C')}{P(C')}}{\frac{P(A \cap C')}{P(C')}} \)

\( = \dfrac{\frac{12}{18}}{\frac{6}{18}} = 2 \) bulunur.

\( M \): Matematik dersinden geçen öğrenciler kümesi

\( T \): Türkçe dersinden geçen öğrenciler kümesi

Sınıftaki öğrencilerin dağılımını bir Venn şemasında gösterelim.

Her iki dersten geçen öğrencilerin sayısı her iki dersten kalan öğrenci sayısına eşittir.

\( b = d \)

Yalnız türkçeden geçen öğrencilerin sayısı 3'tür.

\( c = 3 \)

Matematikten geçenlerin sayısı türkçeden geçenlerin 2 katıdır.

\( a + b = 2(b + c) \)

\( a + b = 2b + 6 \)

\( a = b + 6 \)

Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 42'dir.

\( a + b + c + d = 42 \)

Tüm değişkenleri \( b \) cinsinden yazalım.

\( (b + 6) + b + 3 + b = 42 \)

\( b = 11 \)

\( a = b + 6 = 17 \)

\( d = b = 11 \)

Türkçeden kaldığı bilinen bir öğrencinin matematikten geçmiş olma olsılığını bulalım.

\( P(M \mid T') = \dfrac{s(M \cap T')}{s(T')} \)

\( = \dfrac{a}{a + d} = \dfrac{17}{17 + 11} = \dfrac{17}{28} \) bulunur.

Kutulardan herhangi birinin seçilme olasılığı \( \frac{1}{3} \) olur.

Kutuların seçilme olaylarını kendi isimleriyle adlandıralım (A, B, C).

2 adet mavi boncuk alınması olayına \( M \) diyelim.

\( M \) olayının bilindiği durum için \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid M) = \dfrac{P(B \cap M)}{P(M)} \)

Paydaki ifade \( B \) kutusunun seçilmesi ve içinden 2 adet mavi boncuk alınması olayıdır.

\( B \) kutusunun seçilme olasılığı \( \frac{1}{3} \)'tür.

\( P(B) = \dfrac{1}{3} \)

\( B \) kutusundan alınan iki boncuğun da mavi renkte olma olasılığını bulalım.

\( \dfrac{C(3, 2)}{C(6, 2)} = \dfrac{1}{5} \)

\( P(B \cap M) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15} \)

\( M \) olayının olasılığını üç kutu için ayrı ayrı bulalım.

Durum 1:

Önce \( A \) kutusu, sonra 2 adet mavi boncuk seçilir.

\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{C(5, 2)}{C(5, 2)} = \dfrac{1}{3} \)

Durum 2:

Önce \( B \) kutusu, sonra 2 adet mavi boncuk seçilir.

\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{C(3, 2)}{C(6, 2)} = \dfrac{1}{15} \)

Durum 3:

Önce \( C \) kutusu, sonra 2 adet mavi boncuk seçilir.

\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{C(4, 2)}{C(6, 2)} = \dfrac{2}{15} \)

Mavi boncuğun seçilmesi olasılığı bu üç olasılığın toplamıdır.

\( P(M) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{8}{15} \)

Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(B \mid M) = \dfrac{P(B \cap M)}{P(M)} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{15}}{\frac{8}{15}} = \dfrac{1}{8} \) bulunur.

(a) seçeneği:

Seçilen paranın hileli ve hilesiz olma durumlarını ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: Hileli para

Torbadan rastgele seçilen bir madeni paranın hileli olma olasılığı \( \frac{3}{4} \) olur.

Hileli paranın her atışta yazı gelme olasılığı 1'dir.

Seçilen paranın hileli olma ve paranın iki atışta da yazı gelme olasılığını bulalım.

\( \dfrac{3}{4} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{3}{4} \)

Durum 2: Hilesiz para

Torbadan rastgele seçilen bir madeni paranın hilesiz olma olasılığı \( \frac{1}{4} \) olur.

Hilesiz paranın her atışta yazı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir.

Seçilen paranın hilesiz olma ve paranın iki atışta da yazı gelme olasılığını bulalım.

\( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16} \)

İstenen olasılık bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

\( \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{13}{16} \)

(b) seçeneği:

Paranın iki kere yazı gelme olayına \( A \) diyelim.

\( A \) olayının olasılığını (a) seçeneğinde hesaplamıştık.

\( P(A) = \dfrac{13}{16} \)

Torbadan hileli para seçilme olayına \( B \) diyelim.

\( A \) olayının bilindiği durum için \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

Paranın hileli olma ve iki kere yazı gelme olasılığını (a) seçeneğinde hesaplamıştık.

\( P(B \cap A) = \dfrac{3}{4} \cdot 1 \cdot 1 \)

\( = \dfrac{3}{4} \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{16}} \)

\( = \dfrac{12}{13} \)

(c) seçeneği:

Daha önceki atışların sonucu sekinci atışın sonucu etkilemez.

Torbadan hileli para seçilmesi ve sekizinci atışta yazı gelmesi olasılığını bulalım.

\( \dfrac{3}{4} \cdot 1 = \dfrac{3}{4} \)

Torbadan hilesiz para seçilmesi ve sekizinci atışta yazı gelmesi olasılığını bulalım.

\( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)

İstenen olasılık bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

\( \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{8} \)

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Örnek uzayın olasılığı 1'dir.

(a) seçeneği:

Hande'nin kahvaltıda portakal suyu içme olayına \( A \), omlet yeme olayına \( B \) diyelim.

Hande'nin kahvaltıda omlet yiyip portakal suyu içme olayını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A \cap B) \)

Hande'nin portakal suyu içtiği bir kahvaltıda omlet yeme olasılığı soruda verilmiştir.

\( P(B \mid A) = 0,5 \)

\( A \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( B \) olayının koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

\( P(B \cap A) = P(B \mid A) \cdot P(A) \)

\( = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3 \)

(b) seçeneği:

İstenen olasılığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(A' \cup B') \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( = P[(A \cap B)'] \)

Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'dir.

\( = 1 - P(A \cap B) \)

\( = 1 - 0,3 = 0,7 \)

(c) seçeneği:

\( A' \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( B \) olayının koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(B \mid A') = \dfrac{P(B \cap A')}{P(A')} \)

\( X \cap Y' = X - Y \) özdeşliğini kullanalım.

\( P(B \mid A') = \dfrac{P(B - A)}{P(A')} \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( = 0,6 + 0,3 - 0,3 = 0,6 \)

Bir olay ile tümleyeninin birleşimi örnek uzaya eşittir.

\( P(S) = P(A \cup B) + P[(A \cup B)'] \)

\( 1 = 0,6 + P[(A \cup B)'] \)

\( P[(A \cup B)'] = 0,4 \)

Verilen ve bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

\( P(B \mid A') = \dfrac{P(B - A)}{P(A')} \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{0}{0,4} = 0 \)

Tezgahta toplam 18 poğaça vardır.

(a) seçeneği:

Üç kardeşe de zeytinli poğaça gelme olasılığı, her birine zeytinli poğaça gelme olasılıklarının çarpımına eşittir.

\( \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{4}{17} \cdot \dfrac{3}{16} = \dfrac{5}{408} \)

(b) seçeneği:

Üç kardeşe de aynı çeşit poğaça gelme olasılığı, üçüne de zeytinli, peynirli ve sade poğaça gelme olasılıklarının toplamına eşittir.

Bu üç durumun olasılıklarını ayrı ayrı bulalım.

Durum 1:

Üç kardeşe de zeytinli poğaça gelir.

\( \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{4}{17} \cdot \dfrac{3}{16} = \dfrac{60}{4896} \)

Durum 2:

Üç kardeşe de peynirli poğaça gelir.

\( \dfrac{7}{18} \cdot \dfrac{6}{17} \cdot \dfrac{5}{16} = \dfrac{210}{4896} \)

Durum 3:

Üç kardeşe de sade poğaça gelir.

\( \dfrac{6}{18} \cdot \dfrac{5}{17} \cdot \dfrac{4}{16} = \dfrac{120}{4896} \)

İstenen olasılık bu üç durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

\( \dfrac{60}{4896} + \dfrac{210}{4896} + \dfrac{120}{4896} = \dfrac{390}{4896} \)

\( = \dfrac{65}{816} \)

(c) seçeneği:

Üç kardeşe de farklı çeşit poğaça gelme olasılığını bulalım.

Örnek uzaya \( S \) diyelim.

Örnek uzay 18 adet poğaça arasından üç poğaçanın tüm farklı seçimlerinden oluşur.

\( s(S) = 18 \cdot 17 \cdot 16 \)

\( = 4896 \)

Her kardeşe farklı çeşit poğaça gelme olayına \( A \) diyelim.

Her çeşitten birer tane poğaça \( C(7, 1) \cdot C(5, 1) \cdot C(6, 1) = 210 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen farklı çeşit üç poğaça üç kardeşe \( 3! \) farklı şekilde dağıtılabilir.

\( s(A) = 210 \cdot 3! = 1260 \)

\( A \) olayının gerçekleşme olasılığı \( A \) olayındaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranına eşittir.

\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} \)

\( = \dfrac{1260}{4896} = \dfrac{35}{136} \)

(d) seçeneği:

Üç kardeşe de zeytinli poğaça gelme olayına \( Z \), aynı çeşit poğaça gelme olayına \( Y \) diyelim.

\( Y \) olayının gerçekleştiği durum için \( Z \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(Z \mid Y) = \dfrac{P(Z \cap Y)}{P(Y)} \)

Üç kardeşe de zeytinli poğaça gelme olasılığını (a) seçeneğinde bulmuştuk.

\( P(Z \cap Y) = \dfrac{4}{408} \)

Üç kardeşe de aynı çeşit poğaça gelme olasılığı (b) seçeneğinde bulmuştuk.

\( P(Y) = \dfrac{65}{816} \)

Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(Z \mid Y) = \dfrac{\frac{5}{408}}{\frac{65}{816}} = \dfrac{2}{13} \)

Her bir sonuçta ilk harf gelen paranın ön yüzü, ikinci harf arka yüzü olmak üzere, örnek uzayı tüm 6 olasılığı içerecek şekilde aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz (ilk iki sonuç 1. para seçildiği durum için, ikinci iki sonuç 2. para seçildiği durum için, üçüncü iki sonuç 3. iki yüzün de tura olduğu para seçildiği durum için).

\( S = \{YT, TY, YT, TY, TT, TT\} \)

\( s(S) = 6 \)

Soruyu çözmek için koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)

\( A \): Gelen yüzün arkasının tura olma olayı

\( A = \{YT, YT, TT, TT\} \)

\( s(A) = 4 \)

\( B \): Gelen yüzün tura olma olayı

\( B = \{TY, TY, TT, TT\} \)

\( s(B) = 4 \)

\( P(B) = \dfrac{s(B)}{s(S)} \)

\( = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)

\( A \cap B \): Gelen ve arka yüzün ikisinin de tura olma olayı

\( A \cap B = \{TT, TT\} \)

\( s(A \cap B) = 2 \)

\( P(A \cap B) = \dfrac{s(A \cap B)}{s(S)} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)

\( A \mid B \): Gelen yüzün tura olduğu bilindiği durumda arkasının tura olma olayı

Bu değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyalım.

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

Soruda verilen bilgiler doğrultusunda bir tablo oluşturalım.

Bu tabloda satırlar bir kişinin gerçekten bu hastalığa sahip olup olmadığını, sütunlar da test sonucunu göstermektedir.

1 milyon kişiyi bu tablonun hücrelerine dağıtalım.

Hastalık 1 milyonda bir kişide görüldüğü için toplam hasta kişi sayısına 1, toplam hasta olmayan kişi sayısına 999999 diyelim.

Test sonucu gerçekten hasta olan bir kişi için pozitif, hasta olmayan bir kişi için negatif olursa doğru olur.

Testin doğruluk oranı %99 olduğu için, gerçekten hasta olan 1 kişi içinde \( \frac{99}{100} \) kişi için test sonucu pozitif (doğru sonuç), \( \frac{1}{100} \) kişi için test sonucu negatif (hatalı sonuç) çıkar.

Benzer şekilde, gerçekten hasta olmayan 999999 kişi içinde \( \frac{999999}{100} \) kişi için test sonucu pozitif (hatalı sonuç), \( \frac{999999 \cdot 99}{100} \) kişi için test sonucu negatif (doğru sonuç) çıkar.

Soruda test sonucu pozitif olduğu bilinen bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı isteniyor.

\( P(\text{Hasta} \mid \text{Pozitif}) = \frac{s(\text{Hasta} \cap \text{Pozitif})}{s(\text{Pozitif})} \)

\( = \dfrac{\frac{99}{100}}{\frac{99}{100} + \frac{999999}{100}} \)

\( = \dfrac{99}{99 + 999999} \approx \%0,01 \)

Görülebileceği üzere, doğruluk oranı %99 olan bir testin pozitif sonuç verdiği bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık %0,01 olmaktadır.

Bir sürücünün kaza yapma olayına \( B \), akşam saat 8 ile sabah saat 8 arasında bir sürücünün ehliyetli olma olayına \( A \) diyelim.

\( P(A) = 1 - 0,1 = 0,9 \)

\( A \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} = 0,002 \)

\( \dfrac{P(B \cap A)}{0,9} = 0,002 \)

\( P(B \cap A) = 0,0018 \)

Bir sürücünün ehliyetsiz olma olayına \( A' \) diyelim.

\( P(A') = 0,1 \)

\( A' \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( B \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(B \mid A') = \dfrac{P(B \cap A')}{P(A')} = 0,04 \)

\( \dfrac{P(B \cap A')}{0,1} = 0,04 \)

\( P(B \cap A') = 0,004 \)

\( B \) olayının olasılığını hesaplayalım.

\( P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A') \)

\( = 0,0018 + 0,004 = 0,0058 \)

Soruda gece saat 11'de kaza yapan bir sürücünün ehliyetsiz olma olasılığı istenmektedir.

\( B \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( A' \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P(A' \mid B) = \dfrac{P(A' \cap B)}{P(B)} \)

\( = \dfrac{0,004}{0,0058} \)

\( = \dfrac{20}{29} \) bulunur.

Cansu'nun bir seti kaybetme (Meltem'in bir seti kazanma) olasılığı \( \frac{3}{5} \) olur.

Cansu'nun maçı 3. sette kazanma olayına \( A \), 4. sette kazanma olayına \( B \), 5. sette kazanma olayına \( C \), maçı kazanma olayına \( D \) diyelim.

(a) seçeneği:

Cansu'nun maçı 3. sette kazanabilmesi için 3 seti de kazanmalıdır.

Ceren'in maçı 3-0'a getirdiği durumun olasılığını bulalım.

\( (\dfrac{2}{5})^3 = \dfrac{8}{125} \)

\( P(A) = \dfrac{8}{125} \)

(b) seçeneği:

Cansu'nun maçı 4. sette kazanabilmesi için 3. setin sonunda durum 2-1 olmalıdır.

Ceren'in maçı C-C-M sırasıyla 2-1'e getirdiği durumun olasılığını bulalım.

\( (\dfrac{2}{5})^2 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{125} \)

Ceren C-C-M harflerinin farklı diziliş sayısı kadar farklı şekilde maçı 2-1'e getirebilir.

C-C-M harflerinin farklı diziliş sayısı için tekrarlı permütasyon formülünü kullanalım.

\( \dfrac{3!}{2!} = 3 \)

Bu iki sayının çarpımı ile Cansu'nun 4. seti kazanma olasılığının çarpımı, Cansu'nun bu maçı 4. sette kazanma olasılığını verir.

\( P(B) = \dfrac{12}{125} \cdot 3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{72}{625} \)

(c) seçeneği:

Cansu'nun maçı 5. sette kazanabilmesi için 4. setin sonunda durum 2-2 olmalıdır.

Ceren'in maçı C-C-M-M sırasıyla 2-2'ye getirdiği durumun olasılığını bulalım.

\( (\dfrac{2}{5})^2 \cdot (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{36}{625} \)

Ceren C-C-M-M harflerinin farklı diziliş sayısı kadar farklı şekilde maçı 2-2'ye getirebilir.

C-C-M-M harflerinin farklı diziliş sayısı için tekrarlı permütasyon formülünü kullanalım.

\( \dfrac{4!}{2!\ 2!} = 6 \)

Bu iki sayının çarpımı ile Cansu'nun 5. seti kazanma olasılığının çarpımı, Cansu'nun bu maçı 5. sette kazanma olasılığını verir.

\( P(C) = \dfrac{36}{625} \cdot 6 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{432}{3125} \)

(d) seçeneği:

Oyunda 5 setin 3'ünü kazanan oyuncu maçı kazandığı için Cansu maçı 3, 4 ya da 5 sette kazanabilir.

Buna göre Cansu'nun maçı kazanma olasılığı, (a), (b) ve (c) seçeneklerindeki 3 durumun olasılıklarının toplamıdır.

\( P(D) = \dfrac{8}{125} + \dfrac{72}{625} + \dfrac{432}{3125} \)

\( = \dfrac{992}{3125} \)

(e) seçeneği:

Bu durum Cansu'nun maçı 4 ya da 5 sette kazandığı durumda oluşur.

\( D \) olayının bilindiği durum için \( B \cup C \) olayının koşullu olasılığını bulalım.

\( P[(B \cup C) \mid D] = \dfrac{P[(B \cup C) \cap D]}{P(D)} \)

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.

\( = \dfrac{P[(B \cap D) \cup (C \cap D)]}{P(D)} \)

Paydaki ifade Cansu'nun maçı 4. ve 5. sette kazanma olasılıklarının toplamıdır.

\( P[(B \cap D) \cup (C \cap D)] = \dfrac{72}{625} + \dfrac{432}{3125} \)

\( = \dfrac{792}{3125} \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P[(B \cup C) \mid D] = \dfrac{\frac{792}{3125}}{\frac{992}{3125}} \)

\( = \dfrac{792}{992} = \dfrac{99}{124} \)

Bir ailede büyük kardeşin yabancı dil bilme olayına \( B \) diyelim.

\( P(B) = \dfrac{5}{12} \)

Bir ailede küçük kardeşin yabancı dil bilme olayına \( K \) diyelim.

\( P(K) = \dfrac{3}{8} \)

\( K \) olayının bilindiği durum için \( B \) olayının koşullu olasılığı soruda verilmiştir.

\( P(B \mid K) = \dfrac{P(B \cap K)}{P(K)} = \dfrac{1}{3} \)

\( P(B \cap K) = P(B \mid K) \cdot P(K) \)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8} \)

Toplama kuralını kullanalım.

\( P(B \cup K) = P(B) + P(K) - P(B \cap K) \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(B \cup K) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{8} \)

\( = \dfrac{2}{3} \)

Bulduğumuz olasılıkları bir Venn şeması üzerinde gösterelim.

(a) seçeneği:

Rastgele seçilen bir ailede, hem büyük kardeşin hem de küçük kardeşin yabancı dil bilme olasılığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(B \cap K) \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılığı yazalım.

\( = \dfrac{1}{8} \)

(b) seçeneği:

Rastgele seçilen bir ailede, kardeşlerden sadece birinin yabancı dil bilme olasılığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( P(B \cap K') + P(B' \cap K) \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılıkları yazalım.

\( = \dfrac{7}{24} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{24} \)

(c) seçeneği:

Rastgele seçilen iki ailede, büyük kardeşlerden sadece birinin ve küçük kardeşlerden sadece birinin yabancı dil bilme olayı için 2 durum vardır.

Durum 1:

Ailelerden birinde iki kardeş de yabancı dil biliyor, diğerinde iki kardeş de yabancı dil bilmiyor.

Bir ailede iki kardeşin de yabancı dil bilme olasılığını yukarıda hesaplamıştık.

\( P(B \cap K) = \dfrac{1}{8} \)

Bir ailede iki kardeşin de yabancı dil bilmeme olasılığını bulalım.

\( P[(B \cap K)'] = 1 - P(B \cap K) \)

\( = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} \)

İki aile için bunun gibi iki durum oluşur.

\( 2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{32} \)

Durum 2:

Ailelerden birinde sadece büyük kardeş yabancı dil biliyor, diğerinde sadece küçük kardeş yabancı dil biliyor.

Bir ailede sadece büyük kardeşin yabancı dil bilme olasılığını bulalım.

\( P(B \cap K') \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılığı yazalım.

\( = \dfrac{7}{24} \)

Bir ailede sadece küçük kardeşin yabancı dil bilme olasılığını bulalım.

\( P(B' \cap K) \)

Venn şemasını kullanarak ilgili olasılığı yazalım.

\( = \dfrac{1}{4} \)

İki aile için bunun gibi iki durum oluşur.

\( 2 \cdot \dfrac{7}{24} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{48} \)

İstenen olasılık bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

\( = \dfrac{7}{32} + \dfrac{7}{48} = \dfrac{35}{96} \) bulunur.

Çekilen 2. topun sarı olma olayına \( A \) diyelim.

2 sarı top da çekildiğinde kutudan toplamda 4 top çekilmiş olma olayına \( B \) diyelim.

\( A \) olayının gerçekleştiği bilindiği durumda \( B \) olayının gerçekleşme olasılığını bulalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

\( A \) olayı ilk çekilen topun sarı ya da turuncu olmasına göre iki şekilde gerçekleşebilir.

\( P(A) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \)

\( = \dfrac{2}{5} \)

2 sarı top da çekildiğinde \( A \) olayının gerçekleştiği 4 durum vardır.

\( A = \{ SS, TSS, TSTS, TSTTS \} \)

\( B \) olayının gerçekleştiği 3 durum vardır.

\( B = \{ TTSS, TSTS, STTS \} \)

\( B \cap A = \{ TSTS \} \)

\( P(B \cap A) = P(\{ TSTS \}) \)

\( = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \)

\( = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10} \)

Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Sefer'in belirli bir günde sahile gitme olayına \( A \) diyelim.

\( P(A) = \dfrac{4}{5} \)

Sefer'in sahilde balık tutma olayına \( B \) diyelim.

Sefer'in belirli bir günde hem sahile gidip hem de balık tutma olasılığı soruda verilmiştir.

\( P(A \cap B) = \dfrac{1}{5} \)

Soruda Sefer'in balık tutmadığı bir günde sahile gitmiş olma olasılığı istenmektedir.

Bu olasılık \( B' \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda \( A \) olayının koşullu olasılığına eşittir.

\( P(A \mid B') = ? \)

Bayes teoremi formülünü kullanalım.

\( P(A \mid B') = \dfrac{P(B' \mid A) \cdot P(A)}{P(B')} \)

Bu formülde bilinmeyen iki olasılığı bulalım.

Adım 1: \( P(B' \mid A) \)

\( A \) olayının gerçekleştiğinin bilindiği durumda, \( B \) olayının gerçekleşmesi ve gerçekleşmemesi olaylarının birleşimi örnek uzayı oluşturur.

\( P(B' \mid A) + P(B \mid A) = 1 \)

\( P(B' \mid A) = 1 - P(B \mid A) \)

Koşullu olasılık formülünü kullanalım.

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \dfrac{1}{4} \)

\( P(B' \mid A) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \)

Adım 2: \( P(B') \)

\( B' \) olayı için bilinenleri kullanarak bir eşitlik kuralım.

\( P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A') \)

Yukarıdaki toplamı Venn şemasında gösterelim.

Sefer'in sahile gitmeme ve balık tutma olaylarının kesişimi boş kümedir. Sefer'in balık tutması için sahile gitmesi gerekir.

\( P(B \cap A') = 0 \)

\( P(B) = P(B \cap A) = \dfrac{1}{5} \)

Bir olay ile tümleyeninin birleşimi örnek uzaya eşittir.

\( P(B) + P(B') = 1 \)

\( P(B') = 1 - P(B) \)

\( = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} \)

Verilen ve bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.

\( P(A \mid B') = \dfrac{P(B' \mid A) \cdot P(A)}{P(B')} \)

\( = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{4}{5}} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.