Bileşik Orantı
Aralarında doğru ya da ters orantı bulunan üç ya da daha fazla değişkenden oluşan orantılara bileşik orantı denir.
Bir \( x \) değişkeni \( y \) değişkeni ile doğru, \( z \) değişkeni ile ters orantılı ise değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Bu orantının sonucu değişkenlerin aldığı farklı değerler için her durumda bir \( k \) orantı sabitine eşittir.
\( \dfrac{x \cdot z}{y} = k \)
\( a \) değişkeni \( b \) ile doğru, \( c \) ile ters orantılıdır.
\( b = 5 \) ve \( c = 16 \) iken \( a = 15 \) olduğuna göre, \( b = 14 \) ve \( c = 12 \) iken \( a \) kaçtır?
Verilen orantı ilişkilerine göre, değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( \dfrac{a \cdot c}{b} = k \)
Verilen iki durum için bu orantının değeri birbirine eşit olur.
\( \dfrac{15 \cdot 16}{5} = \dfrac{a \cdot 12}{14} = k \)
\( a = 56 \)
Bir \( x \) değişkeni \( y \) ve \( z \) değişkenleri ile (ayrı ayrı) doğru orantılı ise değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Bu orantının sonucu değişkenlerin aldığı farklı değerler için her durumda bir \( k \) orantı sabitine eşittir.
\( \dfrac{x}{y \cdot z} = k \)
\( a \) değişkeni \( b \) ve \( c \) ile doğru orantılıdır.
\( b = 27 \) ve \( c = 25 \) iken \( a = 45 \) olduğuna göre, \( b = 21 \) ve \( c = 35 \) iken \( a \) kaçtır?
Verilen orantı ilişkilerine göre, değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( \dfrac{a}{b \cdot c} = k \)
Verilen iki durum için bu orantının değeri birbirine eşit olur.
\( \dfrac{45}{27 \cdot 25} = \dfrac{a}{21 \cdot 35} = k \)
\( a = 49 \)
Bir \( x \) değişkeni \( y \) ve \( z \) değişkenleri ile (ayrı ayrı) ters orantılı ise değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Bu orantının sonucu değişkenlerin aldığı farklı değerler için her durumda bir \( k \) orantı sabitine eşittir.
\( x \cdot y \cdot z = k \)
\( a \) değişkeni \( b \) ve \( c \) ile ters orantılıdır.
\( b = 8 \) ve \( c = 15 \) iken \( a = 21 \) olduğuna göre, \( b = 10 \) ve \( c = 9 \) iken \( a \) kaçtır?
Verilen orantı ilişkilerine göre, değişkenler arasındaki orantı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a \cdot b \cdot c = k \)
Verilen iki durum için bu orantının değeri birbirine eşit olur.
\( 21 \cdot 8 \cdot 15 = a \cdot 10 \cdot 9 = k \)
\( a = 28 \)
Üç değişken arasındaki bileşik orantıyı iki örnek üzerinde gösterelim.
Bir sabun fabrikası 3 makine ile 6 günde 1800 adet sabun üretebiliyor. Bu fabrika 4 makine ile 5 günde kaç adet sabun üretebilir?
Orantıdaki değişkenlerden makine sayısına \( x \), üretim yapılan gün sayısına \( y \), üretilen sabun adedine \( z \) diyelim.
Verilen bilgileri değişkenler sütunlarda, verilen iki farklı durum satırlarda olacak şekilde bir tabloya girelim. Değeri istenen ikinci durumdaki sabun adedine \( a \) diyelim.
Değeri istenen sabun adedi ile diğer değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini belirleyelim. İki değişken arasındaki orantı tipini incelerken üçüncü değişkenin değerinin sabit kaldığını varsayacağız.
Makine sayısı - Sabun adedi: Gün sayısını sabit kabul edersek, daha çok makine ile daha çok sayıda sabun üretilir. Bu yüzden bu iki değişken arasında doğru orantı vardır (\( z \propto x \)).
Gün sayısı - Sabun adedi: Makine sayısını sabit kabul edersek, daha çok günde daha çok sayıda sabun üretilir. Bu yüzden bu iki değişken arasında doğru orantı vardır (\( z \propto y \)).
\( z \) değişkeni \( x \) ve \( y \) değişkenleri ile doğru orantılı olduğu için değişkenler arasındaki orantıyı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \dfrac{z}{x \cdot y} = k \)
Tablodaki verileri bu orantıda yerine koyduğumuzda her iki durumda aynı orantı sabitini elde ederiz.
\( \dfrac{1800}{3 \cdot 6} = \dfrac{a}{4 \cdot 5} = k \)
Bu eşitliği \( a \) için çözdüğümüzde istenen değeri buluruz.
\( a = \dfrac{1800 \cdot 4 \cdot 5}{3 \cdot 6} \)
\( = 2000 \) sabun
30 kişinin günde 8'er saat çalışarak 10 günde tamamlayabildiği bir işi, 20 kişinin 12 günde tamamlayabilmesi için günde kaçar saat çalışması gerekir?
Orantıdaki değişkenlerden çalışan kişi sayısına \( x \), günlük çalışma saatine \( y \), çalışılan gün sayısına \( z \) diyelim.
Verilen bilgileri değişkenler sütunlarda, verilen iki farklı durum satırlarda olacak şekilde bir tabloya girelim. Değeri istenen ikinci durumdaki günlük çalışma saatine \( a \) diyelim.
Değeri istenen günlük çalışma saati ile diğer değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini belirleyelim. İki değişken arasındaki orantı tipini incelerken üçüncü değişkenin değerinin sabit kaldığını varsayacağız.
Kişi sayısı - Günlük çalışma saati: Çalışılan gün sayısını sabit kabul edersek, kişi sayısı artarsa aynı işi tamamlamak için ihtiyaç duyulan günlük çalışma saati azalır. Bu yüzden bu iki değişken arasında ters orantı vardır (\( y \propto \frac{1}{x} \)).
Günlük çalışma saati - Gün sayısı: Çalışan kişi sayısını sabit kabul edersek, günlük çalışma saati artarsa aynı işi tamamlamak için ihtiyaç duyulan gün sayısı azalır. Bu yüzden bu iki değişken arasında ters orantı vardır (\( y \propto \frac{1}{z} \)).
\( y \) değişkeni \( x \) ve \( z \) değişkenleri ile ters orantılı olduğu için değişkenler arasındaki orantıyı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( z \cdot x \cdot y = k \)
Tablodaki verileri bu orantıda yerine koyduğumuzda her iki durumda aynı orantı sabitini elde ederiz.
\( 8 \cdot 30 \cdot 10 = a \cdot 20 \cdot 12 = k \)
Bu eşitliği \( a \) için çözdüğümüzde istenen değeri buluruz.
\( a = \dfrac{8 \cdot 30 \cdot 10}{20 \cdot 12} \)
\( = 10 \) saat
Dört değişken arasındaki bileşik orantıyı bir örnek üzerinde gösterelim.
Özdeş 5 makine her biri günde 24 saat çalışarak 11 günde \( m \) adet kalem üretebiliyor. \( 3m \) adet kalem üretebilmek için, her biri günde 15 saat ve 12 gün çalışmak koşuluyla kaç makineye ihtiyaç duyulur?
Orantıdaki değişkenlerden makine sayısına \( x \), günlük çalışma saatine \( y \), üretim yapılan gün sayısına \( z \), üretilen kalem adedine \( t \) diyelim.
Verilen bilgileri değişkenler sütunlarda, verilen iki farklı durum satırlarda olacak şekilde bir tabloya girelim. Değeri istenen ikinci durumdaki makine sayısına \( a \) diyelim.
Değeri istenen makine sayısı ile diğer değişkenler arasındaki doğru/ters orantı ilişkilerini belirleyelim. İki değişken arasındaki orantı tipini incelerken diğer değişkenlerin değerinin sabit kaldığını varsayacağız.
Makine sayısı - Günlük çalışma saati: Diğer iki değişkeni sabit kabul edersek, makine sayısı artarsa aynı sayıda kalemi üretmek için ihtiyaç duyulan günlük çalışma saati azalır. Bu yüzden bu iki değişken arasında ters orantı vardır (\( x \propto \frac{1}{y} \)).
Makine sayısı - Gün sayısı: Diğer iki değişkeni sabit kabul edersek, makine sayısı artarsa aynı sayıda kalemi üretmek için ihtiyaç duyulan gün sayısı azalır. Bu yüzden bu iki değişken arasında ters orantı vardır (\( x \propto \frac{1}{z} \)).
Makine sayısı - Kalem adedi: Diğer iki değişkeni sabit kabul edersek, daha çok makine ile daha çok sayıda kalem üretilir. Bu yüzden bu iki değişken arasında doğru orantı vardır (\( x \propto t \)).
\( x \) değişkeni \( y \) ve \( z \) değişkenleri ile ters orantılı, \( t \) değişkeni ile doğru orantılı olduğu için değişkenler arasındaki orantıyı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \dfrac{x \cdot y \cdot z}{t} = k \)
Tablodaki verileri bu orantıda yerine koyduğumuzda her iki durumda aynı orantı sabitini elde ederiz.
\( \dfrac{5 \cdot 24 \cdot 11}{m} = \dfrac{a \cdot 15 \cdot 12}{3m} = k \)
Bu eşitliği \( a \) için çözdüğümüzde istenen değeri buluruz.
\( a = \dfrac{5 \cdot 24 \cdot 11 \cdot 3m}{15 \cdot 12 \cdot m} \)
\( = 22 \) makine
Bir \( a \) değişkeni \( b \) değişkeninin karesi ile doğru, \( c \) değişkeninin karekökü ile ters orantılıdır.
\( b = 3 \) ve \( c = 4 \) olduğunda \( a = 9 \) olmaktadır.
Buna göre, \( b = 4 \) ve \( c = 16 \) olduğunda \( a \) kaç olur?
Çözümü Göster\( k \) orantı sabiti olmak üzere, değişkenler arasındaki orantıyı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \dfrac{a \cdot \sqrt{c}}{b^2} = k \)
\( a = 9, b = 3, c = 4 \) değerlerini kullanarak orantı sabitini bulalım.
\( \dfrac{9 \cdot \sqrt{4}}{3^2} = k \)
\( k = 2 \)
Orantı sabitini kullanarak \( b = 4, c = 16 \) için \( a \) değerini bulalım.
\( \dfrac{a \cdot \sqrt{c}}{b^2} = k \)
\( \dfrac{a \cdot \sqrt{16}}{4^2} = 2 \)
\( a = 8 \) bulunur.
\( a \) tane özdeş yazıcı \( a \) gün boyunca günde \( a \) saat çalışarak \( a \) tane kitap basıyor.
Buna göre \( b \) tane yazıcı \( b \) gün boyunca günde \( b \) saat çalışarak kaç kitap basar?
Çözümü GösterÖncelikle 1 yazıcının 1 saatte kaç kitap bastığını bulalım.
\( a \) gün boyunca \( a \) saat çalışan yazıcı toplamda \( a^2 \) saat çalışmış olur.
\( a \) yazıcı \(a^2 \) saatte \( a \) kitap basıyorsa,
\( 1 \) yazıcı \( a^2 \) saatte \( 1 \) kitap,
\( 1 \) yazıcı \( 1 \) saatte \( \dfrac{1}{a^2} \) kitap basar.
\( b \) gün boyunca \( b \) saat çalışan yazıcı toplamda \( b^2 \) saat çalışmış olur.
\( b \) yazıcı \( b^2 \) saatte \( b \cdot b^2 \cdot \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{b^3}{a^2} \) kitap basar.