Oran
İki sayıyı karşılaştırmak için farklı yöntemler kullanılabilir. Örneğin Berke'nin 150 TL'si, kardeşi Tolga'nın 50 TL'si varsa paralarının farkını alarak, "Berke'nin parası 150 - 50 = 100 TL daha fazladır." şeklinde bir karşılaştırma yapabiliriz.
Alternatif olarak iki sayıyı birbirine bölerek de bir karşılaştırma yapabiliriz. Aynı örneği kullanırsak, Berke'nin parasının Tolga'nın parasının üç katı olduğunu ya da Tolga'nın parasının Berke'nin parasının üçte biri olduğunu söyleyebiliriz.
Birimleri aynı olan iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının birbirine oranı iki farklı şekilde gösterilebilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} \)
\( a:b = 3:4 \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının oranı bu sayıların gerçek değerini vermez, verilen oran sağlandığı sürece \( a \) ve \( b \) farklı değerler alabilir.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3} \) ise \( a \) ve \( b \) aşağıdaki şekilde farklı değerler alabilir.
\( a = 2, \quad b = 3 \)
\( a = 10, \quad b = 15 \)
\( a = 300, \quad b = 450 \)
\( \vdots \)
Kesir değerleri denk olan oranlar birbirine eşittir, dolayısıyla bir oranın sadeleştirilmesi ya da genişletilmesi oranı değiştirmez.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} \)
Matematikte ve günlük hayatta pek çok konu oranlarla ifade edilir.
| Örnek | Oran |
|---|---|
| Bir okuldaki kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı | \( 8:9 \) |
| TV çerçeve oranı | \( 16:9 \) |
| Türk bayrağının yüksekliğinin genişliğine oranı | \( 2:3 \) |
| Tavlada iki zarın aynı gelme olasılığı | \( \frac{1}{6} \) |
| Yılbaşı çekilişinde büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı | \( 1:10000000 \) |
| Bir alaşımdaki bakır - çinko oranı | \( \frac{5}{3} \) |
| Bir kek tarifindeki un - şeker oranı | \( \frac{3}{2} \) |
| Çemberin çevresinin çapına oranı | \( \pi \) |
| A serisi fotokopi kağıtlarında (A3, A4 vb.) yüksekliğin genişliğe oranı | \( \sqrt{2} \) |
| Altın oran | \( 1,6180... \) |
Yukarıdaki örnekleri incelediğimizde oranı alınan çoklukların birimlerinin aynı olduğu görülebilir, dolayısıyla bir oranın kendisi birimsizdir.
Oranın kullanımına örnek olarak Türk bayrağının yükseklik - genişlik oranı verilebilir. Bir bayrak üreticisi farklı boyutlarda bayrak üretebilir, ancak tümünde Türk bayrağı standartları gereği 2:3 oranı sağlanmalıdır.
Yüksekliği 120 cm olan bir Türk bayrağının genişliği kaç cm'dir?
Türk bayrağının yüksekliğinin genişliğine oranı \( 2:3 \)'tür.
Bayrağın genişliğine \( x \) cm diyelim.
\( \dfrac{120}{x} = \dfrac{2}{3} \)
\( 2x = 3 \cdot 120 \)
\( x = 180 \) cm
Oranı alınan sayıların sırası önemlidir. \( a \)'nın \( b \)'ye oranı, \( b \)'nin \( a \)'ya oranına eşit değildir.
\( a:b \ne b:a \)
\( \dfrac{a}{b} = 2 \Longleftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2} \)
Altın Oran
İki büyüklükten büyük olanın küçüğe oranı, toplamlarının büyük olana oranına eşitse bu iki büyüklük arasında altın oran vardır.
Altın oran \( \phi \) sembolü ile gösterilir ve irrasyonel bir sayıdır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{8}{13} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4b - 3a}{4b + 3a} \) oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{x - y}{2x + 3y} = \dfrac{2}{9} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{y^2 - xy}{2x^2 + y^2} \) oranı kaçtır?
Çözümü GösterAhmet'in yaşının Ceren'in yaşına oranı \( \frac{2}{5} \), Ceren'in yaşının Kerem'in yaşına oranı \( \frac{3}{4} \)'tür.
Ahmet ile Kerem'in yaşları toplamı 52 olduğuna göre, Ceren'in yaşı kaçtır?
Çözümü GösterBilgi: Bir haritanın ölçeği, haritada iki nokta arasındaki uzaklığın gerçek uzaklığa bölümü ile bulunur.
Emre eviyle okulu arasındaki mesafeyi önce okuldaki \( \frac{1}{8000} \) ölçekli haritayı kullanarak, daha sonra evdeki \( \frac{1}{6000} \) ölçekli haritayı kullanarak ölçüyor.
Ölçümlerinde bulduğu mesafeler arasındaki fark 2,5 cm olduğuna göre, ev ile okul arasındaki gerçek mesafe kaç metredir?
Çözümü GösterElmasın ağırlık birimi karattır ve 1 karat 0,2 gramdır.
Ali nişanlısına toplam 4,52 gram ağırlığında, üzerinde 1,62 karat pırlanta (elmas) olan altın bir yüzük alıyor.
Buna göre, yüzüğün pırlantı kısmının ağırlığının altın kısmının ağırlığına oranı kaçtır?
Çözümü Göster