Ters Orantı
İki değişkenin değerleri değişirken çarpımları sabit kalıyorsa bu iki değişken birbiriyle ters orantılıdır. Ters orantılı iki değişkenin bu sabit çarpımına orantı sabiti denir ve genellikle \( k \) ile gösterilir.
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( xy = k \)
\( y = \dfrac{k}{x} \)
\( y \) değişkeni \( x \) değişkeni ile ters orantılı ise aynı zamanda \( \frac{1}{x} \) değişkeni ile doğru orantılıdır, dolayısıyla birbiriyle ters orantılı \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki ilişki \( y \propto \frac{1}{x} \) şeklinde gösterilir.
\( xy = k \) ise,
\( \dfrac{y}{\frac{1}{x}} = k \)
\( y = k\ \dfrac{1}{x} \)
Doğru ve ters orantı arasındaki temel fark değişkenlerden biri artarken diğerinin artması ya da azalması değildir. Doğru orantıda değişkenlerin oranı sabitken, ters orantıda değişkenlerin çarpımı sabittir.
Aralarında ters orantı ilişkisi bulunan iki değişken için \( k \) orantı sabiti, değişkenlerin birbirine karşılık gelen tüm değerleri için sağlanır.
\( x_1y_1 = x_2y_2 = x_3y_3 = \ldots = k \)
İki değişken arasındaki ters orantı ilişkisini bir örnek üzerinde gösterelim.
Birbiriyle ters orantılı ve çarpımları 24 olan \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin farklı değerlerini tablo ve grafik üzerinde gösterelim.
Ters orantının orantı sabiti 24 ise iki değişkenin değerlerinin çarpımı her durumda sabit ve 24'e eşittir.
\( xy = 24 \)
Orantı sabiti sağlanacak şekilde değişkenlerin alabilecekleri farklı değerlerden bazılarını bir tabloda gösterelim.
| \( x \) | \( 2 \) | \( 3 \) | \( 4 \) | \( 6 \) | \( 8 \) | \( 12 \) |
| \( y \) | \( 12 \) | \( 8 \) | \( 6 \) | \( 4 \) | \( 3 \) | \( 2 \) |
| \( xy = k \) | \( 24 \) | \( 24 \) | \( 24 \) | \( 24 \) | \( 24 \) | \( 24 \) |
Değişkenlerin bu değerleri aşağıdaki grafikte işaretlenmiştir.
İkiden fazla \( x, y, z, t \) değişkenleri sırasıyla \( a, b, c, d \) sayıları ile ters orantılıysa aralarındaki orantı aşağıdaki şekillerde ifade edilebilir.
\( ax = by = cz = dt = k \)
\( \dfrac{x}{\frac{1}{a}} = \dfrac{y}{\frac{1}{b}} = \dfrac{z}{\frac{1}{c}} = \dfrac{t}{\frac{1}{d}} = k \)
Ters orantıya gerçek hayattan aşağıdaki örnekler verilebilir.
- Bir aracın ortalama hızı ve belirli bir mesafeyi katetme süresi: Bu durumda orantı sabiti toplam mesafedir.
- Bir miktar parayı paylaşan kişi sayısı ve kişi başına düşen miktar: Bu durumda orantı sabiti toplam para miktarıdır.
- Bir işi tamamlamak için gerekli kişi sayısı ve kişi başına çalışma süresi: Bu durumda orantı sabiti toplam iş miktarıdır.
- Bant genişliği ve bir dosyayı indirmek için geçen süre: Bu durumda orantı sabiti indirilen dosyanın boyutudur.
İki değişken arasındaki ters orantı ilişkisini ikinci bir örnek üzerinde gösterelim.
Bir araç sabit 80 km/s hızla gittiğinde 6 saatte aldığı bir yolu, sabit 120 km/s hızla gittiğinde kaç saatte alır?
Aracın hızına \( x \), yolculuk süresine \( y \) diyelim.
Aracın hızı arttıkça yolculuk süresi çarpımları toplam mesafeyi verecek şekilde azalacağı için, bu iki değişken arasında ters orantı olduğunu söyleyebiliriz.
\( y \propto \dfrac{1}{x} \)
\( xy = k \)
Verilen birinci durumda araç 80 km/s hızla yolu 6 saatte alıyor.
Verilen ikinci durumda araç 120 km/s hızla gittiğinde aynı yolu kaç saatte alacağı soruluyor. Bu süreye \( a \) saat diyelim.
\( a \) değerini bulmak için verilen değerleri ters orantı formülünde yerine koyalım.
\( x_1y_1 = x_2y_2 = k \)
\( 80 \cdot 6 = 120 \cdot a = k \)
\( a = \dfrac{480}{120} = 4 \) saat
Buna göre araç 120 km/s hızla gittiğinde aynı yolu 4 saatte alır.
Ters orantı formülünü kullanarak orantı sabitini bulalım.
\( k = 6 \cdot 80 = 480 \)
Bu değer aynı zamanda aracın katettiği toplam yola eşittir.
Yukarıdaki örnekteki aracın aynı yolu 3 saatte alması için hızı saatte kaç km olmalıdır?
Bulduğumuz orantı sabitini kullanarak hız ya da yolculuk süresi bilinen tüm durumlarda bilinmeyen değişken değerini bulabiliriz.
Aracın yolu 3 saatte alabilmesi için gerekli hıza saatte \( b \) km diyelim.
\( xy = 480 \)
\( b \cdot 3 = 480 \)
\( b = 160 \) km/s
Yukarıdaki iki örnekte bulduğumuz değerleri ters orantının grafiği üzerinde gösterelim.
Bir değişken diğer bir değişkenle ters orantılı olabileceği gibi, o değişkenin karesi, küpü, karekökü ya da herhangi bir fonksiyonu ile de ters orantılı olabilir. Bu durumlarda iki değişken arasındaki formül ve grafik ilişkisi aşağıdaki gibi olur.
| Grafik | Ters Orantı |
|---|---|
|
\( y \propto \dfrac{1}{x^2} \) \( y = k\ \dfrac{1}{x^2} \) \( y \) değişkeni \( x \)'in karesi ile ters orantılıdır. |
|
\( y \propto \dfrac{1}{x^3} \) \( y = k\ \dfrac{1}{x^3} \) \( y \) değişkeni \( x \)'in küpü ile ters orantılıdır. |
|
\( y \propto \dfrac{1}{\sqrt{x}} \) \( y = k\ \dfrac{1}{\sqrt{x}} \) \( y \) değişkeni \( x \)'in karekökü ile ters orantılıdır. |
5 işçinin birlikte 4'er saat çalışarak tamamlayabildiği bir işi 8 işçi birlikte kaçar saat çalışarak tamamlayabilir?
Çözümü GösterBir çitanın dakikada soluk alıp verme hızı vücudundaki yağ oranının karesi ile ters orantılıdır.
Yağ oranı %9 olan bir çitanın soluk alıp verme hızı dakikada 100 'dür. Buna göre, yağ oranı %10 olan bir çitanın dakikada soluk alıp verme hızı nedir?
Çözümü GösterBir topluluktaki 21 kişinin yaşları ortalaması 28'dir. Bu topluluktan 3 kişi ayrıldığında topluluğun yaş ortalaması 24'e düşüyor.
Çıkan üç kişinin yaşları sırasıyla 70, 63, 90 ile ters orantılı olduğuna göre, bu üç kişinin en büyüğü kaç yaşındadır?
Çözümü GösterFidan'ın şarjı tam dolu olan telefonu 3 gün 20 saat dayanmaktadır.
Fidan bir saatteki telefon kullanımını %84 arttırırsa tam dolu olan telefonu kaç saat dayanır?
Çözümü GösterBir yürüyen merdivenin hareketini sağlayan birbirine temas eden iki dişli çarktan büyük olanın yarıçapının küçük olanın yarıçapına oranı \( \frac{39}{21} \)'dir.
Bu yürüyen merdiven belirli bir yol aldığında küçük dişli 78 devir yaptığına göre, büyük dişli kaç devir yapar?
Çözümü GösterAzra, Burak ve Cüneyt'in 90 metreyi koşma süreleri sırayla 9, 15 ve 18 ile ters orantılıdır.
Bu üç kişi aynı anda koşmaya başlayıp aynı anda koşmayı bırakıyorlar. Son durumda Burak ve Cüneyt toplam 561 metre koştuğuna göre, Azra kaç metre koşmuştur?
Çözümü Göster