Özel Sayılar
Bazı sayılar birtakım özellikleriyle diğer sayılardan ayrılırlar. Özel sayılar diyebileceğimiz bu sayı tiplerine bu bölümde birkaç örnek vereceğiz. İlgi duyulması durumunda matematik kaynaklarında diğer ilginç özelliklere sahip pek çok özel sayı bulunduğu görülebilir.
Palindromik Sayılar
Düz ve tersten (soldan ve sağdan) okunuşları aynı olan sayılara palindromik sayı denir.
\( 7, 121, 393, 555, 6446, 135531, \ldots \)
İkiz Asallar
Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal denir.
\( (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), \ldots \)
Mersenne Asal Sayıları
\( n \) bir asal sayı olmak üzere, \( M_n = 2^n - 1 \) işleminin sonucu bir asal sayı ise bu sayıya Mersenne asal sayısı denir. Şu anda bilinen 51 Mersenne asal sayısı vardır.
\( n = 2 \) için, \( M_2 = 2^2 - 1 = 3 \)
\( n = 3 \) için, \( M_3 = 2^3 - 1 = 7 \)
\( n = 5 \) için, \( M_5 = 2^5 - 1 = 31 \)
\( n = 7 \) için, \( M_7 = 2^7 - 1 = 127 \)
\( n = 13 \) için, \( M_{13} = 2^{13} - 1 = 8191 \)
Mükemmel Sayılar
Kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel (perfect) sayı denir. Mükemmel sayılarla Mersenne asal sayıları arasında birebir ilişki vardır, dolayısıyla bilinen mükemmel sayıların sayısı da 51'dir.
\( 6: 1 + 2 + 3 = 6 \)
\( 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 \)
\( 496: 1 + 2 + 4 + \ldots + 124 + 248 \)
\( 8128: 1 + 2 + 4 + \ldots + 2032 + 4064 \)
Armstrong Sayısı
Basamaklarının, sayının basamak sayısı kadar kuvvetleri toplamına eşit olan sayılara Armstrong sayısı denir.
\( (ABC) = A^3 + B^3 + C^3 \)
\( (ABCD) = A^4 + B^4 + C^4 + D^4 \)
\( 153: 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 \)
\( 371: 3^3 + 7^3 + 1^3 = 371 \)
\( 1634: 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 = 1634 \)
Harshad Sayıları
Belirli bir tabanda olmak üzere, rakamları toplamına tam bölünen sayılara Harshad sayısı denir.
\( 162: 1 + 6 + 2 = 9, \quad \) \( (162 \div 9 = 18) \)
\( 200: 2 + 0 + 0 = 2, \quad \) \( (200 \div 2 = 100) \)
\( 1729: 1 + 7 + 2 + 9 = 19, \quad \) \( (1729 \div 19 = 91) \)
10 tabanındaki iki basamaklı Harshad sayıları 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90 sayılarıdır.
Zengin Sayılar
Kendisi hariç pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kendisinden büyük olan sayılara zengin (abundant) sayı denir.
\( 12: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, \quad \) \( (16 \gt 12) \)
\( 96: 1 + 2 + 3 + \ldots + 48 = 156, \quad \) \( (156 \gt 96) \)
\( 360: 1 + 2 + 3 + \ldots + 180 = 810, \quad \) \( (810 \gt 360) \)
Bir zengin sayının tüm tam sayı katları da birer zengin sayıdır, bu yüzden sonsuz sayıda zengin sayı vardır.
100'e kadar olan zengin sayılar 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 sayılarıdır.
Fermat Sayıları
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere, \( F_n = 2^{2^n} + 1 \) biçiminde ifade edilebilen sayılara Fermat sayısı denir.
\( F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3 \)
\( F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5 \)
\( F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17 \)
\( F_3 = 2^{2^3} + 1 = 257 \)
\( F_4 = 2^{2^4} + 1 = 65537 \)
\( F_5 = 2^{2^5} + 1 = 4294967297 \)
Bir Fermat sayısı aynı zamanda asal sayı ise bu sayıya Fermat asalı denir. Bilinen Fermat asalları sadece 3, 5, 17, 257 ve 65537 olmak üzere ilk 5 Fermat sayısıdır.
Lasa Sayıları
Bir asal sayının tersten yazılışı da farklı bir asal sayı ise bu sayıya lasa (emirp) sayısı denir. Dikkat edilirse bu sayıların adı da "asal (prime)" kelimelerinin tersten yazılışıdır.
\( 107 \) ve tersten yazılışı olan \( 701 \) sayılarının ikisi de asaldır.
Buna göre bu iki sayı birer lasa sayısıdır.
100'e kadar olan lasa sayıları 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97 sayılarıdır.
Döngüsel Sayılar
\( n \) basamaklı bir \( A \) tam sayısının 1'den \( n \)'ye kadarki tüm tam sayı katları \( A \) ile aynı rakamlardan oluşuyorsa (\( A \)'nın bir permütasyonu ise) ve bu katların rakamlarının döngüsel sırası \( A \) ile aynıysa bu sayıya döngüsel (cyclic) sayı denir.
En çok bilinen döngüsel sayı 6 basamaklı \( 142857 \) sayısıdır.
\( 142857 \times 1 = \textcolor{red}{1}42857 \)
\( 142857 \times 2 = 2857\textcolor{red}{1}4 \)
\( 142857 \times 3 = 42857\textcolor{red}{1} \)
\( 142857 \times 4 = 57\textcolor{red}{1}428 \)
\( 142857 \times 5 = 7\textcolor{red}{1}4285 \)
\( 142857 \times 6 = 857\textcolor{red}{1}42 \)
Dikkat edilirse \( 142857 \) sayısının 6 tam katı da \( 142857 \) ile aynı rakamlardan oluşmaktadır ve tümünde rakamlar döngüsel olarak \( 1 \to 4 \to 2 \to 8 \to 5 \to 7 \) sırasıyla dizilir.
\( 142857 \) sayısı aynı zamanda \( \frac{1}{7} \) kesrinin devirli ondalık yazılışındaki tekrar eden basamaklara karşılık gelir. Bu açıdan bakınca \( 142857 \) döngüsel sayısını 7 asal sayısının ürettiğini söylenebilir.
\( \frac{1}{7} = 0,\overline{142857} \)
\( 142857 \) sayısından sonraki en küçük döngüsel sayı sıfır ile başlayan 16 basamaklı \( 0588235294117647 \) sayısıdır.
\( \ldots \times 1 = \textcolor{red}{0}588235294117647 \)
\( \ldots \times 2 = 117647\textcolor{red}{0}588235294 \)
\( \vdots \)
\( \ldots \times 16 = 94117647\textcolor{red}{0}5882352 \)
\( 0588235294117647 \) sayısını üreten asal sayı \( 17 \)'dir.
\( \frac{1}{17} = 0,\overline{0588235294117647} \)
Birer döngüsel sayı üreten asal sayılara örnek olarak \( 7, 17, 19, 23, 29, 47 \) sayıları verilebilir.
Tau Sayıları
Pozitif bölenlerinin sayısına (PBS) tam bölünen sayılara Tau sayısı denir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
PBS \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)
12 sayısı 6'ya tam bölündüğü için bir Tau sayısıdır.
\( 204 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17 \)
PBS \( = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 \)
204 sayısı 12'ye tam bölündüğü için bir Tau sayısıdır.
Sonsuz sayıda Tau sayısı vardır. 100'e kadar olan Tau sayıları 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96 sayılarıdır.
Bağdaşık Sayılar
Birbirinden farklı iki pozitif tam sayıdan her birinin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı diğer sayıyı veriyorsa bu sayı ikilisine bağdaşık (amicable) sayı denir.
220 sayısının kendisi hariç pozitif bölenleri olan 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 sayılarının toplamı 284'tür.
284 sayısının kendisi hariç pozitif bölenleri olan 1, 2, 4, 71, 142 sayılarının toplamı 220'dir.
Buna göre \( (220, 284) \) bir bağdaşık sayı ikilisidir.
İlk 5 bağdaşık sayı ikilisi \( (220, 284) \), \( (1184, 1210) \), \( (2620, 2924) \), \( (5020, 5564) \), \( (6232, 6368) \) ikilileridir.
6174 Sayısı
Kaprekar sabiti olarak da bilinen bu sayının özelliği, aşağıdaki adımlar takip edildiğinde en fazla 7 adımda 6174 sayısını elde edilmesidir.
- Tüm rakamları aynı olmayan (2222 gibi) herhangi bir dört basamaklı sayı alınır (sayı 0 ile başlayabilir).
- Sayının rakamları büyükten küçüğe ve küçükten büyüğe sıralanarak iki yeni dört basamaklı sayı elde edilir.
- Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır.
- Bulunan sayı 6174 değilse işlem 2. adımdan itibaren bu yeni sayı ile tekrarlanır.
Örnek sayı: \( 5269 \)
Adım 1: \( 9652 - 2569 = 7083 \)
Adım 2: \( 8730 - 0378 = 8352 \)
Adım 3: \( 8532 - 2358 = \textcolor{red}{6174} \)
Örnek sayı: \( 1405 \)
Adım 1: \( 5410 - 0145 = 5265 \)
Adım 2: \( 6552 - 2556 = 3996 \)
Adım 3: \( 9963 - 3699 = 6264 \)
Adım 4: \( 6642 - 2466 = 4176 \)
Adım 5: \( 7641 - 1467 = \textcolor{red}{6174} \)
6174'ün bir diğer özelliği de bir Harshad sayısı olmasıdır.
\(6174: 6 + 1 + 7 + 4 = 18, \quad \) \( (6174 \div 18 = 343) \)
495 Sayısı
Yukarıda bahsettiğimiz 6174 sayısının üç basamaklı sayılarda geçerli olan karşılığı 495 sayısıdır. Buna göre dört basamaklı sayılar için paylaştığımız adımlar üç basamaklı sayılara uygulandığında her zaman en fazla 6 adımda 495 sayısı elde edilir.
Örnek sayı: \( 192 \)
Adım 1: \( 921 - 129 = 792 \)
Adım 2: \( 972 - 279 = 693 \)
Adım 3: \( 963 - 369 = 594 \)
Adım 4: \( 954 - 459 = \textcolor{red}{495} \)
Üç basamaklı \( (ABC) \) sayısı \( (ABC) = A^3 + B^3 + C^3 \) eşitliğini sağlıyorsa bir Armstrong sayısıdır.
\( (15A) \) sayısının Armstrong sayısı olduğu bilindiğine göre, \( A \) kaçtır?
Çözümü GösterArmstrong sayısının kuralına göre verilen sayıyı yazalım.
\( (15A) = 1^3 + 5^3 + A^3 \)
Eşitliğin solundaki sayıyı çözümlenmiş şekilde yazalım.
\( 100 + 50 + A = 1 + 125 + A^3 \)
\( 150 + A = 126 + A^3 \)
\( A^3 - A = 150 - 126 = 24 \)
Eşitliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( A(A - 1)(A + 1) = 24 \)
\( A = 3 \) bulunur.