Tek ve Çift Sayılar
2'ye tam bölünen tam sayılara çift sayı, 2'ye bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılara tek sayı denir. Çift sayılar \( \{0, 2, 4, 6, 8\} \) rakamlarından biri ile biter, tek sayılar \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \) rakamlarından biri ile biter.
Çift sayılar: \( 2, 24, 176, 1448 \)
Tek sayılar: \( 3, 15, 147, 1399 \)
Tek ve çift sayıların küme tanımı aşağıdaki gibidir.
\( \text{Çift sayılar} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\} \)
\( \text{Tek sayılar} = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\} \)
Tek ya da çift olma özelliği sadece tam sayılar için geçerlidir, \( \frac{1}{2} \) sayısı için teklik/çiftlik söz konusu değildir.
Her tam sayı ya tektir ya da çifttir. Sıfır çift sayıdır.
Negatif tam sayılar da tek ya da çift olabilir. Örneğin \( -2 \) çift iken \( -11 \) tektir.
Bir sayı tek ise negatifi de tektir, çift ise negatifi de çifttir. Örneğin \( 16 \) ve \( -16 \) çifttir, \( 47 \) ve \( -47 \) tektir.
Tek ve çift sayılar kümelerinin birleşimi tam sayılar kümesine eşittir.
\( \text{Tek sayılar} \cup \text{Çift sayılar} = \mathbb{Z} \)
Tek ve Çift Sayılarla İşlemler
Toplama/Çıkarma İşlemi
Tek ve çift sayılar arasındaki toplama/çıkarma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift} \pm \text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4 + 4 = 8 \) |
| \( \text{Çift} \pm \text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 8 - 3 = 5 \) |
| \( \text{Tek} \pm \text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3 + 4 = 7 \) |
| \( \text{Tek} \pm \text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 9 - 5 = 4 \) |
\( n \) tane çift sayının toplamı çifttir.
\( \underbrace{\text{Ç + Ç + ... + Ç}}_\text{n adet} = \text{Ç} \)
Aşağıdaki sayıların toplamı çift sayıdır.
\( 2 + 4 + 6 + \ldots + 98 + 100 \)
İSPATI GÖSTER
Bir \( x \) çift sayısını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k \)
\( n \) tane çift sayının toplamını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \)
\( = 2k_1 + 2k_2 + \ldots + 2k_n \)
\( = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_n) \)
Bu ifade 2 çarpanı içerdiği için çifttir, dolayısıyla \( n \) tane çift sayının toplamı her zaman çifttir.
\( n \) tane tek sayının toplamı \( n \) tek ise tek, \( n \) çift ise çifttir.
\( \underbrace{\text{T + T + ... + T}}_\text{çift sayı} = \text{Ç} \)
\( \underbrace{\text{T + T + ... + T}}_\text{tek sayı} = \text{T} \)
Aşağıdaki ifade 50 terim içerdiği için toplamları çift sayıdır.
\( 1 + 3 + 5 + \ldots + 97 + 99 \)
İSPATI GÖSTER
Bir \( x \) tek sayısını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k + 1 \)
\( n \) tane tek sayının toplamını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \)
\( = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \ldots + (2k_n + 1) \)
\( = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_n) + n \)
İfadenin birinci terimi 2 çarpanı içerdiği için çifttir, ikinci terim \( n \) tek ise tek, çift ise çifttir.
İki çift sayının toplamı çift, bir çift bir tek sayının toplamı tek olduğu için, bu ifadenin teklik/çiftlik durumunu \( n \) sayısı belirler. Buna göre \( n \) çift ise sayıların toplamı çift, \( n \) tek ise tektir.
İki sayının toplamı tek ise bu sayıların biri tektir diğeri çifttir.
\( 11 = 7 + 4 = 5 + 6 = 3 + 8 \)
İki sayının toplamı çift ise bu sayıların ya ikisi de tektir ya da ikisi de çifttir.
\( 10 = 9 + 1 = 7 + 3 \)
\( 10 = 8 + 2 = 6 + 4 \)
Çarpma İşlemi
Tek ve çift sayılar arasındaki çarpma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir. Buna göre, iki sayının çarpımı sadece sayıların ikisi de tek sayı olduğunda tek sayı olur.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift} \cdot \text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 6 \cdot 4 = 24 \) |
| \( \text{Çift} \cdot \text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 6 \cdot 3 = 18 \) |
| \( \text{Tek} \cdot \text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 5 \cdot 4 = 20 \) |
| \( \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 5 \cdot 3 = 15 \) |
İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu tek ise sayıların tümü tektir.
\( 135 = 3 \cdot 5 \cdot 9 \)
İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu çift ise sayılardan en az biri çifttir.
\( 90 = 2 \cdot 5 \cdot 9 \)
\( 792 = 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 11 \)
Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir, diğer tüm asal sayılar tektir.
99999'dan küçük asal sayıların çarpımı tek midir çift midir?
En az biri çift sayı olan sayıların çarpımı çifttir. En küçük asal sayı olan 2 çift sayı olduğu için 99999'dan küçük asal sayıların çarpımı çifttir.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
Çoklu İşlemler
Alternatif olarak; toplama, çıkarma, çarpma ve üslü işlemlerden oluşan bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumunu bulmak için, üsler hariç ifadedeki çift sayıların yerine 0, tek sayıların yerine 1 yazarak sonucun tek/çift olma durumu kontrol edilebilir.
\( 998 \cdot 767^2 - 1301 \cdot 9^{12} \)
\( 0 \cdot 1^2 - 1 \cdot 1^{12} = 0 - 1 = -1 \Longrightarrow \) Tek sayı
\( a \) çift, \( b \) tek pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri çifttir?
I. \( 5a + 3b \)
II. \( a(a + 1)(b + 3) \)
III. \( a^5 - b^8 \)
IV. \( a! + 2b \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( 5a + 3b \)
\( 5a \) ifadesi çift, \( 3b \) ifadesi tektir.
Biri tek diğeri çift iki sayının toplamı tektir.
I. öncüldeki ifade tektir.
II. öncül:
\( a(a + 1)(b + 3) \)
\( a \) sayısı çift, \( a + 1 \) ifadesi tek, \( b + 3 \) ifadesi çifttir.
En az biri çift olan sayıların çarpımı çifttir.
II. öncüldeki ifade çifttir.
III. öncül:
\( a^5 - b^8 \)
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri tek, çift sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri çifttir.
Buna göre \( a^5 \) ifadesi çift, \( b^8 \) ifadesi tektir.
Biri çift diğeri tek iki sayının toplamı/farkı tektir.
III. öncüldeki ifade tektir.
IV. öncül:
\( a \) en az 2 olabileceği için \( a! \) ifadesi mutlaka 2 çarpanını içerir, dolayısıyla çifttir.
\( 2b \) ifadesi çifttir.
İki çift sayının toplamı çifttir.
IV. öncüldeki ifade çifttir.
Buna göre II. ve IV. öncüllerdeki ifadeler çifttir.
Aşağıdaki ifadelerin hangileri çifttir?
(a) \( 4^{50} + 5^{21} \)
(b) \( 7^{34} \cdot 8^{78} \)
(c) \( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \)
Çözümü GösterBir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
(a) seçeneği:
\( 4^{50} + 5^{21} \)
\( 4^{50} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
\( 5^{21} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
Bir çift sayı ile tek sayının toplamı tek sayıdır.
(b) seçeneği:
\( 7^{34} \cdot 8^{78} \)
\( 7^{34} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 8^{78} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
Bir tek sayı ile çift sayının çarpımı çift sayıdır.
(c) seçeneği:
\( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \)
\( 11^{103} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 9^{58} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 22^{19} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
İki tek sayının çarpımı tek sayı olduğundan \( 11^{103} \cdot 9^{58} \) çarpımının sonucu tek sayıdır.
Bir tek sayı ile çift sayının toplamı tek sayı olduğundan \( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \) ifadesinin sonucu tek sayıdır.
Buna göre sadece 2. seçenek çift sayıdır.
\( 7a - 49 \) bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri her zaman tek sayıdır?
I. \( 3a + 9 \)
II. \( 8a - 25 \)
III. \( a^{13} - 123a \)
IV. \( \dfrac{a - 23}{2} \)
Çözümü Göster\( 7a - 49 \) ifadesi çift sayı ise \( 7a \) tek sayıdır, dolayısıyla \( a \) tek sayıdır.
I. öncül:
\( 3a + 9 \)
\( a \) tek sayı olduğu için \( 3a \) da tektir.
İki tek sayının toplamı çift sayıdır.
I. öncüldeki ifade çifttir.
II. öncül:
\( 8a - 25 \)
\( 8a \) ifadesi çifttir.
Biri çift diğeri tek iki sayının farkı tektir.
II. öncüldeki ifade tektir.
III. öncül:
\( a^{13} - 123a \)
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri tek, çift sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri çifttir.
\( a \) tek sayı olduğu için \( a^{13} \) tektir.
\( a \) tek sayı olduğu için \( 123a \) tektir.
İki tek sayının farkı çifttir.
III. öncüldeki ifade çifttir.
IV. öncül:
\( \dfrac{a - 23}{2} \)
\( a \) tek sayı olduğu için \( a - 23 \) ifadesi çifttir.
Çift bir sayıyı 2'ye böldüğümüzde sonuç tek ya da çift olabilir.
Örnek: \( 2 \div 2 = 1; 4 \div 2 = 2 \)
IV. öncüldeki ifade tek ya da çift olabilir.
Buna göre sadece II. öncüldeki ifade her zaman tektir.
15 tam sayının toplamı çift sayı olduğuna göre, bu sayılardan en çok kaç tanesi tek sayıdır?
Çözümü GösterHerhangi bir sayıda çift sayının toplamı sayıları 2 ortak parantezine alabileceğimiz için çift olur. Tek sayılarda ise tek sayıların adedi tekse sonuç tek, çift ise sonuç çift olur.
Buna göre 15 sayıdan 15'ini de tek alırsak sonuç tek olur.
Sayılardan 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur. 15. çift sayıyı bu toplama eklediğimizde sonuç yine çift olur.
Buna göre 15 sayıdan en çok 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur.
\( k, m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( km = 2n + 7 \) olduğuna göre,
\( k + m \) ifadesinin tek/çift olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( 2n \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için çifttir, dolayısıyla \( 2n + 7 \) ifadesi tek olur. Bu durumda \( km \) çarpımı da tek olmalıdır.
İki sayının çarpımı tek ise bu sayıların ikisi de tektir. İki tek sayının toplamı çift olduğu için \( k + m \) toplamı çift olur.
\( a \) bir tam sayı olmak üzere, aşağıdaki ifadelerin teklik/çiftlik durumunu inceleyin.
I. \( -2a \)
II. \( 3a^3 \)
III. \( 1 - 2a \)
IV. \( 4a^2 - 5 \)
V. \( a^2 + a \)
Çözümü GösterI. öncül: \( -2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir.
II. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 3a \) sayısı \( a \) tek ise tek, çift ise çifttir. Buna göre ifadenin teklik/çiftlik durumu \( a \) sayısı ile aynıdır.
III. öncül: \( 2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. Bir tek sayıdan çift sayı çıkartıldığında sonuç tek sayı olur.
IV. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 4a \) ifadesi 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. Bir çift sayıdan tek sayı çıkartıldığında sonuç tek sayı olur.
V. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( a^2 + a \) ifadesi \( a \) tek sayı ise iki tek sayının toplamı, çift sayı ise iki çift sayının toplamı olur. Her iki durumda da sonuç çift sayı olur.
Merve 5 haneli telefon şifresi hakkında aşağıdaki bilgileri veriyor.
- Son iki rakamın çarpımı tek sayıdır.
- Son üç rakamın toplamı çift sayıdır.
- İlk iki rakamın toplamı tek sayıdır.
Buna göre Merve'nin telefon şifresinde kaç adet çift sayı vardır?
Çözümü GösterMerve'nin telefon şifresine \( abcde \) diyelim.
Son iki rakamın çarpımı (\( d \cdot e \)) tek sayı olduğuna göre, \( d \) ve \( e \) tek sayıdır.
Son üç rakamın toplamı (\( c + d + e \)) çift sayı olduğuna ve \( d + e \) toplamı çift sayı olduğuna göre, \( c \) çift sayıdır.
İlk iki rakamın toplamı (\( a + b \)) tek sayı olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek sayı diğeri çift sayıdır.
Buna göre Merve'nin telefon şifresinde biri \( c \) diğeri \( a \) ve \( b \)'den biri olmak üzere iki çift sayı vardır.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^2 + 3a = b \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
\( (a) 20 \quad (b) 25 \quad (c) 26 \quad (d) 32 \quad (e) 36 \)
Çözümü Göster\( a^2 + 3a = a(a + 3) = b \)
\( a \) ve \( a + 3 \) sayılarından biri tek diğeri çifttir. En az biri çift olan sayıların çarpımı çift olduğu için \( a(a + 3) \) çarpımının sonucu çift sayı olur.
Buna göre \( b \) sayısı kesinlikle çifttir. Doğru cevap (b) seçeneğidir.
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
- \( x + y \) toplamı çift sayı
- \( y + z \) toplamı çift sayı
- \( x \cdot z \) çarpımı çift sayı
olduğu bilindiğine göre, \( x, y, z \) sayılarından hangileri çifttir?
Çözümü Göster\( x + y \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
\( y + z \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
İlk iki ifadeye göre sayıların ya üçü de çifttir ya da üçü de tektir.
\( x \cdot z \) çarpımı çift ise sayılardan en az biri çift olmalıdır, dolayısıyla yukarıdaki üç sayının da tek sayı olma durumu doğru olamaz.
Buna göre sayıların üçü de çifttir.
\( p, m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5p + 2m + n \) işleminin sonucu çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri kesinlikle çifttir?
I. \( mnp \)
II. \( p - n \)
III. \( m + n \)
Çözümü Göster2 çarpanı içerdiği için \( m \) tek de çift de olsa \( 2m \) sayısı çift olur, dolayısıyla \( m \)'nin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
\( 5p + \underbrace{2m}_\text{Çift} + n = \text{Çift} \) olduğu için \( 5p + n \) toplamı çift sayı olur.
Buna göre \( p \) ve \( n \) ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
Bu bilgilerle öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( m \), \( p \) ve \( n \) sayılarının üçü de tek olabileceği için \( mnp \) çarpımı tek olabilir. İçlerinden biri çift olabileceği için çarpımları çift de olabilir. Buna göre bu ifadenin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
II. öncül: \( p \) ve \( n \) sayılarının ikisinin de çift ve ikisinin de tek olduğu iki durumda \( p - n \) ifadesi çift olur. Bu öncül için kesinlikle çifttir diyebiliriz.
III. öncül: \( m \) sayısının tek/çift olma durumunu kesin bilmediğimiz için \( m + p \) toplamı tek ya da çift olabilir.
Buna göre yalnız II. öncül her zaman çifttir.
\( m \) ve \( n \) ardışık sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri her zaman tek sayıdır?
I. \( 3m + 7n \)
II. \( 23mn \)
III. \( m - n + 37 \)
IV. \( mn - 4 \)
Çözümü Gösterİki ardışık sayıdan biri tek sayı diğeri çift sayıdır, dolayısıyla toplamları ve farkları tek, çarpımları çift olur.
I. öncül: \( 3m + 7n \) ifadesindeki katsayılar tek sayı oldukları için terimlerin tek/çift olma durumlarını değiştirmezler, dolayısıyla bu katsayıları yok sayabiliriz. Buna göre \( m + n \) toplamı, dolayısıyla \( 3m + 7n \) her zaman tektir.
II. öncül: \( mn \) çarpımı çift sayı olduğu için \( 23mn \) çarpımı da kesinlikle çift olur.
III. öncül: \( m – n \) farkı tek sayıdır. Bu farka tek sayı olan 37 eklediğimizde sonuç kesinlikle çift olur.
IV. öncül: \( mn \) çarpımı çift sayı olduğu için \( mn - 4 \) ifadesi de çift olur.
Buna göre yalnız I. öncül her zaman tektir.
\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{3a + 16}{a} \) işleminin sonucu tek sayıdır.
Buna göre \( a \) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi tek bir \( a \) olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{3a}{a} + \dfrac{16}{a} = 3 + \dfrac{16}{a} \)
3 ile toplanan bu ifadenin tek sayı olabilmesi için \( \frac{16}{a} \) ifadesi çift sayı olmalıdır.
\( \frac{16}{a} \) ifadesinin sonucunu çift sayı yapan tam sayı \( a \) değerleri \( \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\} \) olur.
Buna göre verilen ifadeyi çift sayı yapan 8 farklı \( a \) değeri vardır.
Eda, Sibel ve Kerim bir kutu bilyeyi sırasıyla \( e \), \( s \) ve \( k \) adet olarak paylaşıyorlar. Eda ve Sibel'in aldığı miktarların toplamı çift sayı, Eda ve Kerim'in aldığı miktarların farkı tek sayıdır.
Buna göre, üçünün aldıkları miktarlarla ilgili aşağıdaki ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( s + k \) tek sayıdır.
II. \( s \cdot k \) çift sayıdır.
III. \( e = k \) olabilir.
IV. \( e + s + k \) çift sayıdır.
Çözümü GösterSoruda verilen bilgileri yorumlayalım.
\( e + s \) çift sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( s \) ikisi de çift ya da ikisi de tektir.
\( \abs{e - k} \) tek sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( k \)'dan biri tek diğeri çifttir.
Buna göre Eda'nın aldığı bilye sayısının tek/çift olma durumuna göre Sibel ve Kerim'in bilye sayılarının tek/çift olma durumları aşağıdaki tablodaki gibi olur.
| \( e \) | \( s \) | \( k \) |
|---|---|---|
| \( \text{Çift} \) | \( \text{Çift} \) | \( \text{Tek} \) |
| \( \text{Tek} \) | \( \text{Tek} \) | \( \text{Çift} \) |
I. öncül: İki durumda da doğrudur.
II. öncül: İki durumda da doğrudur.
III. öncül: Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için eşit olamazlar. Bu öncül yanlıştır.
IV. öncül: Sayıların toplamı birinci durumda tek, ikinci durumda çifttir. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
\( x = 0! + 1! + 2! + \ldots + 205! \)
\( y = 1^3 + 2^3 + \ldots + 301^3 \)
\( z = x^y - y^x - y^y - x^x \)
Buna göre aşağıdakilerden hangileri çift sayıdır?
I. \( x! + y! \)
II. \( (z - y)(x + y) \)
III. \( x^3y^6 + z^9 \)
Çözümü Göster\( x \) sayısının tek/çift olma durumunu inceleyelim.
\( x = 0! + 1! + 2! + \ldots + 205! \)
2 ve daha büyük tüm sayıların faktöriyeli çift sayıdır.
\( 0! = 1! = 1 \)
\( x = 1 + 1 + 2! + \ldots + 205! \)
\( = 2 + 2! + \ldots + 205! \)
Çift sayıların toplamı çift sayıdır.
Buna göre \( x \) çift sayıdır.
\( y \) sayısının tek/çift olma durumunu inceleyelim.
\( y = 1^3 + 2^3 + \ldots + 301^3 \)
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri tek, çift sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri çifttir. Buna göre \( y \) sayısının teklik/çiftlik durumu aşağıdaki ifadenin teklif/çiftlik durumu ile aynıdır.
\( 1 + 2 + \ldots + 301 \)
Ardışık sayıların terimler toplamı formülü ile bu toplamın sonucunu bulalım.
\( = \dfrac{301 \cdot 302}{2} = 301 \cdot 151 \)
İki tek sayının çarpımı tektir, dolayısıyla \( y \) sayısı da tektir.
\( z \) sayısının tek/çift olma durumunu inceleyelim.
\( z = x^y - y^x - y^y - x^x \)
Yukarıda bulduğumuz değerlere göre \( x \) ve \( y \) pozitif tam sayılardır.
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri tek, çift sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri çifttir. Buna göre \( z \) sayısının teklik/çiftlik durumu aşağıdaki ifadenin teklif/çiftlik durumu ile aynıdır.
\( x - y - y - x = -2y \)
Buna göre \( z \) çift sayıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül:
\( x! + y! \)
\( x \) ve \( y \) 2'den büyük tam sayılardır, dolayısıyla faktöriyelleri ayrı ayrı çift sayıdır.
İki çift sayının toplamı çift sayıdır.
I. öncüldeki ifade çifttir.
II. öncül:
\( (z - y)(x + y) \)
\( z \) çift ve \( y \) tek sayı olduğu için \( z - y \) farkı tek sayıdır.
\( x \) çift ve \( y \) tek sayı olduğu için \( x + y \) toplamı tek sayıdır.
İki tek sayının çarpımı tek sayıdır.
II. öncüldeki ifade tektir.
III. öncül:
\( x^3y^6 + z^9 \)
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri tek, çift sayıların tüm pozitif tam sayı üsleri çifttir. Buna göre \( x^3y^6 + z^9 \) ifadesinin teklik/çiftlik durumu aşağıdaki ifadenin teklif/çiftlik durumu ile aynıdır.
\( xy + z \)
\( x \) çift ve \( y \) tek sayı olduğu için \( xy \) çarpımı çift sayıdır.
\( xy \) ve \( z \) çift sayı olduğu için \( xy + z \) toplamı çift sayıdır.
III. öncüldeki ifade çifttir.
Buna göre I. ve III. öncüllerdeki ifadeler çift sayıdır.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Sayı doğrusu üzerinde \( a \) sayısının \( b \) sayısına uzaklığı çift sayı, \( b \) sayısının \( c \) sayısına uzaklığı tek sayı, 11 sayısının \( a \) sayısına uzaklığı tek sayıdır.
Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( 2c + 3a \) çifttir.
II. \( c - a \) tektir.
III. \( a^c \) tektir.
VI. \( \dfrac{b}{c} + 9 \) tektir.
Çözümü Gösterİki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık, sayıların farkının mutlak değerine eşittir.
11 sayısının \( a \) sayısına uzaklığı tek sayı olduğuna göre \( \abs{11 - a} \) tek sayıdır, dolayısıyla \( a \) çifttir.
\( a \) sayısının \( b \) sayısına uzaklığı çift sayı olduğuna göre \( \abs{a - b} \) çift sayıdır. \( a \)'nın çift sayı olduğu bilindiğine göre \( b \) de çifttir.
\( b \) sayısının \( c \) sayısına uzaklığı tek sayı olduğuna göre \( \abs{b - c} \) tek sayıdır. \( b \)'nin çift sayı olduğu bilindiğine göre \( c \) tektir.
Sonuç olarak; \( a \) ve \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
I. öncül:
\( 2c \) ifadesi çift, \( 3a \) ifadesi çifttir. İki çift sayının toplamı çift sayıdır.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Bir tek sayı ile çift sayının farkı tek sayıdır.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
Bir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
\( a \) çift sayı olduğu için \( a^c \) ifadesi de çifttir.
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
İki sayının sadece tek/çift olma durumunu bilerek bölümlerinin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söylenemez, örneğin iki çift sayının bölümü tek de çift de olabilir.
IV. öncülün doğruluğu hakkında kesin bir şey söylenemez.
Buna göre I. ve II. öncüller kesinlikle doğrudur.
\( x, y, z, t \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = y^4 - z^5 \)
\( y = z^7 + t^2 \)
olduğuna göre, aşağıdaki öncüllerden hangileri yanlıştır?
I. \( y \) ve \( z \) çift ise \( x + t \) tektir.
II. \( x + y \) çift ise \( z \cdot t \) çifttir.
III. \( z \) ve \( t \) çift ise \( x - y \) tektir.
Çözümü GösterBir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
Buna göre verilen eşitlikleri tek/çift olma durumları açısından aşağıdaki şekilde düşünebiliriz.
\( x = y - z \)
\( y = z + t \)
I. öncül:
\( y \) ve \( z \) çift ise \( x = y - z \) eşitliğine göre \( x \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) çift sayıdır.
O halde \( x + t \) toplamı da çift sayıdır.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
\( x + y \) çift ise iki farklı durum vardır.
Durum 1: \( x \) ve \( y \) çift sayı
\( x = y - z \) eşitliğine göre \( z \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) çift sayıdır.
O halde \( z \cdot t \) çarpımı çift sayıdır.
Durum 2: \( x \) ve \( y \) tek sayı
\( x = y - z \) eşitliğine göre \( z \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) tek sayıdır.
O halde \( z \cdot t \) çarpımı çift sayıdır.
İki durumda da sonuç çift sayıdır.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( z \) ve \( t \) çift ise \( y = z + t \) eşitliğine göre \( y \) çift sayıdır.
\( z \) ve \( y \) çift ise \( x = y - z \) eşitliğine göre \( x \) çift sayıdır.
O halde \( x - y \) farkı çift sayıdır.
III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve III. öncüller yanlıştır.
\( A = (n - 2)! + 4^{9 - n} \) ifadesinde \( A \) tek sayıdır.
Buna göre \( n \)'nin alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \)'nın tek sayı olabilmesi için işlemin terimlerinden biri tek diğeri çift olmalıdır.
\( x! \) ifadesi sadece \( x = 0 \) ve \( x = 1 \) için tek sayıdır, \( x \ge 2 \) için çift sayıdır.
\( 4^y \) ifadesi sadece \( y = 0 \) için tek sayıdır.
Buna göre \( n \) üç farklı değer alabilir.
Durum 1: \( n = 2 \)
Bu durumda birinci terim tek, ikinci terim çift olur.
\( A = (2 - 2)! + 4^{9 - 2} \)
\( = 1 + 4^7 \)
Durum 2: \( n = 3 \)
Bu durumda birinci terim tek, ikinci terim çift olur.
\( A = (3 - 2)! + 4^{9 - 3} \)
\( = 1 + 4^6 \)
Durum 3: \( n = 9 \)
Bu durumda birinci terim çift, ikinci terim tek olur.
\( A = (9 - 2)! + 4^{9 - 9} \)
\( = 7! + 4^0 = 7! + 1 \)
\( n \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 2 + 3 + 9 = 14 \) olarak bulunur.
21 tane ardışık tam sayının toplamı \( 8x - 3 \), 32 tane ardışık tam sayının toplamı \( 23y - 13 \) olarak veriliyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. 32 tane ardışık sayıdaki ilk terim çift sayıdır.
II. 21 tane ardışık sayıdaki son terim tek sayıdır.
III. \( y \) tek sayıdır.
Çözümü Göster\( 8x - 3 \) sayısı tektir, dolayısıyla 21 tane ardışık sayıdan 10'u çift, 11'i tek olmalıdır.
Tek + Çift + Tek + Çift + ... + Çift + Tek
32 tane ardışık sayıdan 16'sı tek, 16'sı çift olur.
16 tane tek sayının toplamı çift, 16 tane çift sayının toplamı çifttir. Dolayısıyla bu 32 ardışık sayının toplamı çift sayıdır.
O halde \( 23y - 13 \) çifttir, dolayısıyla \( 23y \) sayısı ve \( y \) tektir.
Bu bilgiler doğrultusunda verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül:
32 tane ardışık sayıdan 16'sı tek, 16'sı çifttir, ancak ilk terimin tek mi çift mi olduğunu kesin olarak bilemeyiz.
I. öncül kesinlikle doğru değildir.
II. öncül:
Yukarıda gösterdiğimiz üzere, 21 adet ardışık sayıdaki son terim tektir.
II. öncül kesinlikle doğrudur.
III. öncül:
Yukarıda gösterdiğimiz üzere, \( y \) sayısı tektir.
III. öncül kesinlikle doğrudur.
Buna göre II. ve III. öncüller kesinlikle doğrudur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 4^{\frac{a - 2}{2}} + 5 \) ve \( b^b + 9 \) ifadelerinin çift sayı olduğu biliniyor.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( a^b + b^a \) çift sayıdır.
II. \( 19^a \cdot 3b \) tek sayıdır.
III. \( a! + b! \) çift sayıdır.
Çözümü Göster\( 4^{\frac{a - 2}{2}} + 5 \) çift sayı ise \( 4^{\frac{a - 2}{2}} \) tek sayıdır.
4'ün sadece sıfırıncı kuvveti tek sayıdır.
\( \frac{a - 2}{2} = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b^b + 9 \) çift sayı ise \( b^b \) tek sayıdır, dolayısıyla \( b \) tek sayıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( 2^b + b^2 \) ifadesinde \( 2^b \) çift sayı, \( b^2 \) tek sayıdır, dolayısıyla toplamları tek sayıdır. Bu öncül hiçbir zaman doğru değildir.
II. öncül: \( 19^2 \cdot 3b \) ifadesinde \( 19^2 \) ve \( 3b \) tek sayıdır, dolayısıyla çarpımları da tek sayıdır. Bu öncül her zaman doğrudur.
III. öncül: \( a! \) ifadesi \( a \)'nın tüm pozitif çift sayı değerlerinde 2 çarpanı içerir, dolayısıyla çift sayı olur. \( b! \) ifadesi \( b = 1 \) olduğunda tek sayı, \( b \ge 3 \) olduğunda çift sayı olur. Bu öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
\( a, b, c, m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a + b)^c = 2m + 3 \)
\( (b \cdot c)^a = 2n \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
(a) \( b \) çift sayı ise \( c \) tek sayıdır.
(b) \( b \) çift sayıdır.
(c) \( a \) tek sayıdır.
(d) \( a \) tek sayı ise \( c \) tek sayıdır.
(e) \( a \) çift sayı ise \( c \) çift sayıdır.
Çözümü GösterVerilen iki eşitlikten aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
\( (a + b)^c = 2m + 3 \)
Üssün pozitif tam sayı olduğu durumda bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumu ifadenin tabanı ile aynıdır. Bu durumda \( 2m \) çift ve \( 2m + 3 \) tek sayı olduğu için \( a + b \) de tek sayı olur. Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek diğeri çift olmalıdır.
\( (b \cdot c)^a = 2n \)
\( 2n \) çift sayı olduğu için \( b \cdot c \) de çift sayıdır. Bir çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiği için \( b \) ve \( c \) ikisi birlikte tek olamaz.
Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının tek/çift olma durumları aşağıdaki 3 durumdan biri gibi olur.
| \( a \) | \( b \) | \( c \) |
|---|---|---|
| \( \text{Tek} \) | \( \text{Çift} \) | \( \text{Tek} \) |
| \( \text{Çift} \) | \( \text{Tek} \) | \( \text{Çift} \) |
| \( \text{Tek} \) | \( \text{Çift} \) | \( \text{Çift} \) |
Bu 3 durum doğrultusunda verilen seçenekleri değerlendirelim.
(a) \( b \) çift sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( b \) çift ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(b) \( b \) çift sayıdır: Tabloya göre \( b \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(c) \( a \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(d) \( a \) tek sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(e) \( a \) çift sayı ise \( c \) çift sayıdır: Tabloya göre \( a \) çift ise \( c \) de çifttir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğrudur.
Buna göre (e) seçeneği her zaman doğrudur.
\( x \) ve \( y \) pozitif tam sayıları aralarında asaldır.
İki sayının en küçük ortak katı (EKOK) çift sayı olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle tektir?
I. \( x - y \)
II. \( x^2 + y^2 \)
III. \( x^y \)
Çözümü GösterSayıların EKOK'u çift sayı olduğuna göre bu sayılarından en az biri 2 çarpanını içerir, dolayısıyla çifttir.
Sayılar aralarında asal olduğuna göre diğer sayı çift olamaz, aksi takdirde iki sayı da 2 çarpanını içereceği için aralarında asal olmazlar.
Buna göre iki sayıdan biri tek diğeri çifttir.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için \( x - y \) ifadesi her zaman tek olur. II. öncül: Tek bir sayının karesi tek, çift bir sayının karesi çifttir. Dolayısıyla \( x^2 + y^2 \) toplamının sonucu tek olur. III. öncül: Çift sayının pozitif tek sayı üssü çift, tek sayının pozitif çift sayı üssü tektir. Sayılardan hangisinin tek hangisinin çift olduğunu bilmediğimiz için bu öncül için kesin bir şey söyleyemeyiz. Buna göre I. ve II. öncüldeki ifadeler her zaman tektir.
\( a \), \( b \) ve \( c \) tam sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
- \( 2a \), \( b - 2 \), \( 6c^3 \) sayılarının hepsi çifttir.
- \( b + c \) tek sayıdır.
- \( 9a \), \( 5b \) ve \( 3c \) sayılarından sadece biri tektir.
Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının tek/çift olma durumlarını inceleyiniz.
Çözümü GösterI. öncül: \( 2a \) ve \( 6c^3 \) sayılarının katsayıları 2 çarpanı içerdiği için bu ifadeler her zaman çift olur, dolayısıyla \( a \) ve \( c \)'nin tek/çift olma durumları hakkında bir şey söyleyemeyiz. \( b - 2 \) çift ise \( b \) de çifttir.
II. öncül: \( b \) çift olduğuna göre, \(b + c \) ifadesinin tek olması için \( c \) tek olmalıdır.
III. öncül: \( b \) çift olduğuna göre \( 5b \) de çifttir. \( c \) tek olduğuna göre \( 3c \) de tektir. Verilen 3 sayıdan sadece biri tek ise \( 9a \) çift olmalıdır, dolayısıyla \( a \) çift olur.
Buna göre \( a \) ve \( b \) çift, \( c \) tektir.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a - b = \dfrac{33}{c} \) olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangileri kesinlikle tek sayıdır?
I. \( c(b + a) \)
II. \( abc \)
III. \( a + b + c \)
IV. \( c^a + 9 \)
Çözümü GösterSayıların üçü de birer tam sayıdır. Verilen eşitliğin solundaki \( a - b \) ifadesi de tam sayı olacağı için sağındaki \( \frac{33}{c} \) ifadesi de tam sayı olmalıdır.
\( c \) sayısı 33'ü tam böldüğüne göre 33'ün bir çarpanı olmalıdır. 33'ün bölenleri 1, 3, 11 ve 33 olduğu için \( c \) mutlaka tek sayıdır. Ayrıca 33'ün bu sayılardan herhangi birine bölümünün sonucu da tek sayı olur.
Bu durumda \( a - b \) sonucu da tektir. Buna göre \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek diğeri çifttir.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( c(b + a) \) çarpımı tek sayı olur. Bu öncül her zaman tektir.
II. öncül: \( a \) ve \( b \) sayılarından biri çift olduğu için \( abc \) çarpımı her zaman çift olur.
III. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( a + b + c \) toplamı çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.
IV. öncül: Üssü pozitif tam sayı olan ifadelerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu bulmak için tabana bakmamız yeterlidir, dolayısıyla \( c \) tek olduğu için \( c^a \) da tek olur. Tek bir sayıyı 9 ile toplarsak sonuç çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.
Buna göre sadece I. öncül kesinlikle tektir.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2y^2 + xy + 6y + 3x \) ifadesinin tek sayı olduğu bilinmektedir.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri tek sayıdır?
I. \( xy \)
II. \( x^x \)
III. \( y + 10^x \)
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 2y(y + 3) + x(y + 3) \)
\( = (y + 3)(2y + x) \)
Bu çarpımın sonucu tek sayı olduğuna göre, her iki çarpan da tek sayı olmalıdır.
\( y + 3 \) toplamında, 3 tek sayı olduğu için \( y \) çift sayı olmalıdır.
\( 2y + x \) toplamında, \( 2y \) çift sayı olduğu için \( x \) tek sayı olmalıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( y \) çift sayı olduğu için \( xy \) çarpımı çift olur.
II. öncül: \( x \) tek sayı olduğu için \( x^x \) ifadesi tek olur.
III. öncül: \( y + 10^x \) toplamı her iki terim de çift olduğu için çifttir.
Buna göre sadece II. öncül tek sayıdır.
\( x, y, z \) ardışık doğal sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangilerinin teklik/çiftlik durumu kesin olarak bilinemez?
I. \( (x + y)^4 + (y + z)^5 \)
II. \( xyz - xz \)
III. \( xz + y^2 \)
Çözümü Göster\( x, y, z \) ardışık doğal sayılarının tek/çift olma durumları iki şekilde olabilir: Birinci durumda sayılar sırasıyla çift, tek, çift olabilir ya da ikinci durumda sayılar tek, çift, tek olabilir.
Verilen öncülleri her iki durum için inceleyelim.
I. öncül:
\( (x + y)^4 + (y + z)^5 \)
Durum 1:
\( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı, \( z \) çift sayı
Bu durumda \( x + y \) toplamı tek sayı, \( y + z \) toplamı tek sayı, \( (x + y)^4 + (y + z)^5 \) toplamı çift sayı olur.
Durum 2:
\( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı, \( z \) tek sayı
Bu durumda \( x + y \) toplamı tek sayı, \( y + z \) toplamı tek sayı, \( (x + y)^4 + (y + z)^5 \) toplamı çift sayı olur.
I. öncül kesinlikle çift sayıdır.
II. öncül:
\( xyz - xz \)
Durum 1:
\( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı, \( z \) çift sayı
Bu durumda \( xyz \) çarpımı çift sayı, \( xz \) çarpımı çift sayı, \( xyz - xz \) farkı çift sayı olur.
Durum 2:
\( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı, \( z \) tek sayı
Bu durumda \( xyz \) çarpımı çift sayı, \( xz \) çarpımı tek sayı, \( xyz - xz \) farkı tek sayı olur.
II. öncül tek ya da çift sayı olabilir.
III. öncül:
\( xz + y^2 \)
Durum 1:
\( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı, \( z \) çift sayı
Bu durumda \( xz \) çarpımı çift sayı, \( y^2 \) ifadesi tek sayı, \( xz + y^2 \) toplamı tek sayı olur.
Durum 2:
\( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı, \( z \) tek sayı
Bu durumda \( xz \) çarpımı tek sayı, \( y^2 \) ifadesi çift sayı, \( xz + y^2 \) toplamı tek sayı olur.
III. öncül kesinlikle tek sayıdır.
Buna göre sadece II. öncülün teklik/çiftlik durumu kesin olarak bilinemez.
Bir sınava katılan bir grup öğrenci hakkında aşağıdakiler biliniyor.
- Öğrenci sayısı tek sayıdır.
- Öğrencilerin sınavda aldığı notların toplamı çift sayıdır.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. Sınav notu çift sayı olan öğrenci sayısı çifttir.
II. Sınav notu tek olan öğrenci sayısı çifttir.
III. Öğrencilerden en az birinin notu tek sayıdır.
Çözümü GösterÖğrenci sayısına \( n \) diyelim. \( n \) tek sayıdır.
\( n \) tane notun toplamı çift sayıdır.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \) çift sayı
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: Tüm sayılar çift olabileceği için notu çift sayı olan öğrenci sayısı tek ya da çift olabilir. Bu öncül her zaman doğru değildir.
II. öncül: Notların toplamı çift sayı olduğu için, notu tek sayı olan öğrenci sayısı ya sıfırdır ya da ikinin katıdır. Bu öncül her zaman doğrudur.
III. öncül: Tüm öğrencilerin notu çift sayı olabilir. Bu öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + y, 3x + 5y + 1, xy \)
ifadelerinden ikisinin çift sayı, diğerinin tek sayı olduğu biliniyor.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri çift sayı olabilir?
I. \( x + 3 \)
II. \( xy - 1 \)
III. \( y \)
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) sayılarının her bir farklı tek/çift sayı olma durumlarında bu üç ifadenin tek/çift sayı olma durumlarını kontrol edelim.
\( 2x + y, 3x + 5y + 1, xy \)
Durum 1: \( x \) ve \( y \) çift sayı
1. ve 3. ifadeler çift sayı, 2. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.
Durum 2: \( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı
2. ve 3. ifadeler çift sayı, 1. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.
Durum 3: \( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı
Tüm ifadeler çift sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.
Durum 4: \( x \) ve \( y \) tek sayı
Tüm ifadeler tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.
Sadece 1. ve 2. durumlar geçerli çözüm olduğu için \( x \)'in çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz, \( y \)'nin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( x + 3 \) toplamı her zaman tek sayıdır, çift sayı olamaz.
II. öncül: \( xy - 1 \) toplamı \( x \) çift sayı olduğu için her zaman tek sayıdır, çift sayı olamaz.
III. öncül: \( y \) çift sayı olabilir.
Buna göre sadece III. öncül çift sayı olabilir.