Üstel Fonksiyon Eşitsizlikleri
Bu bölümde bazı üstel fonksiyon eşitsizlik tiplerini ve her biri için çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Sabit Değer
Bir üstel ifade ile sabit bir reel sayı arasındaki eşitsizlikte eşitsizlik logaritma ifadesine çevrilir.
Üstel ifadenin tabanı birden büyükse eşitsizlik işareti yön değiştirmez.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( m \le a^x \lt n \) ise,
\( \log_a{m} \le x \lt \log_a{n} \)
\( \frac{1}{8} \le 2^{x + 2} \lt 64 \)
\( \log_2{\frac{1}{8}} \le \log_2{2^{x + 2}} \lt \log_2{64} \)
\( \log_2{2^{-3}} \le \log_2{2^{x + 2}} \lt \log_2{2^6} \)
\( -3 \le x + 2 \lt 6 \)
\( -5 \le x \lt 4 \)
Üstel ifadenin tabanı sıfır ve bir aralığındaysa eşitsizlik işareti yön değiştirir.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( m \le a^x \lt n \) ise,
\( \log_a{m} \ge x \gt \log_a{n} \)
\( \frac{1}{27} \lt (\frac{1}{3})^{x - 5} \le 81 \)
\( \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{27}} \gt \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{x - 5}} \ge \log_{\frac{1}{3}}{81} \)
\( \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^3} \gt \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{x - 5}} \ge \log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^{-4}} \)
\( 3 \gt x - 5 \ge -4 \)
\( 8 \gt x \ge 1 \)
Eşit Tabanlar
Tabanları aynı iki üstel ifade arasındaki eşitsizlik üsler arasında eşitsizliğe dönüştürülebilir.
Tabanlar birden büyükse üssü daha büyük olan taraf daha büyüktür.
\( a \gt 1 \) olmak üzere,
\( a^x \gt a^y \Longrightarrow x \gt y \)
\( 3^{3x} \gt 3^{2x + 3} \) ise,
\( 3x \gt 2x + 3 \)
Tabanlar sıfır ve bir aralığındaysa üssü daha küçük olan taraf daha büyüktür.
\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,
\( a^x \gt a^y \Longrightarrow x \lt y \)
\( (\frac{1}{2})^{3x} \ge (\frac{1}{2})^{2x + 3} \)
\( 3x \le 2x + 3 \)
Eşitlenebilir Tabanlar
İki üstel ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar farklı ama eşitlenebilir ise önce tabanlar eşitlenir, daha sonra tabanın birden büyük ya da (0, 1) aralığında olma durumuna göre yukarıdaki iki eşit taban kuralından biri uygulanır.
\( 27^{2x} \gt 81^{x - 1} \)
\( 3^{3(2x)} \gt 3^{4(x - 1)} \)
\( 6x \gt 4x - 4 \)
\( 2^{2x + 4} \ge (\frac{1}{4})^{x} \)
\( (\frac{1}{2})^{-(2x + 4)} \ge (\frac{1}{2})^{2x} \)
\( -(2x + 4) \le 2x \)
Değişken Değiştirme
Bir eşitsizlikte değişken içeren tüm üstel ifadeler ortak bir ifade cinsinden yazılabiliyorsa eşitsizlik aşağıdaki adımlar takip edilerek değişken değiştirme yöntemi ile çözülebilir.
- Üstel ifadelerin yerine geçecek ifade için yeni bir değişken tanımlanır.
- Üstel ifadeler bu yeni değişken cinsinden yazılır ve bu şekilde üstel ifade içermeyen daha sade bir eşitsizlik elde edilir.
- Elde edilen eşitsizlik standart eşitsizlik çözme yöntemleri ile çözülür.
- Yeni değişken için bulunan çözüm değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak eşitsizliğin orijinal değişkenine dönüştürülür.
\( 4^x - 2^{x + 1} - 8 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
\( 2^{2x} - 2 \cdot 2^x - 8 \le 0 \)
\( 2^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 2t - 8 \le 0 \)
\( (t + 2)(t - 4) \le 0 \)
\( -2 \le t \le 4 \)
\( t \) değişkenini eşitsizliğin orijinal değişkenine dönüştürelim.
\( -2 \le 2^x \le 4 \)
Üstel bir ifade sadece pozitif değer alabilir.
\( 0 \lt 2^x \le 4 \)
\( x \le 2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 2] \)
\( 8^{x^2 - 3x} \lt (\frac{1}{2})^{10 - 2x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterÜstel ifadelerin tabanlarını eşitleyelim.
\( ((\frac{1}{2})^{-3})^{x^2 - 3x} \lt (\frac{1}{2})^{10 - 2x} \)
\( (\frac{1}{2})^{-3x^2 + 9x} \lt (\frac{1}{2})^{10 - 2x} \)
İki üstel ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar sıfır ve bir aralığındaysa üssü daha küçük olan taraf daha büyüktür.
\( -3x^2 + 9x \gt 10 - 2x \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( -3x^2 + 11x - 10 \gt 0 \)
Eşitsizliği çarpanlarına ayıralım.
\( (5 - 3x)(x - 2) \gt 0 \)
Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (\frac{5}{3}, 2) \)
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 0 \lt a \lt 4 \) olduğuna göre,
\( 2^{5a - 12} \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliği istenen ifade için düzenleyelim.
\( 0 \lt a \lt 4 \)
\( 0 \lt 5a \lt 20 \)
\( -12 \lt 5a - 12 \lt 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'nin üssü şeklinde yazalım.
\( a \gt 1 \) olmak üzere, \( a^x \) şeklindeki bir ifade tüm reel sayılarda artan olduğu için üssü daha büyük olan ifade daha büyük olur.
\( 2^{-12} \lt 2^{5a - 12} \lt 2^8 \)
\( \dfrac{1}{2^{12}} \lt 2^{5a - 12} \lt 256 \)
\( 2^{5a - 12} \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 255 \), en küçük tam sayı değeri \( 1 \)'dir.
\( 255 + 1 = 256 \) bulunur.