Üstel Fonksiyon Tanım ve Görüntü Kümesi
\( a \gt 0 \) olmak üzere, \( a^x \) şeklindeki bir ifadeyi tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için üstel fonksiyonların en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Pozitif bir tabanın herhangi bir reel sayı kuvveti hiçbir zaman sıfır ya da negatif olamayacağı için üstel fonksiyonların en geniş görüntü kümesi pozitif reel sayılardır.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
|
\( y = a^x \) \( a \in \mathbb{R^+} - \{ 1 \} \) |
\( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R^+} \) |
Üstel fonksiyonların tanım kümesinin tüm reel sayılar, görüntü kümesinin de pozitif reel sayılar olduğu farklı tabanlara ait aşağıdaki grafikler üzerinden de teyit edilebilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{9^x - 6 \cdot 3^x + 17} \) fonksiyonunun alabileceği en büyük reel sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{1}{3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 17} \)
Fonksiyonu \( t = 3^x \) dönüşümünü yaparak yeniden düzenleyelim.
\( f(t) = \dfrac{1}{t^2 - 6t + 17} \)
\( = \dfrac{1}{(t - 3)^2 + 8} \)
Payda ne kadar küçük olursa \( f \) fonksiyonunun değeri o kadar büyük olur.
Payda en küçük değerini tam kare ifade sıfır olduğunda, yani \( t = 3 \) olduğunda alır.
\( t = 3 \) değerinin fonksiyonun orijinal değişkenini tanımsız yapmadığından emin olalım.
\( t = 3^x = 3 \Longrightarrow x = 1 \)
\( t = 3 \) vererek fonksiyonun en büyük değerini bulalım.
\( f(3) = \dfrac{1}{(3 - 3)^2 + 8} = \dfrac{1}{8} \) bulunur.
\( f(x) = 2^{2x} + 5^{2x} + 2^{-2x} + 5^{-2x} + 6 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon sadece üstel ve sabit ifadelerden oluştuğu için terimleri tanımsız yapan bir \( x \) değeri yoktur, dolayısıyla en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
\( 6 = 10 - 2 - 2 \) yazarak fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 2^{2x} - 2 + 2^{-2x} + 5^{2x} - 2 + 5^{-2x} + 10 \)
\( -2 \) terimlerini düzenleyelim.
\( = (2^{2x} - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x}) + (5^{2x} - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + 5^{-2x}) + 10 \)
Parantez içindeki ifadeler parantez karesi ifadelerinin açılımıdır.
\( = (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \)
İlk iki terim tam kare ifadeler olduğu için negatif olamazlar, \( x = 0 \) olduğunda iki ifade de ayrı ayrı sıfıra eşit olur.
Ayrıca \( x \) pozitif sonsuza giderken iki ifade de ayrı ayrı pozitif sonsuza gider.
\( 0 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 10 eklediğimizde \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 10 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \lt \infty \)
\( 10 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) \in [10, \infty) \)