\( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısı tanımlayalım. \( R \) bağıntısı önceki bölümlerde incelediğimiz yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahip olabilir ya da olmayabilir.
\( R \) bağıntısını kapsayan ve \( P \) özelliğine sahip en küçük \( S \) bağıntısına, \( R \) bağıntısının \( P \) özelliğine göre kapanışı denir.
\( A = \{1, 2, 3\} \)
\( R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 3)\} \)
\( R \) bağıntısının yansıma özelliğine sahip olması için eklenmesi gereken iki eleman \( (2, 2) \) ve \( (3, 3) \) ikilileridir.
\( R \) bağıntısının yansıma özelliğine göre kapanışı:
\( S_1 = \{ (1, 1), \textcolor{red}{(2, 2)}, \textcolor{red}{(3, 3)}, (1, 2), (2, 3)\} \)
\( R \) bağıntısının simetri özelliğine sahip olması için eklenmesi gereken iki eleman \( (2, 1) \) ve \( (3, 2) \) ikilileridir.
\( R \) bağıntısının simetri özelliğine göre kapanışı:
\( S_2 = \{ (1, 1), (1, 2), \textcolor{red}{(2, 1)}, (2, 3), \textcolor{red}{(3, 2)}\} \)
\( R \) bağıntısının geçişme özelliğine sahip olması için eklenmesi gereken tek eleman \( (1, 3) \) ikilisidir.
\( R \) bağıntısının geçişme özelliğine göre kapanışı:
\( S_3 = \{ (1, 1), (1, 2), (2, 3), \textcolor{red}{(1, 3)}\} \)
\( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının yansıyan kapanışı, \( R \) bağıntısını kapsayan yansıyan bağıntılar içinde en küçük (en az elemanlı) olan bağıntıdır.
\( A \) kümesinde tanımlı bir bağıntının yansıyan olması için bağıntı birim bağıntının elemanlarını içermelidir.
\( I_A = \{(x, x) \mid x \in A\} \)
\( A = \{1, 2, 3\} \)
\( I_A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} \)
Buna göre \( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının yansıyan kapanışı, bağıntının birim bağıntı ile birleşim kümesine eşittir.
\( A \) kümesinde tanımlı \( R \) bağıntısının yansıyan kapanışı:
\( R_r = R \cup I_A \)
\( A \) kümesi ve üzerinde tanımlı olan bir \( R \) bağıntısı tanımlayalım.
\( A = \{k, m, n\} \)
\( R = \{(k, k), (k, m), (m, n)\} \)
\( I_A = \{(k, k), (m, m), (n, n)\} \)
\( R \) bağıntısının yansıma özelliğine göre kapanışı:
\( R_r = R \cup I_A \)
\( = \{(k, k), (k, m), (m, m), (m, n), (n, n)\} \)
\( R_r \) bağıntısını incelediğimizde yansıyan olduğunu görebiliriz.
Bağıntı işlemleri bölümünde bir bağıntının tersini bağıntının tüm elemanlarının bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilen bağıntı olarak tanımlamıştık.
\( R^{-1} = \{(y, x) \mid (x, y) \in R\} \)
\( R = \{(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 4)\} \)
\( R^{-1} = \{(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)\} \)
\( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının simetrik kapanışı, \( R \) bağıntısını kapsayan simetrik bağıntılar içinde en küçük (en az elemanlı) olan bağıntıdır.
\( A \) kümesinde tanımlı bir bağıntının simetrik olması için bağıntı ters bağıntısının tüm elemanlarını içermelidir.
Buna göre \( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının simetrik kapanışı, bağıntının tersi ile birleşim kümesine eşittir.
\( A \) kümesinde tanımlı \( R \) bağıntısının simetrik kapanışı:
\( R_s = R \cup R^{-1} \)
\( A \) kümesi ve üzerinde tanımlı olan bir \( R \) bağıntısı tanımlayalım.
\( A = \{k, m, n\} \)
\( R = \{(k, k), (k, m), (m, n)\} \)
\( R^{-1} = \{(k, k), (m, k), (n, m)\} \)
\( R \) bağıntısının simetri özelliğine göre kapanışı:
\( R_s = R \cup R^{-1} \)
\( = \{(k, k), (k, m), (m, k), (m, n), (n, m)\} \)
\( R_s \) bağıntısını incelediğimizde simetrik olduğunu görebiliriz.
Bağıntı işlemleri bölümünde \( S \circ R \) bileşke bağıntısını aşağıdaki şekilde tanımlamıştık.
\( S \circ R = \{(x, z) \in A \times C \mid \exists y \in B, (x, y) \in R \land (y, z) \in S\} \)
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2, 3\} \)
\( C = \{x, y, z\} \)
\( R = \{(a, 1), (a, 2), (b, 3)\} \)
\( S = \{(1, x), (1, z), (2, y), (3, x)\} \)
\( S \circ R = \{(a, x), (a, y), (a, z), (b, x)\} \)
\( R^n \) ifadesi \( R \) bağıntısının \( n \) kez kendisiyle bileşkesine karşılık gelir.
\( R^n = \underbrace{R \circ R \circ \ldots \circ R}_\text{n kez} \)
\( R^1 = R \)
\( R^2 = R \circ R \)
\( R^3 = R \circ R^2 \)
\( R^n = R \circ R^{n-1} \)
\( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının geçişken kapanışı, \( R \) bağıntısını kapsayan geçişken bağıntılar içinde en küçük (en az elemanlı) olan bağıntıdır.
\( A \) kümesinde tanımlı bir \( R \) bağıntısının geçişken kapanışı aşağıdaki formülle bulunur.
\( n \) elemanlı \( A \) kümesinde tanımlı \( R \) bağıntısının geçişken kapanışı:
\( R_t = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} R^i \)
\( = R^1 \cup R^2 \cup \ldots \cup R^n \)
\( A = \{a, b, c, d\} \)
\( R = \{(a, b), (b, c), (c, d), (d, b)\} \)
\( R^2 = R \circ R \)
\( = \{(a, c), (b, d), (c, b), (d, c)\} \)
\( R^3 = R \circ R^2 \)
\( = \{(a, d), (b, b), (c, c), (d, d)\} \)
\( R^4 = R \circ R^3 \)
\( = \{(a, b), (b, c), (c, d), (d, b)\} \)
\( R_t = R^1 \cup R^2 \cup R^3 \cup R^4 \)
\( = \{(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), \) \( (b, c), (b, d), (c, b), (c, c), \) \( (c, d), (d, b), (d, c), (d, d)\} \)
\( R_t \) bağıntısını incelediğimizde geçişken olduğunu görebiliriz.