Sıralama Bağıntısı

Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.

\( R \) bağıntısının elemanlarını listeleyelim.

\( R = \{(3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 4), (5, 5)\} \)

\( (3, 3), (4, 4), (5, 5) \in R \) olduğu için bağıntının yansıma özelliği vardır.

Ters simetri özelliği için bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \in R \) için \( (b, a) \notin R \) olduğunu gösterelim.

Yansıyan elemanlar ters simetri özelliğini bozmaz.

\( (4, 3) \in R \) için \( (3, 4) \notin R \)

\( (5, 3) \in R \) için \( (3, 5) \notin R \)

\( (5, 4) \in R \) için \( (4, 5) \notin R \)

Buna göre bağıntının ters simetri özelliği vardır.

Geçişme özelliği için bağıntının elemanı olan her \( (a, b), (b, c) \in R \) için \( (a, c) \in R \) olduğunu gösterelim.

\( (5, 4), (4, 3) \in R \) için \( (5, 3) \in R \)

Buna göre bağıntının geçişme özelliği vardır.

\( R \) bağıntısı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip olduğu için bir sıralama bağıntısıdır.

Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse bu bağıntı bir sıralama bağıntısıdır.

\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid x \) olduğu için (\( x \) kendisini tam böldüğü için) \( R \) yansıma özelliğine sahiptir.

\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid y \) ise \( y \mid x \) olup olmadığını bulmaya çalışalım.

\( m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( x \mid y \) ise \( y = m \cdot x \) şeklinde bir \( m \) pozitif tam sayısı vardır.

\( y \mid x \) olduğunu varsayalım.

\( y \mid x \) ise \( x = n \cdot y \) şeklinde bir \( n \) pozitif tam sayısı vardır.

\( x = n \cdot y = n \cdot m \cdot x \)

\( m \cdot n = 1 \)

\( m = n = 1 \)

Buna göre \( x \mid y \) ise \( y \mid x \) koşulu sadece \( m = n = 1 \) olduğunda, yani \( x = y \) olduğunda sağlanır. \( x = y \) olduğu durum ters simetriye engel olmadığı için \( R \) ters simetri özelliğine sahiptir.

\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( x \mid y \) ve \( y \mid z \) iken \( x \mid z \) olup olmadığını bulmaya çalışalım.

\( m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( x \mid y \) ise \( y = m \cdot x \) şeklinde bir \( m \) pozitif tam sayısı vardır.

\( y \mid z \) ise \( z = n \cdot y \) şeklinde bir \( n \) pozitif tam sayısı vardır.

\( z = n \cdot y = (n \cdot m) \cdot x \)

\( z \) ve \( x \) arasında böyle bir eşitliği yazabileceğimiz \( n \cdot m \) tam sayısı mevcut olduğu için \( x \mid z \) olur.

Dolayısıyla \( R \) geçişkenlik özelliğine sahiptir.

Buna göre \( R \) bir sıralama bağıntısıdır.