Doğrunun Analitiği Formülleri
Bir Nokta ve Doğru Arası Uzaklık
Bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta arasındaki en kısa uzaklık, noktadan doğruya çizilecek dik doğru parçasının uzunluğudur.
\( A(x_1, y_1) \)
\( d_1: ax + by + c = 0 \) olmak üzere,
\( A \) noktası ve \( d_1 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( A(-4, 1) \) noktası ve \( 3x - 4y + 6 = 0 \) doğrusu arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{3 \cdot (-4) - 4 \cdot 1 + 6}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{5} = 2 \)
İki Paralel Doğru Arası Uzaklık
Birbirine paralel iki doğru arasındaki en kısa uzaklık, iki doğruya da dik olan bir doğru parçasının uzunluğudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğruları arasındaki uzaklık:
\( = \dfrac{\abs{-3 - 7}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{-10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \)
Paralel İki Doğruya Eşit Uzaklıktaki Paralel Doğrunun Denklemi
Birbirine paralel iki doğruya eşit uzaklıktaki doğru, yukarıdaki iki doğru arasındaki uzaklık formülüne göre iki doğruya da eşit uzaklıktaki doğrudur.
\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)
\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularına eşit uzaklıktaki \( d_3 \) doğrusunun denklemi:
\( d_3: ax + by + \dfrac{c_1 + c_2}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 7 = 0 \) ve \( 2x - y - 3 = 0 \) doğrularına eşit uzaklıktaki doğrunun denklemi:
\( 2x - y + \dfrac{7 + (-3)}{2} = 0 \)
\( 2x - y + 2 = 0 \)
Kesişen İki Doğru Arasındaki Açı
Kesişen iki doğru arasında oluşan \( \alpha \) açısının tanjant değeri, doğruların eğimleri cinsinden aşağıdaki formülle bulunur.
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru arasındaki açının tanjantı:
\( \tan{\alpha} = \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \)
\( y = 3x + 2 \) ve \( y = -x - 5 \) doğruları arasındaki açının tanjantı:
\( m_1 = 3, \quad m_2 = -1 \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{-1 - 3}{1 + (-1) \cdot 3} \)
\( = \dfrac{-4}{-2} = 2 \)
Buna göre iki doğru arasındaki açı tanjant değeri \( 2 \) olan açıdır.
İSPATI GÖSTER
İki Doğrunun Açıortay Denklemleri
Kesişen iki doğrunun açıortayı olan doğruların denklemleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( d_1: ax + by + c = 0 \)
\( d_2: dx + ey + f = 0 \)
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının açıortayı olan \( d_3 \) ve \( d_4 \) doğrularının denklemleri:
\( d_3: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = +\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_4: \dfrac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = -\dfrac{dx + ey + f}{\sqrt{d^2 + e^2}} \)
\( d_1: x - 3y - 5 = 0 \) ve \( d_2: 3x + y + 1 = 0 \) doğrularının açıortayı olan doğruların denklemleri:
1. açıortay doğrusu (\( d_3 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = +\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = 3x + y + 1 \)
\( d_3: x + 2y + 3 = 0 \)
2. açıortay doğrusu (\( d_4 \)):
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( \dfrac{x - 3y - 5}{\sqrt{10}} = -\dfrac{3x + y + 1}{\sqrt{10}} \)
\( x - 3y - 5 = -3x - y - 1 \)
\( d_4: 2x - y - 2 = 0 \)
\( A(1, m) \) noktasının \( 3x + 2y + 2 = 0 \) doğrusuna en yakın uzaklığı \( \sqrt{13} \text{ br} \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 8x - 6y + 3 = 0 \) doğrusundan 2 br uzaklıkta bulunan doğruların denklemlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Analitik düzlemde \( A(8, 6) \) noktasının \( B(-9, -13) \) ve \( C(-1, 3) \) noktaları ile aynı doğru üzerinde olabilmesi için yeri en az ne kadar değiştirilmelidir?
Çözümü Göster