Doğrunun Analitiği Formülleri

Bir nokta ve bir doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( \sqrt{13} = \dfrac{\abs{3(1) + 2(m) + 2}}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \)

\( \sqrt{13} = \dfrac{\abs{2m + 5}}{\sqrt{13}} \)

\( \abs{2m + 5} = 13 \)

Bu eşitliği sağlayan iki durum vardır.

\( 2m + 5 = 13 \Longrightarrow m = 4 \)

\( 2m + 5 = -13 \Longrightarrow m = -9 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 4 + (-9) = -5 \) olarak bulunur.

Verilen doğruya 2 birim uzaklıktaki doğrulara \( d_1 \) ve \( d_2 \) diyelim. Bu doğrular \( d \) doğrusuna sabit uzaklıkta bulunan doğrular oldukları için \( d \) doğrusuna paraleldir, dolayısıyla doğruların denklemlerinin \( a \) ve \( b \) katsayıları aynı, \( c \) katsayıları farklı olur.

Verilen doğrulara 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( 8x - 6y + c = 0 \)

İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( d = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( 2 = \dfrac{\abs{c - 3}}{\sqrt{8^2 + (-6)^2}} \)

\( \abs{c - 3} = 20 \)

Bu eşitliği sağlayan iki durum vardır.

\( c - 3 = 20 \Longrightarrow c = 23 \)

\( c - 3 = -20 \Longrightarrow c = -17 \)

Buna göre verilen doğruya 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemleri aşağıdaki gibi olur.

\( d_1: 8x - 6y + 23 = 0 \)

\( d_2: 8x - 6y - 17 = 0 \)

Öncelikle \( B \) ve \( C \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( \dfrac{y - 3}{x - (-1)} = \dfrac{3 - (-13)}{-1 - (-9)} \)

\( y - 3 = 2x + 2 \)

\( 2x - y + 5 = 0 \)

\( A \) noktasının diğer iki noktanın belirttiği doğru üzerinde olabilmesi için doğru ile arasındaki en kısa uzaklık kadar yer değiştirmelidir, bu da noktanın doğruya olan dik uzaklığına eşittir.

\( A \) noktasının doğruya dik uzaklığını bulalım.

\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 +c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( = \dfrac{\abs{2(8) - 6 + 5}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \)

\( = \dfrac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5} \) bulunur.

Karenin karşılıklı iki kenarı verilen iki doğru üzerinde bulunduğu için, doğrular arasındaki en kısa uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur.

Doğru denklemlerinin katsayılarının oranını inceleyelim.

\( \dfrac{2}{4} = \dfrac{-3}{-6} \ne \dfrac{4}{5} \)

\( x \) ve \( y \) katsayılarının oranı eşit, sabit terimlerin oranı bu orandan farklı olduğu için, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir.

İki doğru arasındaki en kısa (dik) uzaklık aşağıdaki formülle bulunur.

\( d_1: ax + by + c_1 = 0 \)

\( d_2: ax + by + c_2 = 0 \)

\( d = \dfrac{\abs{c_2 - c_1}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

Verilen doğru denklemlerindeki \( x \) ve \( y \) katsayılarını eşitlemek için \( d_1 \) denkleminin taraflarını 2 ile çarpalım.

\( d_1: 4x - 6y + 8 = 0 \)

\( d_2: 4x - 6y + 5 = 0 \)

İki doğru arasındaki uzaklığı bulalım.

\( \abs{AB} = \dfrac{\abs{5 - 8}}{\sqrt{4^2 + (-6)^2}} \)

\( = \dfrac{3}{\sqrt{52}} \)

Bulduğumuz değer karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

Karenin alanını bulalım.

\( A = (\dfrac{3}{\sqrt{52}})^2 \)

\( = \dfrac{9}{52} \) bulunur.

Karenin bir kenar uzunluğuna \( a \) birim diyelim.

\( \abs{OA} = \abs{AB} = a \)

\( B(a, a) \)

\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemini kullanalım.

\( \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1 \)

\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için bu doğru denklemini sağlar. Bu yüzden bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyalım.

\( \dfrac{a}{8} + \dfrac{a}{4} = 1 \)

\( a = \dfrac{8}{3} \)

Karenin alanını hesaplayalım.

\( A(OABC) = a^2 = \left( \dfrac{8}{3} \right)^2 = \dfrac{64}{9} \) birimkare bulunur.

\( [AB] \) doğru parçasının \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının ordinatları farkının mutlak değerine eşittir.

\( \abs{y_2 - y_1} = \abs{6 - 4} = 2 \)

\( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının apsisleri farkının mutlak değerine eşittir.

\( \abs{x_2 - x_1} = \abs{7 - 3} = 4 \)

İzdüşümlerin uzunluklarının toplamı \( 2 + 4 = 6 \) olarak bulunur.

\( A(3, 2) \) noktasının \( d \) doğrusuna en yakın noktası \( B(m, n) \) ise çizilecek \( [AB] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.

\( [AB] \) doğru parçası ile \( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğrusu dik kesiştiklerine göre bu doğruların eğimleri çarpımı -1 olur.

\( m_{AB} \cdot m_{d} = -1 \)

\( A \) ve \( B \) noktalarını kullanarak \( m_{AB} \) değerini hesaplayalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m_{AB} = \dfrac{n - 2}{m - 3} \)

\( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğru denkleminde \( y \) değerini yalnız bıraktığımızda \( x \)'in katsayısı \( m_{d} \) değerini verir.

\( 2x + 3y - 12 = 0 \)

\( y = -\dfrac{2}{3}x + 4 \)

\( m_{d} = -\dfrac{2}{3} \)

\( m_{AB} \cdot m_{d} = -1 \)

\( \dfrac{n - 2}{m - 3} \cdot (-\dfrac{2}{3}) = -1 \)

\( \dfrac{n - 2}{m - 3} = \dfrac{3}{2} \)

\( 2n - 4 = 3m - 9 \)

\( 3m - 2n - 5 = 0 \)

\( m \) ve \( n \) bilinmeyenlerini içeren ikinci bir denklem elde etmeye çalışalım.

\( B \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğu için koordinatları \( d \) doğrusunun denklemini sağlar.

\( 2m + 3n - 12 = 0 \)

Bulduğumuz iki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözelim.

\( (1) 3m - 2n - 5 = 0 \)

\( (2) 2m + 3n - 12 = 0 \)

Birinci denklemi 3 ile ikinci denklemi 2 ile genişletelim ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( (1) 9m - 6n - 15 = 0 \)

\( (2) 4m + 6n - 24 = 0 \)

\( 13m - 39 = 0 \)

\( m = 3 \)

Birinci denklemde \( m = 3 \) yazalım.

\( 3(3) - 2n - 5 = 0 \)

\( n = 2 \)

\( m + n = 3 + 2 = 5 \) bulunur.

Doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktaya \( A \), \( x \) eksenini kestiği noktaya \( B \) diyelim.

\( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusunun eksenleri hangi noktalarda kestiğini bulalım.

\( x = 0 \) verelim.

\( 0 + 2y - 12 = 0 \)

\( y = 6 \)

\( A(0, 6) \)

\( y = 0 \) verelim.

\( x + 2(0) - 12 = 0 \)

\( x = 12 \)

\( B(12, 0) \)

\( \abs{AB} \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım.

\( \abs{AB}^2 = \abs{AO}^2 + \abs{BO}^2 \)

\( \abs{AB}^2 = 6^2 + 12^2 \)

\( \abs{AB} = 6\sqrt{5} \)

\( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusunun orijine en yakın noktasını bulmak için orijinden doğruya bir dikme çizelim ve orijine en yakın noktaya \( C \) diyelim.

\( \abs{CO} \) uzunluğunu bulalım.

\( AOB \) dik üçgeninde alan bağıntısını yazalım.

\( \abs{AO} \cdot \abs{BO} = \abs{AB} \cdot \abs{CO} \)

\( 6 \cdot 12 = 6\sqrt{5} \cdot \abs{CO} \)

\( \abs{CO} = \dfrac{12\sqrt{5}}{5} \)

\( BCO \) dik üçgeninde \( C \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme indirelim ve dikmenin ekseni kestiği noktaya \( D \) diyelim.

\( BCO \) üçgeninde Öklid bağıntısını uygulayalım.

\( \abs{CO}^2 = \abs{OD} \cdot \abs{OB} \)

\( (\dfrac{12\sqrt{5}}{5})^2 = \abs{OD} \cdot 12 \)

\( \dfrac{144 \cdot 5}{25} = \abs{OD} \cdot 12 \)

\( \abs{OD} = \dfrac{12}{5} \)

Buna göre \( C \) noktasının apsisi \( \frac{12}{5} \) olur.

\( C \) noktası \( x + 2y - 12 = 0 \) doğrusu üzerinde olduğu için apsis değerini denklemde yerine yazdığımızda ordinat değerini buluruz.

\( \dfrac{12}{5} + 2y - 12 = 0 \)

\( y = \dfrac{24}{5} \)

\( C(\dfrac{12}{5}, \dfrac{24}{5}) \) bulunur.

\( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusu üzerindeki noktaya \( A \), apsisine \( n \) diyelim.

\( A \) noktasının ordinatını bulmak için doğru denklemini kullanalım.

\( 2n + y - 4 = 0 \)

\( y = 4 - 2n \)

\( A(n, 4 - 2n) \)

\( x - y + 1 = 0 \) doğrusunun \( A(n, 4 - 2n) \) noktasına olan uzaklığını bulmak için bir nokta ve doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( 3\sqrt{2} = \dfrac{\abs{1(n) + (-1)(4 - 2n) + 1}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \)

\( 3\sqrt{2} = \dfrac{\abs{n + 2n - 4 + 1}}{\sqrt{2}} \)

\( \abs{3n - 3} = 6 \)

\( \abs{n - 1} = 2 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

\( n - 1 = 2 \Longrightarrow n = 3 \)

\( n - 1 = -2 \Longrightarrow n = -1 \)

Bu iki değer için \( A(n, 4 - 2n) \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( n = -1 \) için: \( A(-1, 6) \)

\( n = 3 \) için: \( A(3, -2) \)

\( (2, 3) \) noktasına \( A \), \( (4, 5) \) noktasına \( B \), denklemi istenen doğruya \( d \) diyelim.

\( A(2, 3) \) noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.

\( B \) noktasının \( d \) doğrusuna en uzak mesafesini bulmak için, \( [AB] \) doğru parçasının \( d \) doğrusunu dik kestiği durumu bulmalıyız.

\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için \( [AB] \) doğru parçasını çizelim ve bu doğrunun eğimini bulalım.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{5 - 3}{4 - 2} = 1 \)

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1 olur.

\( m_{AB} \cdot m_d = -1 \)

\( m_d = -1 \)

\( d \) doğrusunun denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 3 = -1(x - 2) \)

\( y = -x + 5 \) bulunur.

Doğru denklemlerini kullanarak uzunluklara değer verelim.

\( \abs{OC} = a \) diyelim.

\( B \) noktasının apsisi \( C \) noktası ile aynı olduğundan \( B \) noktasının apsisi \( -a \) olur.

\( B \) köşesi \( y = -3x \) doğrusu üzerinde olduğu için bu denklemi kullanarak ordinat değerini bulalım.

\( y = -3x = -3(-a) = 3a \)

\( B(-a, 3a) \)

\( \abs{BC} = 3a \)

\( A \) ve \( B \) köşeleri aynı yatay doğru üzerinde olduğu için ordinat değerleri eşittir.

\( A \) köşesi \( y = -\frac{x}{5} \) doğrusu üzerinde olduğu için bu denklemi kullanarak apsis değerini bulalım.

\( 3a = -\dfrac{x}{5} \)

\( x = -15a \)

\( A(-15a, 3a) \)

\( D(-15a, 0) \)

\( \abs{OD} = 15a \)

\( \abs{DC} = \abs{AB} = 14a \)

Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.

\( A(ABCD) = \abs{AB} \cdot \abs{BC} \)

\( 168 = 14a \cdot 3a \)

\( 42a^2 = 168 \)

\( a^2 = 4 \)

\( a\)'yı uzunluk değeri olarak aldığımız için değeri pozitiftir.

\( a = 2 \)

\( A(-15a, 3a) = A(-30, 6) \)

\( A \) noktasının koordinatları toplamı \( -30 + 6 = -24 \) olarak bulunur.

\( [LM] \) kenarının orta noktasına \( N \) diyelim.

Orta nokta formülünü kullanarak \( N(x_0, y_0) \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)

\( = \dfrac{-5 + (-1)}{2} = -3 \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)

\( = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \)

\( N(-3, 2) \)

Kenarortay doğrusunun denklemini bulmak için iki noktası (\( K \) ve \( N \)) bilinen doğru denklemini kullanalım.

\( \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( \dfrac{y - 2}{x - (-3)} = \dfrac{2 - 5}{-3 - (-2)} \)

\( \dfrac{y - 2}{x + 3} = 3 \)

\( y = 3x + 11 \)

Bu doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktaya \( P(a, 0) \) diyelim.

\( P \) noktası kenarortay doğrusunun üzerinde olduğu için koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 0 = 3a + 11 \)

\( a = -\dfrac{11}{3} \)

\( P(a, 0) = P(-\dfrac{11}{3}, 0) \) bulunur.

\( KLMN \) dikdörtgeninin köşe noktalarının koordinatlarını doğru denklemlerini kullanarak bulalım.

\( y = x \) doğrusu üzerinde olan \( M \) köşesinin apsisine \( p \) diyelim.

\( M \) noktası \( y = x \) doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı da \( p \) olur.

\( L \) noktasının koordinatlarını yazalım.

\( L \) noktası \( x = p \) ve \( y = 3x \) doğruları üzerindedir.

\( L(p, 3p) \)

\( N \) noktasının koordinatlarını yazalım.

\( N \) noktası \( M \) noktası ile aynı \( y = p \) doğrusu ve aynı zamanda \( 2y = ax \) doğrusu üzerindedir.

\( 2p = ax \)

\( x = \dfrac{2p}{a} \)

\( N(\dfrac{2p}{a}, p) \)

\( K \) noktasının koordinatlarını yazalım.

\( K \) noktası \( N \) noktası ile aynı apsis, \( L \) noktası ile de aynı ordinata sahiptir.

\( 2y = bx \) doğrusu üzerinde olan \( K \) noktası için \( y = 3p \) ve \( x = \frac{2p}{a} \) yazalım.

\( 2(3p) = b \cdot \dfrac{2p}{a} \)

\( a \) ve \( b \) ifadelerini eşitliğin karşısına atıp yalnız bırakalım.

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

\( x \) ve \( y \) eksenleri \( K \) merkezli çembere teğet olduğuna göre, çemberin merkezine \( K(r, r) \) diyelim.

Çemberin \( x \) eksenine teğet olduğu noktaya \( C \), \( y \) eksenine teğet olduğu noktaya \( D \), \( [AB] \) doğrusuna teğet olduğu noktaya \( E \) diyelim.

\( AOB \) üçgeninin kenar uzunlukları ile \( K(r, r) \) noktasının koordinatlarını kullanarak doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.

\( \abs{DO} = r, \quad \abs{AD} = 7 - r \)

\( \abs{CO} = r, \quad \abs{BC} = 24 - r \)

Aynı noktadan bir çembere çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir.

\( \abs{AD} = \abs{AE} = 7 - r \)

\( \abs{BC} = \abs{BE} = 24 - r \)

\( AOB \) üçgeni 7-24-25 özel üçgeni olduğu için \( \abs{AB} = 25 \) olur.

\( \abs{AB} = 7 - r + 24 - r \)

\( 25 = 31 - 2r \)

\( r = 3 \)

\( K(r, r) = K(3, 3) \)

Dairenin alanını bulalım.

\( A = \pi r^2 = 9\pi \)

\( AOB \) üçgeninin alanını bulalım.

\( A(AOB) = \dfrac{\abs{AO} \cdot \abs{BO}}{2} \)

\( = \dfrac{7 \cdot 24}{2} = 84 \)

\( K \) merkezli dairenin alanının \( AOB \) üçgeninin alanına oranını bulalım.

\( \dfrac{9\pi}{84} = \dfrac{3\pi}{28} \) bulunur.

\( A \) ve \( B \) noktalarının \( y = -x \) doğrusu üzerindeki izdüşümlerine \( A' \) ve \( B' \) diyelim.

Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullanarak \( \abs{AA'} \) ve \( \abs{BB'} \) değerlerini bulalım.

\( A(x_1, y_1) \) noktasının \( d_1: ax + by + c = 0 \) doğrusuna uzaklığı aşağıdaki formülle bulunur.

\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

\( y = -x \) doğrusunun kapalı denklemini yazalım.

\( d: x + y = 0 \)

\( \abs{AA'} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{AA'} = \dfrac{\abs{1(-8) + 1(5) + 0}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)

\( = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \)

\( \abs{BB'} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{BB'} = \dfrac{\abs{1(-5) + 1(1) + 0}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)

\( = 2\sqrt{2} \)

\( A \) noktasından \( [BB'] \) doğrusuna bir dikme indirelim ve bu noktaya \( C \) diyelim.

\( [AC] \parallel [A'B'] \)

\( \abs{AA'} = \abs{CB'} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \)

\( \abs{BB'} = \abs{BC} + \abs{B'C} \)

\( \abs{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \abs{AB} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{AB}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)

\( = (-8 - (-5))^2 + (5 - 1)^2 \)

\( = (-8 + 5)^2 + (5 - 1)^2 \)

\( \abs{AB} = 5 \)

\( \abs{A'B'} = \abs{AC} = x \) diyelim.

\( ACB \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{AC}^2 + \abs{BC}^2 = \abs{AB}^2 \)

\( x^2 + (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 = 5^2 \)

\( x^2 + \dfrac{1}{2} = 25 \)

\( x = \dfrac{7\sqrt{2}}{2} \)

\( AA'B'B \) yamuğunun alanını hesaplayalım.

\( A(AA'B'B) = \dfrac{(\abs{AA'} + \abs{BB'}) \cdot \abs{A'B'}}{2} \)

\( = \dfrac{(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}) \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2}}{2} \)

\( = \dfrac{49}{4} \) bulunur.

\( L \) noktasının koordinatlarına \( L(a, b) \) diyelim.

\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktaya \( P \) diyelim.

\( d \) doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Doğru denkleminde \( y = 0 \) yazarak \( P \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( 0 - 3x + 3 = 0 \)

\( x = 1 \)

\( P(1, 0) \)

Doğru denkleminde \( x = 0 \) yazarak \( N \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( y - 3(0) + 3 = 0 \)

\( y = -3 \)

\( N(0, -3) \)

\( d \) doğrusu \( [MN] \) kenarı üzerinden geçtiğine göre \( m(\widehat{KNP}) = 90° \) olur.

\( KON \) ve \( NOP \) üçgenlerinin iç açılarını yazalım.

\( KON \) üçgeninde \( m(\widehat{OKN}) = \alpha \) ve \( m(\widehat{ONK}) = \beta \) diyelim.

\( \alpha + \beta = 90° \)

\( m(\widehat{KNP}) = 90° \) olduğuna göre, \( m(\widehat{ONP}) = \alpha \) ve \( m(\widehat{OPN}) = \beta \) olur.

\( L \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim ve ekseni kestiği noktaya \( R \) diyelim.

\( m(\widehat{LKN}) = 90° \) olduğuna göre, \( m(\widehat{RKL}) = \beta \) ve \( m(\widehat{RLK}) = \alpha \) olur.

\( ONP \) ve \( OKN \) üçgenleri iç açıları eşit olduğundan benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{OKN} \sim \overset{\triangle}{ONP} \)

Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.

\( \dfrac{\abs{ON}}{\abs{OP}} = \dfrac{\abs{OK}}{\abs{ON}} \)

\( \dfrac{3}{1} = \dfrac{\abs{OK}}{3} \)

\( \abs{OK} = 9 \)

\( L(a, b) \) olduğundan \( \abs{RL} = -b \), \( \abs{RK} = -a - 9 \) olur.

\( RLK \) ve \( OKN \) üçgenleri iç açıları eşit olduğundan benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{RLK} \sim \overset{\triangle}{OKN} \)

Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.

\( \dfrac{\abs{RL}}{\abs{OK}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)

\( [LK] \) ve \( [KN] \) aynı karenin iki kenarı olduğu için uzunlukları eşittir.

\( \abs{LK} = \abs{KN} \)

Üçgenler arasındaki benzerliği kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.

\( \dfrac{\abs{RL}}{\abs{OK}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)

\( \dfrac{-b}{9} = 1 \)

\( b = -9 \)

\( RLK \) ve \( OKN \) üçgenleri arasındaki benzerliği tekrar kullanarak \( \abs{RK} \) uzunluğunu bulalım.

\( \dfrac{\abs{RK}}{\abs{ON}} = \dfrac{\abs{LK}}{\abs{KN}} \)

\( \dfrac{-a - 9}{3} = 1 \)

\( a = -12 \)

\( L(-12, -9) \)

\( L \) noktasının koordinatları çarpımı \( -12 \cdot (-9) = 108 \) olarak bulunur.