Özdeş Nesnelerin Farklı Kutulara Dağıtımı

Sorudaki özdeş muzlar özdeş nesnelere, farklı maymunlar da muzların dağıtılacağı farklı kutulara karşılık gelmektedir.

Bu açıdan baktığımızda, problemi herhangi bir koşul olmaksızın özdeş nesnelerin farklı kutulara dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz ve ayraç yöntemini kullanabiliriz.

Buna göre, 10 özdeş muz 5 farklı maymuna $$ farklı şekilde dağıtılabilir.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ bulunur.

Banknotlar özdeş olduğu için baba ilk önce 3'er banknotu 3 çocuğuna 1 farklı şekilde verebilir.

Kalan $$ banknotun 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini bulalım.

Soruyu 23 özdeş nesnenin ($$) 3 farklı kutuya ($$) herhangi bir koşul olmaksızın dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Ayraç yöntemini kullanalım.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ bulunur.

Herkes en az bir kalem alacağına göre, Öykü ile Alkım'a da en az 1'er kalem verilecektir.

Önce herkese verilmesi gereken en az kalem sayılarını dağıtırsak geriye dağıtılacak $$ kalem kalır.

$$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın farklı dağıtım sayısı $$ formülü ile hesaplanır.

Bu örnekte kalemler özdeş nesnelere ($$), arkadaşlar da farklı kutulara ($$) karşılık gelir.

Farklı dağıtım sayısı $$

Buna göre kalemler dört arkadaşa belirtilen koşullar sağlanacak şekilde 20 farklı şekilde dağıtılabilir.

7 sayısını oluşturan 7 adet 1 rakamını dağıtılacak özdeş nesneler, $$ değişkenlerini de bu rakamların dağıtılacağı farklı kutular olarak düşünelim. $$ birer doğal sayı oldukları için 0 değeri de alabilirler, dolayısıyla problemi $$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Buna göre, örneğin $$ çözümü $$ kutusuna 2 nesne, $$ kutusuna 4 nesne, $$ kutusuna 0 nesne, $$ kutusuna 1 nesne dağıtılma durumuna karşılık gelir ve ayraç yöntemiyle kutuların sırası a, b, c, d olacak şekilde aşağıdaki gibi gösterilir.

* * \ * * * * \ \ *

Özdeş nesne sayısı $$ ve kutu sayısı $$ olacak şekilde ayraç yöntemi formülünü probleme uygulayalım. Bu formülle 7 özdeş nesne ve 3 özdeş ayracın tekrarlı permütasyon sayısını hesaplıyor oluyoruz.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ bulunur.

Her renkteki makarondan kutuya konacak adetlere sırayla $$ diyelim. Buna göre bu 5 değişkenin toplamı kutunun kapasitesi olan 8'e eşit olacaktır.

8 sayısını oluşturan 8 adet 1 sayısını dağıtılacak özdeş nesneler, $$ değişkenlerini de bu sayıların dağıtılacağı farklı kutular olarak düşünelim. Belirli bir renkteki makaron kutuda sıfır dahil herhangi bir sayıda bulunabileceği için problemi $$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Buna göre, örneğin $$ seçimi ayraç yöntemiyle kutuların sırası $$ olacak şekilde aşağıdaki gibi gösterilir.

* \ * * \ * * \ \ * * *

Özdeş nesne sayısı $$ ve kutu sayısı $$ olacak şekilde ayraç yöntemi formülünü probleme uygulayalım. Bu formülle 8 özdeş nesne ve 4 özdeş ayracın tekrarlı permütasyon sayısını hesaplıyor oluyoruz.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ bulunur.

Her çöp kutusuna en az 1 pet şişe atılacaksa özdeş şişelerden birer tanesini en başta çöp kutularına (1 farklı şekilde) attığımızı varsayalım ve işlemi geriye kalan $$ pet şişe için yapalım.

$$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın farklı dağıtım sayısı $$ formülü ile hesaplanır.

Bu örnekte pet şişeler özdeş nesnelere ($$), çöp kutuları da farklı kutulara ($$) karşılık gelir.

Farklı dağıtım sayısı $$

Her çöp kutusuna en fazla 4 şişe atılabilir. Her çöp kutusuna en başta 1 pet şişe atıldığı için kalan 4 pet şişenin 4'ü de aynı çöp kutusuna atılamaz.

Kalan 4 pet şişenin dördünün de aynı çöp kutusuna atıldığı (her çöp kutusu için bir tane olmak üzere) 5 durum vardır.

Buna göre istenen farklı durum sayısı $$ olarak bulunur.

Önce her çocuğa her boncuktan birer tane dağıtalım. Bu durumda geriye 1 mor, 2 siyah ve 3 beyaz boncuk kalır.

Geriye kalan bu boncuklar çocuklara herhangi bir koşul olmaksızın dağıtılabilir.

$$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın farklı dağıtım sayısı $$ formülü ile hesaplanır.

2 özdeş mor boncuğun 5 çocuğa farklı dağıtım sayısını bulalım.

3 özdeş siyah boncuğun 5 çocuğa farklı dağıtım sayısını bulalım.

4 özdeş beyaz boncuğun 5 çocuğa farklı dağıtım sayısını bulalım.

Toplam farklı dağıtım sayısı her renkteki bilyenin farklı dağıtım sayılarının çarpımına eşittir.

$$ bulunur.

Birbirinden farklı iki tip nesne (tütsü ve tütsü kayığı) dağıtılacağından ve birinin dağıtımı diğerini etkilemediğinden bu nesnelerin kaç farklı şekilde dağıtılacağını ayrı ayrı bulup iki sonucu çarpabiliriz.

Tütsülerin dağıtımı:

Her kutuya en az 4 tütsü konacağından $$ özdeş tütsü 5 kutuya 1 farklı şekilde konur.

Geriye kalan $$ özdeş tütsünün 5 farklı kutuya dağıtımını bulalım.

$$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın farklı dağıtım sayısı $$ formülü ile hesaplanır.

Farklı dağıtım sayısı $$

Tütsü kayıklarının dağılımı:

Her kutuya en az 1 tütsü kayığı konacağından $$ özdeş tütsü kayığı 5 kutuya 1 farklı şekilde konur.

Geriye kalan $$ özdeş tütsünün 5 farklı kutuya dağıtımını bulalım.

Farklı dağıtım sayısı $$

Tütsülerin farklı dağıtım sayısını tütsü kayıklarının farklı dağıtım sayısı ile çarptığımızda hediyelerin kaç farklı şekilde paketleneceğini buluruz.

$$ farklı paketleme yapılabilir.

Oluşturulacak 4 basamaklı sayıya $$ diyelim. Buna göre bu sayının basamakları toplamı 9'a eşit olmalıdır.

9 sayısını oluşturan 9 adet 1 sayısını dağıtılacak özdeş nesneler, $$ değişkenlerini de bu sayıların dağıtılacağı farklı kutular olarak düşünelim. Binler basamağı dışındaki basamaklara sıfır nesne dağılabileceği için problemi $$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya herhangi bir koşul olmaksızın dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Buna göre, örneğin $$ sayısı ayraç yöntemiyle aşağıdaki gibi gösterilir.

111 \ \ 1111 \ 11

Bu soruyu iki farklı yöntemle çözebiliriz.

1. yöntem:

Binler basamağında sıfır bulunma durumunu da dahil edersek özdeş nesne sayısı $$ ve kutu sayısı $$ olacak şekilde ayraç yöntemi formülünü probleme uygulayalım. Bu formülle 9 özdeş nesne ve 3 özdeş ayracın tekrarlı permütasyon sayısını hesaplıyor oluyoruz.

Farklı dağıtım sayısı $$

Ancak bu sonuç binler basamağı sıfır olan sayıları da içerir, dolayısıyla bu sonuçtan sıfır ile başlayan, yani rakamları toplamı yine 9 olan üç basamaklı sayıları çıkarmamız gerekir. Bu da 9 özdeş nesne ve 2 özdeş ayracın tekrarlı permütasyon sayısına eşittir.

Rakamları toplamı 9 olan 4 basamaklı farklı sayı adedi:

2. yöntem:

Binler basamak sıfır olamayacağı için $$ kutusuna en azından bir nesne dağılmalıdır. Bu bir nesneyi en baştan bu kutuya dağıttığımızı düşünelim.

Bu durumda özdeş nesne sayısı $$ ve kutu sayısı $$ olacak şekilde ayraç yöntemi formülünü probleme uygulayalım. Bu formülle 8 özdeş nesne ve 3 özdeş ayracın tekrarlı permütasyon sayısını hesaplıyor oluyoruz.

Farklı dağıtım sayısı $$

Soruda $$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $$ beşlisi olduğunu bulmamız isteniyor.

Negatif katsayıları pozitife çevirelim.

Eşitliğin iki tarafına 18 ekleyelim.

$$ ve $$ şeklinde değişken değiştirelim.

$$ ve $$ sayıları $$ ve $$ gibi birer rakam olur.

Her değişken 0 - 9 arasında değer alabileceği için soruyu 9 özdeş nesnenin ($$) 5 farklı kutuya ($$) herhangi bir koşul olmaksızın dağıtımı problemi olarak kurgulayabiliriz.

Bu kurguda nesneler 9 tane 1 sayısının her birine, kutular da katsayılara karşılık gelmektedir. Polinomun derecesi 4 ya da daha az olabileceği için herhangi bir kutuya/katsayıya sıfır nesne gelebilir.

Farklı dağıtım sayısı: $$

$$ bulunur.

Sorudaki özdeş oyuncaklar özdeş nesnelere, çocuklar da oyuncakların dağıtılacağı farklı kutulara karşılık gelmektedir.

4 özdeş oyuncak 6 çocuğa, 6 çocuk içinden 4 çocuğun farklı seçim sayısı kadar farklı şekilde dağıtılabilir.

Buna göre farklı dağıtım sayısı $$ olur.

Sorudaki beyaz piyonlar özdeş nesnelere, satranç tahtasının kareleri de (satır ve sütunları numaralandırılmış bir tahta olduğu varsayımıyla) özdeş nesnelerin dağıtılacağı farklı kutulara karşılık gelmektedir.

64 kare içinden 3 kare $$ farklı şekilde seçilebilir. 3 özdeş piyon seçilen 3 kareye her kareye bir piyon gelecek şekilde 1 şekilde yerleştirilebilir. Buna göre farklı dağıtım sayısı $$ olur.

Sorudaki özdeş muzlar özdeş nesnelere, maymunlar da muzların dağıtılacağı farklı kutulara karşılık gelmektedir.

Her maymuna en az bir muz dağıtılacağı belirtildiği için, problemi özdeş nesnelerin farklı kutulara her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Farklı dağıtım sayısı $$

Bu soruyu alternatif olarak şu şekilde de çözebiliriz: Her maymun en az 1 muz alacağı için önce 5 maymunun her birine 1'er muz verilir. Muzlar özdeş olduğu için bu dağıtım tek bir şekilde yapılabilir. Daha sonra kalan 5 muz yukarıdaki "Her Kutuda Herhangi Bir Sayıda Nesne" yöntemi ile 5 maymuna dağıtılır. O yöntemde kullandığımız formülü 5 özdeş muz ve 5 maymuna uygularsak aynı $$ sonucunu elde ederiz.

Sorudaki 100 TL'lik banknotlar özdeş nesnelere, banka hesapları da farklı kutulara karşılık gelmektedir.

Hesap açtırmak için her bankaya en az 100 TL yatırmak gerekeceği için problemi özdeş nesnelerin farklı kutulara her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ olur.

Bu sorunun çözümü açısından aşağıdaki iki ifadenin özdeş olduğunu gösterelim.

$$ olmak üzere,

İkinci ifadede $$ değişkenini sağ tarafa alalım.

$$ bir pozitif tam sayı olduğu için en küçük değeri 1 olabilir, dolayısıyla ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz.

Bu şekilde yukarıdaki iki ifadenin bu soru açısından özdeş ifadeler olduğunu göstermiş olduk.

Buna göre soruyu "aşağıdaki eşitliği sağlayan kaç $$ sıralı beşlisi vardır?" şeklinde yeniden tanımlayalım ve çözelim.

11 sayısını oluşturan 11 adet 1 rakamını dağıtılacak özdeş nesneler, $$ değişkenlerini de bu rakamların dağıtılacağı farklı kutular olarak düşünelim. $$ birer pozitif tam sayı oldukları için 0 değeri alamazlar, dolayısıyla problemi $$ özdeş nesnenin $$ farklı kutuya her kutuda en az bir nesne olacak şekilde dağıtım problemi olarak modelleyebiliriz.

Buna göre, örneğin $$ çözümü $$ kutusuna 2 nesne, $$ kutusuna 3 nesne, $$ kutusuna 1 nesne, $$ kutusuna 2 nesne, $$ kutusuna 3 nesne dağıtılma durumuna karşılık gelir ve ayraç yöntemiyle kutuların sırası a, b, c, d, e olacak şekilde aşağıdaki gibi gösterilir.

* * \ * * * \ * \ * * \ * * *

Özdeş nesne sayısı $$ ve kutu sayısı $$ olacak şekilde ayraç yöntemi formülünü probleme uygulayalım.

Farklı dağıtım sayısı $$

$$ bulunur.

Güller her öğretmen bir gül alacak şekilde dağıtılacağı için farklı dağıtım sayısı 1 olur.

Güller özdeş olduğu için, yapılacak dağıtımda iki öğretmenin aldığı güller aralarında değiştirilirse farklı bir dağıtım oluşmaz.