Basamak Sayısı
Üslü ifade şeklinde verilen sayıların basamak sayısı logaritma işlemi ile bulunabilir.
Sayı Birden Büyükse
Birden büyük bir tam sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayının 10 tabanında logaritması alınır, sonucun ondalık kısmı atılır ve tam sayı kısmına 1 eklenir.
\( \log{3} \approx 0,477 \) olmak üzere, \( 30^{30} \) sayısının kaç basamaklı olduğunu bulalım.
\( \log{30^{30}} = 30 \cdot \log{30} \) \( = 30 \cdot (\log{10} + \log{3}) \)
\( = 30 \cdot (1 + 0,477) = 44,31 \)
Bulduğumuz sayının ondalık kısmını atıp tam sayı kısmına 1 eklediğimizde sayının 45 basamaklı olduğunu buluruz.
Sayı Sıfır - Bir Aralığındaysa
Sıfır ve bir açık aralığındaki bir sayının ondalık gösteriminde virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların sayısını bulmak için sayının 10 tabanında logaritması alınır, elde edilen negatif sayının ondalık kısmı atılır ve mutlak değerine 1 eklenir.
\( \log{3} \approx 0,477 \) olmak üzere, \( 3^{-5} \) sayısının ondalık gösteriminde virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların sayısını bulalım.
\( \log{3^{-5}} = -5 \cdot \log{3} \)
\( = -5 \cdot 0,477 \) \( = -2,385 \)
Bulduğumuz sayının ondalık kısmını atıp mutlak değerine 1 eklersek sonucu \( \abs{-2} + 1 = 3 \) olarak buluruz.
Hesap makinesi ile de bu sonucu teyit edebiliriz.
\( 3^{-5} = 0,004115... \)
\( \log{2} = 0,30103 \) olduğuna göre,
\( 32^{20} \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster\( x = (32)^{20} = (2^5)^{20} = 2^{100} \)
\( x \)'in basamak sayısını bulmak için logaritmasını alalım.
\( \log{x} = \log{2^{100}} = 100\log{2} \)
\( = 100(0,30103) = 30,103 \)
Bulduğumuz sayının tam kısmı 30 olduğu için \( x = 32^{20} \) sayısı 31 basamaklıdır.
\( \log{7} = 0,8451 \) olduğuna göre,
\( 490^5 \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster\( x = (490)^5 = (10 \cdot 7^2)^5 = 10^5 \cdot 7^{10} \)
\( x \)'in basamak sayısını bulmak için logaritmasını alalım.
\( \log{x} = \log(10^5 \cdot 7^{10}) = \log{10^5} + \log{7^{10}} \)
\( = 5\log{10} + 10\log{7} \)
\( = 5 + 10(0,8451) \)
\( = 5 + 8,451 = 13,451 \)
Bulduğumuz sayının tam kısmı 13 olduğu için \( x = 490^5 \) sayısı 14 basamaklıdır.
\( \log{2} = 0,3010 \) ve \( \log{3} = 0,4771 \)
olduğuna göre, \( 24^{30} \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster\( x = 24^{30} = (2^3 \cdot 3)^{30} = 2^{90} \cdot 3^{30} \)
\( x \)'in basamak sayısını bulmak için logaritmasını alalım.
\( \log{x} = \log(2^{90} \cdot 3^{30}) \)
\( = \log{2^{90}} + \log{3^{30}} \)
\( = 90\log{2} + 30\log{3} \)
\( = 90(0,3010) + 30(0,4771) \)
\( = 27,09 + 14,313 = 41,403 \)
Bulduğumuz sayının tam kısmı 41 olduğu için \( x = 24^{30} \) sayısı 42 basamaklıdır.
\( 0,385 \lt \log{a} \lt 0,389 \) olduğuna göre, \( a^{30} \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü GösterEşitsizliğin taraflarının 10 tabanında üssünü alalım.
\( 10^{0,385} \lt 10^{\log{a}} \lt 10^{0,389} \)
\( 10^{0,385} \lt a \lt 10^{0,389} \)
Eşitsizliğin taraflarının 30. üssünü alalım.
\( 10^{0,385 \cdot 30} \lt a^{30} \lt 10^{0,389 \cdot 30} \)
\( 10^{11,55} \lt a^{30} \lt 10^{11,67} \)
Eşitsizliğin alt sınırının üssünü aşağı, üst sınırının üssünü yukarı yuvarlayarak \( a^{30} \) ifadesini daha geniş bir aralıkta yazalım.
\( 10^{11} \lt a^{30} \lt 10^{12} \)
\( 10^{11} \) 12 basamaklı en küçük, \( 10^{12} \) 13 basamaklı en küçük sayılardır.
Buna göre, \( a^{30} \) sayısı 12 basamaklıdır.