Doğal Logaritma
Tabanı \( e \) (Euler) sayısı olan (\( e = 2,7182... \)) logaritma fonksiyonuna doğal logaritma denir ve \( \ln{x} \) ile (LN) gösterilir.
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \ln{x} \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = e^x \)
\( \ln{x} = 5 \Longleftrightarrow x = e^5 \)
Doğal logaritma fonksiyonunda ayrıca taban belirtilmez. Aşağıdaki iki ifade özdeştir.
\( \ln{x} = \log_e{x} \)
Bazı doğal logaritma değerleri aşağıdaki gibidir:
\( \ln{1} = \ln{e^0} = 0 \)
\( \ln{e} = \ln{e^1} = 1 \)
\( \ln{e^5} = 5 \)
\( \ln{\frac{1}{e^3}} = -3 \)
\( \ln{\sqrt{e}} = \ln{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \)
\( \ln{e^5} - \ln{\sqrt[3]{e}} + \ln{\frac{1}{e^2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \ln{e^5} - \ln{\sqrt[3]{e}} + \ln{\frac{1}{e^2}} \)
Logaritma içlerini tabanın birer kuvveti biçiminde yazalım.
\( = \ln{e^5} - \ln{e^{\frac{1}{3}}} + \ln{e^{-2}} \)
Doğal logaritmanın tabanı \( e \)'dir.
\( = 5 - \dfrac{1}{3} + (-2) \)
\( = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( \ln(4x - 5) = 3 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterDoğal logaritmanın tabanı \( e \)'dir.
\( x \)'i yalnız bırakmak için verilen logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \ln(4x - 5) = 3 \Longleftrightarrow 4x - 5 = e^3 \)
\( 4x = e^3 + 5 \)
\( x = \dfrac{e^3 + 5}{4} \) bulunur.
\( \ln[3 - \log_3(x - 4)] = 0 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterDıştaki doğal logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.
\( 3 - \log_3(x - 4) = e^0 = 1 \)
\( \log_3(x - 4) = 3 - 1 = 2 \)
Logaritma ifadesini üstel ifadeye çevirelim.
\( x - 4 = 3^2 = 9 \)
\( x = 13 \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ 13 \} \)
\( \ln{\dfrac{4a + 9}{3a - 2}} = 0 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4a + 9}{3a - 2} = e^0 = 1 \)
\( 4a + 9 = 3a - 2 \)
\( a = -11 \) bulunur.
Aşağıdaki ifadelerdeki değişken değerini bulunuz.
(a) \( e^{x + 1} = 20 \)
(b) \( 5e^{2y} + 2 = 37 \)
(c) \( 2e^{2p - 2} = 12 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( e^{x + 1} = 20 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( x + 1 = \ln{20} \)
\( x = \ln{20} - 1 \)
(b) seçeneği:
\( 5e^{2y} + 2 = 37 \)
\( 5e^{2y} = 35 \)
\( e^{2y} = 7 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 2y = \ln{7} \)
\( y = \dfrac{\ln{7}}{2} \)
(c) seçeneği:
\( 2e^{2p - 2} = 12 \)
\( e^{2p - 2} = 6 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 2p - 2 = \ln{6} \)
\( 2p = \ln{6} + 2 \)
\( p = \dfrac{\ln{6} + 2}{2} \)
Aşağıdaki ifadelerdeki değişken değerini bulunuz.
(a) \( 1 - 4e^{-4t} = -19 \)
(b) \( \dfrac{6 + 2e^{3k}}{8} = 12 \)
(c) \( 7e^{3z + 2} + 2 = 51 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 1 - 4e^{-4t} = -19 \)
\( 4e^{-4t} = 20 \)
\( e^{-4t} = 5 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( -4t = \ln{5} \)
\( t = -\dfrac{\ln{5}}{4} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{6 + 2e^{3k}}{8} = 12 \)
\( 6 + 2e^{3k} = 96 \)
\( e^{3k} = 45 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 3k = \ln{45} \)
\( k = \dfrac{\ln{45}}{3} \)
(c) seçeneği:
\( 7e^{3z + 2} + 2 = 51 \)
\( 7e^{3z + 2} = 49 \)
\( e^{3z + 2} = 7 \)
Üstel ifadeyi logaritma ifadesi şeklinde yazalım.
\( 3z + 2 = \ln{7} \)
\( 3z = \ln{7} - 2 \)
\( z = \dfrac{\ln{7} - 2}{3} \)
Aşağıdaki ifadelerdeki değişken değerini bulunuz.
(a) \( 2\ln(3x + 1) + 5 = 9 \)
(b) \( \dfrac{\ln(3y + 6)}{3} = 1 \)
(c) \( \ln(2z - 5) - 2 = 4 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2\ln(3x + 1) + 5 = 9 \)
\( \ln(3x + 1) = 2 \)
\( 3x + 1 = e^2 \)
\( x = \dfrac{e^2 - 1}{3} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{\ln(3y + 6)}{3} = 1 \)
\( \ln(3y + 6) = 3 \)
\( 3y + 6 = e^3 \)
\( y = \dfrac{e^3 - 6}{3} \)
(c) seçeneği:
\( \ln(2z - 5) - 2 = 4 \)
\( \ln(2z - 5) = 6 \)
\( 2z - 5 = e^6 \)
\( z = \dfrac{e^6 + 5}{2} \)
Aşağıda verilen eşitlikteki \( x \) değişkenini doğal logaritma cinsinden yazınız.
\( e^x \cdot 7^e = 7 \)
Çözümü Göster\( e^x = \dfrac{7}{7^e} \)
\( e^x = 7^{1 - e} \)
Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^x} = \ln{7^{1 - e}} \)
\( x = (1 - e)\ln{7} \) bulunur.
Aşağıda verilen eşitlikteki \( x \) değişkenini doğal logaritma cinsinden yazınız.
\( \dfrac{e^x}{3^x} = e \)
Çözümü Göster\( e^x = e3^x \)
\( \dfrac{e^x}{e} = 3^x \)
\( e^{x - 1} = 3^x \)
Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^{x - 1}} = \ln{3^x} \)
\( x - 1 = x\ln{3} \)
\( x - x\ln{3} = 1 \)
\( x(1 - \ln{3}) = 1 \)
\( x = \dfrac{1}{1 - \ln{3}} \) bulunur.
Aşağıda verilen eşitlikteki \( x \) değişkenini doğal logaritma cinsinden yazınız.
\( 4 \cdot 5^x = 5 \cdot e^{-x} \)
Çözümü GösterEşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln(4 \cdot 5^x) = \ln(5 \cdot e^{-x}) \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \ln{4} + \ln{5^x} = \ln{5} + \ln{e^{-x}} \)
\( \ln{4} + x\ln{5} = \ln{5} - x \)
\( x + x\ln{5} = \ln{5} - \ln{4} \)
\( x(1 + \ln{5}) = \ln{5} - \ln{4} \)
\( x = \dfrac{\ln{5} - \ln{4}}{1 + \ln{5}} \) bulunur.
Aşağıda verilen eşitlikteki \( x \) değişkenini doğal logaritma cinsinden yazınız.
\( 5^xe^{2x + 3} = 8 \)
Çözümü GösterEşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım.
\( \ln(5^xe^{2x + 3}) = \ln{8} \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( \ln{5^x} + \ln{e^{2x + 3}} = \ln{8} \)
\( x\ln{5} + 2x + 3 = \ln{8} \)
\( x\ln{5} + 2x = \ln{8} - 3 \)
\( x(\ln{5} + 2) = \ln{8} - 3 \)
\( x = \dfrac{\ln{8} - 3}{\ln{5} + 2} \) bulunur.
\( f(x) = \ln(mx - n) \)
\( f \) fonksiyonu \( A(3, \ln{5}) \) ve \( B(2, \ln{12}) \) noktalarından geçtiğine göre, \( m + n \) toplamını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon bu iki noktadan geçiyorsa noktaların koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.
\( A(3, \ln{5}) \) noktası için:
\( f(3) = \ln(m(3) - n) \)
\( \ln{5} = \ln(3m - n) \)
Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.
\( 3m - n = 5 \)
\( B(2, \ln{12}) \) noktası için:
\( f(2) = \ln(m(2) - n) \)
\( \ln{12} = \ln(2m - n) \)
\( 2m - n = 12 \)
Bulduğumuz iki denklemi ortak çözersek aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( m = -7 \)
\( n = -26 \)
Buna göre \( m + n = -7 + (-26) = -33 \) olarak bulunur.
\( \sqrt{1 - 2 \ln{3} + \ln{3} \cdot \ln{3}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster\( \ln{3} = t \) diyelim.
\( \sqrt{1 - 2t + t^2} = \sqrt{(1 - t)^2} \)
\( = \abs{1 - t} = \abs{1 - \ln{3}} \)
\( e = 2,718... \) ve \( 3 \gt e \) olduğu için \( \ln{3} \gt 1 \) olur. Buna göre elde ettiğimiz ifade mutlak değer içinden negatif olarak çıkar.
\( \abs{1 - \ln{3}} = -(1 - \ln{3}) = \ln{3} - 1 \) bulunur.
\( f(e^x + 3) = x + 2 \) ise \( f(x) \) nedir?
Çözümü Göster\( g(x) = e^x + 3 \) fonksiyonunun tersini verilen fonksiyonda \( x \) yerine koyarak \( f(x) \)'i bulabiliriz.
\( g(x) \) fonksiyonunun tersini bulmak için \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( y = e^x + 3 \)
\( y - 3 = e^x \)
\( \ln(y - 3) = \ln{e^x} \)
\( \ln(y - 3) = x \)
Elde ettiğimiz ifade \( g \) fonksiyonunun tersidir.
\( g^{-1}(x) = \ln(x - 3) \)
Soruda verilen ifadede \( x \) yerine \( \ln(x - 3) \) yazdığımızda \( f(x) \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( f(e^x + 3) = x + 2 \)
\( f(e^{\ln(x - 3)} + 3) = \ln(x - 3) + 2 \)
\( f((x - 3) + 3) = \ln(x - 3) + 2 \)
\( f(x) = \ln(x - 3) + 2 \) bulunur.