Logaritma Uygulamaları
Bu bölümde logaritma uygulamalarına bazı örnekler vereceğiz.
Bir patlama sonucunda ortaya çıkan enerji miktarı aşağıdaki formülle hesaplanır:
\( B = 0,1 \cdot \log(2E) + 2,4 \)
\( B \): Patlamanın büyüklüğü
\( E \): Ortaya çıkan enerji miktarı (kWh)
Buna göre 4,4 büyüklüğünde bir patlamada ortaya çıkan enerji miktarı kaç kWh'dır?
Çözümü Göster\( B = 0,1 \cdot \log(2E) + 2,4 \)
Bilgileri formülde yerine koyalım.
\( 4,4 = 0,1 \cdot \log(2E) + 2,4 \)
\( 2,0 = 0,1 \cdot \log(2E) \)
\( 20 = \log(2E) \)
\( 2E = 10^{20} \)
\( E = 5 \cdot 10^{19} \) kWh olarak bulunur.
Deprem şiddeti Richter ölçeği ile hesaplanır. Richter ölçeğinin formülü aşağıdaki gibidir:
\( R = \log{\dfrac{I}{I_0}} \)
\( R \): Richter ölçeği
\( I \): Depremin şiddeti
\( I_0 \): Depremin sıfır seviyesindeki şiddeti
Buna göre, Richter ölçeğine göre 7 şiddetindeki bir depremin şiddeti, Richter ölçeğine göre 3 şiddetindeki bir depremin şiddetinin kaç katıdır?
Çözümü GösterHer iki durumdaki deprem şiddetinin (\( I \)) oranını bulalım.
Richter ölçeğine göre 7 şiddetindeki bir depremin şiddetine \( I_7 \) diyelim.
\( 7 = \log{\dfrac{I_7}{I_0}} \)
\( 7 = \log{I_7} - \log{I_0} \)
Richter ölçeğine göre 3 şiddetindeki bir depremin şiddetine \( I_3 \) diyelim.
\( 3 = \log{\dfrac{I_3}{I_0}} \)
\( 3 = \log{I_3} - \log{I_0} \)
İkinci denklemi birinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.
\( 4 = \log{I_7} - \log{I_3} \)
\( 4 = \log{\dfrac{I_7}{I_3}} \)
\( \dfrac{I_7}{I_3} = 10^4 \)
\( \dfrac{I_7}{I_3} = 10000 \)
Buna göre, Richter ölçeğine göre 7 şiddetindeki bir depremin şiddeti, 3 şiddetindeki bir depremin şiddetinin 10000 katıdır.
İnsan kulağının işitebileceği en düşük ses seviyesi \( I_0 = 10^{-12} \) Watt/m2'dir.
Ses şiddetinin desibel (dB) cinsinden değeri aşağıdaki formülle bulunur.
\( L = 10 \cdot \log{\dfrac{I}{I_0}} \)
\( L \): Ses kaynağının desibel cinsinden şiddeti
\( I \): Ses kaynağının Watt/m2 cinsinden şiddeti
Bir arabadan çıkan korna sesi 140 dB olarak hesaplanmıştır. Buna göre arabanın korna sesinin şiddeti kaç Watt/m2'dir?
Çözümü Göster\( L = 10 \cdot \log{\dfrac{I}{I_0}} \)
Bilgileri formülde yerine koyalım.
\( 140 = 10 \cdot \log{\dfrac{I}{10^{-12}}} \)
\( 14 = \log{\dfrac{I}{10^{-12}}} \)
\( \dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{14} \)
\( I = 10^{14} \cdot 10^{-12} \)
\( = 10^{2} = 100 \) Watt/m2 olarak bulunur.
Bir çözeltinin \( H^+ \) molar derişiminin negatif logaritmasına çözeltinin pH'si, \( OH^– \) molar derişiminin negatif logaritmasına çözeltinin pOH'si denir.
Bir çözeltinin pH değeri aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( pH = -\log{H^+} \)
\( H^+ \): Çözeltideki mol/lt cinsinden hidrojen konsantrasyonu
Bir çözeltinin pH ve pOH değerleri arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( pH + pOH = 14 \)
Buna göre, \( H^+ \) konsantrasyonu \( 0,00032 \) mol/lt olan bir çözeltinin pOH değeri kaçtır? (\( \log{2} \approx 0,3 \))
Çözümü GösterÇözeltinin pH değerini bulalım.
\( pH = -\log{H^+} = -\log{0,00032} \)
\( = -\log(32 \cdot 10^{-5}) \)
\( = -(\log{2^5} + \log{10^{-5}}) \)
\( = -5\log{2} - (-5)\log{10} \)
\( = -5(0,3) + 5 = 3,5 \)
\( pH + pOH = 14 \)
\( pOH = 10,5 \) bulunur.
Karbon 14 yöntemi, yaklaşık 50.000 yıl içerisinde var olmuş canlı veya nesnelerin yaşını hesaplamakta kullanılır.
\( x = -5730 \cdot \dfrac{\log{y}}{\log{2}} \)
\( x \): Nesnenin yaşı
\( y \): Karbon 14 miktarının tüm karbon miktarına oranı
Bir kazı sırasında ortaya çıkarılan bir heykelin %20 oranında karbon 14 içerdiği saptanmıştır.
Buna göre bu heykelin yaşı kaçtır? (\( \log{2} \approx 0,3 \))
Çözümü Göster\( x = -5730 \cdot \dfrac{\log{y}}{\log{2}} \)
Verilen \( y = \frac{20}{100}\) değerini formülde yerine koyalım.
\( = -5730 \cdot \dfrac{\log{\frac{20}{100}}}{\log{2}} \)
\( = -5730 \cdot \dfrac{\log{\frac{2}{10}}}{\log{2}} \)
\( = -5730 \cdot \dfrac{\log{2} - \log{10}}{\log{2}} \)
\( = -5730 \cdot \dfrac{0,3 - 1}{0,3} \)
\( = 5730 \cdot \dfrac{7}{3} = 13370 \) yaşında bulunur.