Çarpanlara ayırma bir cebirsel ifadenin ya da sayının kendisini oluşturan daha basit bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Çarpanlara ayırma matematiğin hemen her konusunda karşımıza çıktığı için iyi düzeyde anlaşılması ve işlem becerisine sahip olunması oldukça önemlidir.
Bir ifadeyi farklı amaçlarla çarpanlarına ayırmak isteyebiliriz.
Bir rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki ortak çarpanları belirlemek ve ifadeyi sadeleştirmek
Bir denklemin ya da eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
Bir cebirsel ifadeyi sıfır yapan değerleri bulmak
Fonksiyonların \( x \) ekseni ile ya da birbiri ile kesişim noktalarını bulmak
Bir rasyonel fonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak
Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemler aşağıdaki gibidir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir ifadenin her teriminde ortak bazı çarpanlar bulunuyorsa ifadeyi bu çarpanların parantezine alabiliriz. Ortak çarpanlar birer sayı (2, 5 gibi), değişken (\( x, y \) gibi) ya da ikisinin çarpımı (\( 2x^2y \) gibi) şeklinde ifadeler olabilir. Bu işlem için terimlerin katsayılarını ve değişkenlerini indirgenebilecek en temel çarpanları bazında düşünmemiz gerekir.
Çarpanlarına ayırma işleminde öncelikle bu yönteme başvurulmalıdır, bu şekilde ortak çarpanları sadeleşmiş ifadeye diğer yöntemlerin uygulanması daha kolay olacaktır.
Değeri verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için eşitliğin iki tarafına 1 ekleyelim.
\( x + xy + y + 1 = 91 \)
İlk iki terimi \( x \) parantezine alalım.
\( x(1 + y) + y + 1 = 91 \)
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( x(y + 1) + (y + 1) = 91 \)
Eşitliğin sol tarafını \( y + 1 \) parantezine alalım.
\( (x + 1)(y + 1) = 91 \)
\( x \) ve \( y \) pozitif tam sayılar olduğu için \( x + 1 \) ve \( y + 1 \) de pozitif tam sayılardır.
Eşitliğin sağ tarafını çarpanlarına ayırdığımızda 91'in iki asal sayının çarpımı olduğunu görürüz.
\( (x + 1)(y + 1) = 7 \cdot 13 \)
\( x + 1 \) ve \( y + 1 \) ifadeleri 1 ve 91 olamazlar, çünkü bu durumda \( x \) ya da \( y \)'nin sıfır olması gerekir. Buna göre bu iki ifade sadece 7 ve 13 olabilir.
Hangi ifadenin 7 hangisinin 13 olduğu sonucu değiştirmeyeceği için seçimi rastgele yapalım.
İfadenin bütünü ya da bir kısmı standart özdeşliklerin açılımlarından birine uyuyorsa ya da benzetilebiliyorsa ifade o özdeşliğin kapalı formuna çevrilebilir.
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırmakta kullanabileceğimiz yöntemi önümüzdeki bölümde detaylandıracağız.
Üç terimli ifadeler genellikle \( ax^2 + bx + c \) şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli polinomlar şeklinde karşımıza çıksa da, bu yöntemi aşağıda örnekleri verilen başka üç terimli ifadelerde de kullanabiliriz.
Üç Terimli İfade
Çarpanlar
\( x^6 + 2x^3 - 15 \)
\( (x^3 + 5)(x^3 - 3) \)
\( 2x^2 - 3xy - 2y^2 \)
\( (2x + y)(x - 2y) \)
\( \tan^2{x} - \tan{x} - 6 \)
\( (\tan{x} + 2)(\tan{x} - 3) \)
Polinom Bölmesi
çarpan teoremine göre, bir \( a \) değeri bir polinomu sıfır yapıyorsa \( x - a \) ifadesi bu polinomun bir çarpanıdır. Böyle bir durumda başka bir yöntemle polinomu çarpanlarına ayıramıyorsak polinom bölmesi yöntemiyle polinomu \( (x - a) \) çarpanına bölerek polinomun diğer çarpanını bulabilir ve bu daha düşük dereceli polinomu çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz.
ÖRNEK:
\( P(x) = 6x^3 - 5x^2 - 3x + 2 \)
Diğer yöntemlerle polinomu çarpanlarına ayıramadığımızı varsayalım.
\( P(1) = 6(1)^3 - 5(1)^2 - 3(1) + 2 = 0 \)
\( x = 1 \) verdiğimizde polinom değeri 0 olduğu için çarpan teoremine göre \( (x - 1) \) polinomun bir çarpanıdır.
\( P(x) = (x - 1) \cdot Q(x) \)
Polinom bölmesi ile polinomun diğer çarpanını bulalım.
\( P(x) = (x - 1)(6x^2 + x - 2) \)
2. dereceden diğer çarpanı daha kolay şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
Çarpanlarına ayırmak istediğimiz ifade tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom ise rasyonel kök teoremini kullanarak polinomun köklerinden rasyonel olanlar için polinomun çarpanlarını bulabiliriz.