Rasyonel Kök Teoremi
Konu tekrarı için: Sayı Kümeleri
Rasyonel kök teoremi (diğer adıyla rasyonel sıfır teoremi) bir polinom denkleminin rasyonel, yani reel olup irrasyonel olmayan köklerini bulmamıza yardımcı olan bir yöntemdir. Bu yöntemi kullanabilmemizin ön koşulu, polinomun tek değişkenli ve tüm katsayılarının birer tam sayı olmasıdır.
\( P(x) \) tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom olmak üzere,
\( P(x) = 0 \) denkleminin en sade şekliyle yazılmış \( x = \frac{p}{q} \) rasyonel sayı köklerinin her biri aşağıdaki iki koşulu sağlar:
(1) \( p \) polinomun sabit teriminin pozitif ya da negatif bir tam bölenidir.
(2) \( q \) polinomun başkatsayısının pozitif ya da negatif bir tam bölenidir.
Bu teoremin bir sonucu olarak, yukarıdaki koşulları sağlayan bir polinomun başkatsayısı 1 ise denklemin tüm rasyonel kökleri birer tam sayı olur.
Bu teoremi örnek bir polinom denklemi üzerinden detaylandıralım ve aşağıdaki denklemin rasyonel köklerini bulalım.
\( P(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x - 4 = 0 \)
Adım 1: Polinomun sabit teriminin pozitif ve negatif tam bölenleri bulunur. Bu sayılar \( p \) değerleridir.
\( P(x) \) polinomunun sabit terimi olan \( -4 \)'ün pozitif ve negatif tam bölenlerini bulalım.
\( p: \{\pm 1, \pm 2, \pm 4\} \)
Adım 2: Polinomun başkatsayısının pozitif ve negatif tam bölenleri bulunur. Bu sayılar \( q \) değerleridir.
\( P(x) \) polinomunun başkatsayısı olan \( 2 \)'nin pozitif ve negatif tam bölenlerini bulalım.
\( q: \{\pm 1, \pm 2\} \)
Adım 3: Bu iki listedeki sayıları kullanarak oluşturulabilecek tüm \( \frac{p}{q} \) sayıları listelenir.
Tüm \( \frac{p}{q} \) değerlerini bulalım.
\( \dfrac{p}{q}: \{\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{4}{2}\} \)
Adım 4: Bu sayıların pay ve paydaları en sade hallerine getirilir ve tekrar eden sayılar listeden çıkarılır. Kalan sayılar denklemin olası rasyonel kök değerleridir.
Bu sayıların en sade hallerini bularak tekrar eden sayıları listeden çıkaralım.
\( \dfrac{p}{q}: \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}\} \)
Elde ettiğimiz bu 8 değer denklemin olası rasyonel kök değerleridir.
Bulduğumuz bu değerlerin her biri denklemin bir kökü olmayabilir, ancak denklemin tüm rasyonel köklerinin bu listede olduğundan emin olabiliriz. Bu değerlerden hangilerinin denklemin bir kökü olduğunu değerleri denklemde yerine koyarak bulabiliriz.
Adım 5: Bu değerler sırayla \( x \) yerine konarak polinomu sıfır yapıp yapmadıkları kontrol edilir. Bir \( \frac{p}{q} \) değeri polinomu sıfır yapıyorsa denklemin bir köküdür, dolayısıyla \( (x - \frac{p}{q}) \) polinomun bir çarpanıdır. Polinomu sıfır yapmayan değerler denklemin bir kökü değildir.
Bulduğumuz 8 olası kök değerinden hangilerinin polinomu sıfır yaptığını kontrol edelim.
\( P(1) = 2(1)^3 + 7(1)^2 - 5(1) - 4 = 0 \)
\( P(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 - 5(-1) - 4 = 6 \)
\( P(2) = 2(2)^3 + 7(2)^2 - 5(2) - 4 = 30 \)
\( P(-2) = 2(-2)^3 + 7(-2)^2 - 5(-2) - 4 = 18 \)
\( P(4) = 2(4)^3 + 7(4)^2 - 5(4) - 4 = 216 \)
\( P(-4) = 2(-4)^3 + 7(-4)^2 - 5(-4) - 4 = 0 \)
\( P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + 7(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) - 4 = -\frac{9}{2} \)
\( P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + 7(-\frac{1}{2})^2 - 5(-\frac{1}{2}) - 4 = 0 \)
Bu değerlerden \( \{1, -4, -\frac{1}{2}\} \) polinomu sıfır yapmaktadır, dolayısıyla denklemin birer köküdür. 3. dereceden bir polinom denkleminin reel ya da karmaşık 3 kökü olabileceği için denklemin tüm köklerini bulduğumuzu söyleyebiliriz.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( P(x) = (x + 4)(2x + 1)(x - 1) \)
Rasyonel kök teoreminin uygulamasını göstermek için bir örnek yapalım.
\( P(x) = x^5 + 4x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 6 \)
\( P(x) = 0 \) polinom denkleminin rasyonel köklerini bulalım.
Rasyonel kök teoremine göre, bir polinom denkleminin tüm rasyonel kökleri (\( p \) polinomun sabit teriminin bir tam böleni ve \( q \) polinomun başkatsayısının bir tam böleni olmak üzere) \( \frac{p}{q} \) şeklinde yazılabilir.
Polinomun sabit teriminin tam bölenleri:
\( p: \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} \)
Polinomun başkatsayısının tam bölenleri:
\( q: \{\pm 1\} \)
Tüm \(\frac{p}{q}\) değerleri:
\( \dfrac{p}{q}: \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\} \)
Bu 8 değerin tümü denklemin birer kökü olmayabilir, ancak denklemin tüm rasyonel kökleri bu listededir.
Bu 8 olası kök değerinden hangilerinin polinomu sıfır yaptığını kontrol edelim.
\( P(1) = (1)^5 + 4(1)^4 + 2(1)^3 - 2(1)^2 + (1) - 6 = 0 \)
\( P(-1) = (-1)^5 + 4(-1)^4 + 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) - 6 = -8 \)
\( P(2) = (2)^5 + 4(2)^4 + 2(2)^3 - 2(2)^2 + (2) - 6 = 100 \)
\( P(-2) = (-2)^5 + 4(-2)^4 + 2(-2)^3 - 2(-2)^2 + (-2) - 6 = 0 \)
\( P(3) = (3)^5 + 4(3)^4 + 2(3)^3 - 2(3)^2 + (3) - 6 = 600 \)
\( P(-3) = (-3)^5 + 4(-3)^4 + 2(-3)^3 - 2(-3)^2 + (-3) - 6 = 0 \)
\( P(6) = (6)^5 + 4(6)^4 + 2(6)^3 - 2(6)^2 + (6) - 6 = 13320 \)
\( P(-6) = (-6)^5 + 4(-6)^4 + 2(-6)^3 - 2(-6)^2 + (-6) - 6 = -3108 \)
Bu değerlerden \( \{ 1, -2, -3 \} \) polinomu sıfır yapmaktadır, dolayısıyla denklemin birer köküdür. 5. dereceden bir polinom denkleminin reel ya da karmaşık 5 kökü olabileceği için denklemin rasyonel olmayan iki kökü daha vardır.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( P(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 1)(ax^2 + bx + x) \)
Bir polinom denkleminin rasyonel (\( 1, \frac{1}{2} \)), irrasyonel (\( \sqrt{2} \)) ya da karmaşık sayı (\( 1 \pm 2i \)) kökleri olabilir. Rasyonel kök teoremi bir denklemin sadece rasyonel köklerini verir, ancak bir denklemin rasyonel köklerini kullanarak çarpanlarına ayırdıktan sonra elimizde daha düşük dereceli bir denklem kalacağı için, bu yöntem diğer irrasyonel ve karmaşık kökleri bulmamızı kolaylaştırabilir.
Bir polinom denklemi için bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesine eşitse denklemin tüm köklerini bulmuş ve polinomu tüm çarpanlarına ayırmış oluruz. Bulduğumuz köklerin sayısı polinomun derecesinden düşükse polinomu bulduğumuz çarpanlara polinom bölmesi ile bölerek daha düşük dereceli bir polinom elde edebiliriz.
Yukarıdaki örnekte bulduğumuz rasyonel kökleri kullanarak çarpanlarına ayırdığımız polinoma polinom bölmesi uygulayalım.
\( P(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 1)(ax^2 + bx + x) \)
Polinomu \( (x + 3)(x + 2)(x - 1) \) çarpanlarından oluşan polinoma polinom bölmesi ile böldüğümüzde bölüm olarak \( x^2 + 1 \) buluruz.
\( P(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 1)(x^2 + 1) \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun bulduğumuz üç rasyonel kökü dışında iki de karmaşık kökü olduğunu bulmuş ve polinomu tüm çarpanlarına ayırmış olduk.
Rasyonel kök teoremi uygulaması pratik bir yöntem olsa da, öncelikle verilen polinomu standart çarpanlara ayırma yöntemleri ile çarpanlarına ayırmayı denemeliyiz. Örneğin polinomun sabit terimi yoksa tüm terimler \( x \) parantezine alınarak \( x = 0 \) bir kök olarak belirlenebilir.
\( P(x) = 13x^6 + 6x^5 - 7x^4 - 52x^2 - 24x + 28 \)
polinomunu rasyonel kök teoremini kullanarak çarpanlarına ayıralım.
Rasyonel kök teoremi ile polinomu sıfır yapan rasyonel değerleri bulalım.
Polinomun sabit teriminin tam bölenleri:
\( p: \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28\} \)
Polinomun başkatsayısının tam bölenleri:
\( q: \{\pm 1, \pm 13\} \)
Tüm \(\frac{p}{q}\) değerleri:
\( \dfrac{p}{q}: \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \) \( \pm 14, \pm 28, \pm \frac{1}{13}, \pm \frac{2}{13}, \) \( \pm \frac{4}{13}, \pm \frac{7}{13}, \pm \frac{14}{13}, \pm \frac{28}{13}\} \)
Bu 24 olası kök değerinden hangilerinin polinomu sıfır yaptığını kontrol ettiğimizde sadece \( \{-1, \frac{7}{13}\} \) değerlerinin polinomu sıfır yaptığını buluruz.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( P(x) = (x + 1)(13x - 7)(ax^4 + bx^3 + \ldots) \)
Polinomu \( (x + 1)(13x - 7) \) çarpanlarından oluşan polinoma polinom bölmesi ile böldüğümüzde bölüm olarak \( x^4 - 4 \) buluruz.
\( = (x + 1)(13x - 7)(x^4 - 4) \)
Bu bölüm polinomunu kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayırabiliriz.
\( = (x + 1)(13x - 7)(x^2 - 2)(x^2 + 2) \)
\( = (x + 1)(13x - 7)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2) \)
Buna göre polinomun rasyonel kök teoremi ile bulduğumuz iki kökü dışında iki irrasyonel kökü ve iki karmaşık kökü vardır.
Bir polinom denkleminin tüm rasyonel köklerini bulan rasyonel kök teoreminin \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \) gibi kök değerlerini bulmuyor olmasını bu sayıların irrasyonel olduğunun bir ispatı olarak gösterebiliriz.
13. dereceden ve katsayıları tam sayı olan bir polinom denkleminin başkatsayısı 2 ve sabit terimi -41 olduğuna göre, bu denklemin en fazla kaç farklı rasyonel kökü olabilir?
Çözümü GösterVerilen bilgilere göre polinomun tanımı aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = 2x^{13} + \ldots - 41 \)
Rasyonel kök teoremine göre, bir polinom denkleminin tüm rasyonel kökleri (\( p \) polinomun sabit teriminin bir tam böleni ve \( q \) polinomun başkatsayısının bir tam böleni olmak üzere) \( \frac{p}{q} \) şeklinde yazılabilir.
Polinomun sabit teriminin tam bölenleri:
\( p: \{ \pm 1, \pm 41 \} \)
Polinomun başkatsayısının tam bölenleri:
\( q: \{ \pm 1, \pm 2 \} \)
Tüm \( \frac{p}{q} \) değerleri:
\( \dfrac{p}{q}: \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 41, \pm \frac{41}{2} \} \)
Bu 8 değerin tümü denklemin birer kökü olmayabilir, ancak denklemin tüm rasyonel kökleri bu listededir. Dolayısıyla polinom denkleminin en fazla 8 farklı rasyonel kökü olabilir.
\( P(x) = x^7 + ax^4 + bx^2 - 15 \)
Aşağıdaki \( x \) değerlerinden hangisi \( a \) ve \( b \)'nin hiçbir tam sayı değeri için \( P(x) \) polinomunu sıfır yapmaz?
(a) -5 (b) -3 (c) 1 (d) 9 (e) 15
Çözümü GösterRasyonel kök teoremine göre, bir polinom denkleminin tüm rasyonel kökleri (\( p \) polinomun sabit teriminin bir tam böleni ve \( q \) polinomun başkatsayısının bir tam böleni olmak üzere) \( \frac{p}{q} \) şeklinde yazılabilir.
Polinomun sabit teriminin tam bölenleri:
\( p: \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\} \)
Polinomun başkatsayısının tam bölenleri:
\( q: \{\pm 1\} \)
Tüm \( \frac{p}{q} \) değerleri:
\( \dfrac{p}{q}: \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\} \)
Tam sayı \( a \) ve \( b \) değerlerinden bağımsız olarak \( P(x) \) polinomunu sıfır yapan rasyonel sayı değerler her zaman bu 8 değerden biri olur.
Buna göre 9 değeri hiçbir tam sayı \( a \) ve \( b \) değeri için polinomu sıfır yapmaz.
Katsayıları tam sayı olan \( P(x) \) polinomunun başkatsayısı ve sabit terimi aralarında asaldır.
Bu polinomun sıfırlarından biri \( \frac{3}{2} \) olduğuna göre, başkatsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(a) -8 (b) 10 (c) 14 (d) 26 (e) 30
Çözümü GösterRasyonel kök teoremine göre, bir polinom denkleminin tüm rasyonel kökleri (\( p \) polinomun sabit teriminin bir tam böleni ve \( q \) polinomun başkatsayısının bir tam böleni olmak üzere) \( \frac{p}{q} \) şeklinde yazılabilir.
\( P(x) \) polinomunun sıfırlarından biri \( \frac{3}{2} \) ise polinomun sabit terimi 3 çarpanını, başkatsayısı da 2 çarpanını içermelidir.
Ayrıca başkatsayı ve sabit terim aralarında asal oldukları için sabit terim 2 çarpanını, başkatsayı da 3 çarpanını içermemelidir.
30 sayısı 2 çarpanını içermekle birlikte 3 çarpanını da içerdiği için polinomun başkatsayısı olamaz.