Parametrik Denklemlerin Türevi

Önce değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{ds} = 3\sin^2{s}\cos{s} \)

\( \dfrac{dy}{ds} = -3\cos^2{s}\sin{s} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/ds}{dx/ds} \)

\( = \dfrac{-3\cos^2{s}\sin{s}}{3\sin^2{s}\cos{s}} \)

\( = -\cot{s} \) bulunur.

Denklemleri düzenleyelim.

\( x(t) = \dfrac{t^{-2}}{2} + t^{-3} \)

\( y(t) = \dfrac{t^{-2}}{2} - t^{-3} \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{(-2) \cdot t^{-3}}{2} + (-3) \cdot t^{-4} \)

\( = -t^{-3} - 3t^{-4} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{(-2) \cdot t^{-3}}{2} - (-3) \cdot t^{-4} \)

\( = -t^{-3} + 3t^{-4} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-t^{-3} + 3t^{-4}}{-t^{-3} - 3t^{-4}} \)

\( = \dfrac{-t^{-4}(t - 3)}{-t^{-4}(t + 3)} \)

\( = \dfrac{t - 3}{t + 3} \) bulunur.

\( x \) parametresine bağlı iki fonksiyondan \( u \)'nun \( v \)'ye göre türevi, bu fonksiyonların \( x \)'e göre türevlerinin oranına eşittir.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( u \)'nın \( x \)'e göre türevini bulalım.

\( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(\tan{x})'}{\tan{x}} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)

\( = \dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( v \)'nin \( x \)'e göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{(\cos{x})'}{2\sqrt{\cos{x}}} \)

\( = -\dfrac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}}{-\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}} \)

\( = -\dfrac{2}{\sin^2{x}\sqrt{\cos{x}}} \)

\( = -\dfrac{2\csc^2{x}}{\sqrt{\cos{x}}} \) bulunur.

\( x \) değişkenine bağlı iki değişken tanımlayalım.

\( u = x^5, \quad v = x^2 \)

Elde ettiğimiz denklem \( x \) değişkenine bağlı \( u \) ve \( v \) değişkenlerinden oluşan bir parametrik denklemdir.

Soruda parametrik denklemin \( u \) değişkeninin \( v \) değişkenine göre türevi istenmektedir. Bu türev \( \frac{du}{dv} \) şeklinde ifade edilir.

Parametrik denklemlerin türev formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

Değişkenlerin \( x \)'e göre türevini alalım.

\( \dfrac{du}{dx} = 5x^4 \)

\( \dfrac{dv}{dx} = 2x \)

Buna göre istenen türevi aşağıdaki şekilde buluruz.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{5x^4}{2x} = \dfrac{5x^3}{2} \)

\( y^2 \) ve \( x^2 \) ifadelerini parametrik denklem şeklinde tanımlayalım.

\( y^2 = u, \quad x^2 = v \)

\( \dfrac{d(y^2)}{d(x^2)} = \dfrac{du}{dv} \)

\( x \) parametresine bağlı iki fonksiyondan \( u \)'nun \( v \)'ye göre türevi, bu fonksiyonların \( x \)'e göre türevlerinin oranına eşittir.

\( = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{d(y^2)}{dx} \)

\( = \dfrac{d(y^2)}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)

\( = 2y \cdot (3^{x^3} \cdot 3x^2 \cdot \ln{3}) \)

\( y = 3^{x^3} \) yazalım.

\( = 2 \cdot 3^{x^3} \cdot 3^{x^3} \cdot 3x^2 \cdot \ln{3} \)

\( = 6x^2 \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3} \)

\( \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(x^2)}{dx} \)

\( = 2x \)

\( \dfrac{d(y^2)}{d(x^2)} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( = \dfrac{6x^2 \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3}}{2x} \)

\( = 3x \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3} \) bulunur.

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre birinci türevi, \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ifadesi ise ikinci türevidir.

Bir parametrik denklemin birinci türevi aşağıdaki formülle alınır.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt} (t^2 + 2t)}{\frac{d}{dt} (3t + 2)} \)

\( = \dfrac{2t + 2}{3} = \dfrac{2t}{3} + \dfrac{2}{3} \)

Bir parametrik denklemin ikinci türevi aşağıdaki formülle alınır.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{2t}{3} + \frac{2}{3})}{\frac{d}{dt} (3t + 2)} \)

\( = \dfrac{\frac{2}{3}}{3} = \dfrac{2}{9} \) bulunur.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{t} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = 18t^2 \)

Değişkenlerin birbirine göre birinci türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{18t^2}{\frac{1}{t}} = 18t^3 \)

Değişkenlerin birbirine göre ikinci türevini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt} (18t^3)}{\frac{d}{dt} (\ln{t})} = \dfrac{54t^2}{\frac{1}{t}} = 54t^3 \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 432 \) eşitliğini sağlayan \( t \) değerini bulalım.

\( 54t^3 = 432 \)

\( t^3 = 8 \)

\( t = 2 \)

Eğri üzerinde \( t = 2 \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(2) = \ln{2} \)

\( y(2) = 6(2)^3 = 48 \)

\( A \) noktasının koordinatları \( A(\ln{2}, 48) \) olarak bulunur.

Bir parametrik eğriye bir noktada çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olması için o noktada \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevi sıfır olmalıdır.

\( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt} = 0 \)

Bu türev formülünün sıfır olabilmesi için \( \frac{dx}{dt} = 0 \) ve \( \frac{dy}{dt} \ne 0 \) olmalıdır.

\( \dfrac{dx}{dt} = 0 \)

\( -2t + 2 = 0 \)

\( t = 1 \)

Bu değerin \( \frac{dy}{dt} \) ifadesin sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( \dfrac{dy}{dt} = -3t^2 + 8 \)

\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=1} = -3(1)^2 + 8 = 5 \)

Buna göre \( t = 1 \) değerindeki noktada eğriye çizilen teğet \( y \) eksenine paralel olur.

\( t = 1 \) için \( (x, y) \) koordinatlarını bulalım.

\( x(1) = -1^2 + 2(1) + 3 = 4 \)

\( y(1) = -1^3 + 8(1) = 7 \)

Eğriye çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olduğu nokta \( t = 1 \) değerindeki \( (4, 7) \) noktasıdır.

Parametrik eğrinin grafiği ve bu noktada çizilen teğet aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{(1 + 2t)'}{1 + 2t} = \dfrac{2}{2t + 1} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{(1 - 2t)'}{1 - 2t} = \dfrac{2}{2t - 1} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{\frac{2}{2t - 1}}{\frac{2}{2t + 1}} = \dfrac{2t + 1}{2t - 1} \)

Bulduğumuz türev ifadesini eğim değeri olan -3'e eşitleyelim.

\( \dfrac{2t + 1}{2t - 1} = -3 \)

\( 2t + 1 = -6t + 3 \)

\( 8t = 2 \)

\( t = \dfrac{1}{4} \)

Buna göre eğri üzerinde \( t = \frac{1}{4} \) değerindeki noktada eğim -3 olur.

Bu \( t \) değerini parametrik denklemde yerine koyarak eğimin -3 olduğu noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(\frac{1}{4}) = \ln(1 + 2(\frac{1}{4})) = \ln{\frac{3}{2}} \)

\( y(\frac{1}{4}) = \ln(1 - 2(\frac{1}{4})) = \ln{\frac{1}{2}} \)

İstenen noktanın koordinatları \( (\ln{\frac{3}{2}}, \ln{\frac{1}{2}}) \) olarak bulunur.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{dt} = 0, \quad \dfrac{dx}{dt} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = 3t^2 \)

\( \dfrac{dy}{dt} = 6t + 3 \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{6t + 3}{3t^2} = \dfrac{2t + 1}{t^2} \)

\( = \dfrac{2}{t} + \dfrac{1}{t^2} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{2t + 1}{t^2} = 0 \)

\( t = -\dfrac{1}{2} \)

Bulduğumuz \( t \) değerinda payda sıfırdan farklı olduğu için eğrinin \( t = -\frac{1}{2} \) değerinde durağan noktası vardır.

Parametrik denklemin ikinci türevini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2})}{\frac{d}{dt} (t^3 - 5)} \)

\( = \dfrac{-\frac{2}{t^2} - \frac{2}{t^3}}{3t^2} \)

\( = -\dfrac{2}{3t^4} - \dfrac{2}{3t^5} \)

Durağan noktadaki ikinci türev değerini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2}|_{t = -\frac{1}{2}} = -\dfrac{2}{3(-\frac{1}{2})^4} - \dfrac{2}{3(-\frac{1}{2})^5} \)

\( = \dfrac{32}{3} \) bulunur.

Verilen \( x(t) \) ve \( y(t) \) denklemleri cismin \( t \) anındaki \( x \) ve \( y \) koordinatlarını vermektedir.

Bu denklemlerin türevi cismin \( x \) ve \( y \) eksenleri boyunca olan hızlarını verir.

Cismin tamamen durması demek yatay ve dikey hızlarının ikisinin birlikte sıfıra eşit olması demektir.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dy}{dt} = 0 \)

Her iki eksen boyunca hız denklemlerini bulalım.

\( x'(t) = v_x(t) = 4t^3 - 4t \)

\( y'(t) = v_y(t) = 2t - 2 \)

Bu denklemleri ayrı ayrı sıfıra eşitleyelim.

\( v_x(t) = 4t^3 - 4t = 0 \)

\( t(t + 1)(t - 1) = 0 \)

Buna göre cismin \( t = -1 \), \( t = 0 \) ve \( t = 1 \) anlarında \( x \) ekseni boyunca (yatay) hızı sıfır olur.

\( v_y(t) = 2t - 2 = 0 \)

\( t - 1 = 0 \)

Buna göre cismin \( t = 1 \) anında \( y \) ekseni boyunca (dikey) hızı sıfır olur.

Hem yatay hem dikey hızların sıfır olduğu, yani cismin tamamen durduğu zaman \( t = 1 \) anıdır.

Cismin \( t = 1 \) anındaki konumunu bulalım.

\( x(1) = 1^4 - 2(1)^2 = -1 \)

\( y(1) = 1^2 - 2(1) = -1 \)

Buna göre cisim \( (-1, -1) \) noktasında tamamen durur.

Eğriye \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktada çizilen teğet doğrunun eğimine \( m_t \), aynı noktadaki normal doğrunun eğimine \( m_n \) diyelim.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{d\theta} = -2\sin(2\theta) \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = -2\cos(2\theta) \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)

\( = \dfrac{-2\cos(2\theta)}{-2\sin(2\theta)} = \dfrac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) yazarak eğriye bu noktada çizilen teğet doğrunun eğimini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{\theta = \frac{\pi}{8}} = \dfrac{\cos{\frac{2\pi}{8}}}{\sin{\frac{2\pi}{8}}} \)

\( = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 = m_t \)

Eğri üzerinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(\dfrac{\pi}{8}) = \cos{\dfrac{2\pi}{8}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( y(\dfrac{\pi}{8}) = 1 - \sin{\dfrac{2\pi}{8}} = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Buna göre eğri üzerinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatları \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) olur ve eğriye bu noktada çizilen teğet doğrunun eğimi \( m_t = 1 \) olur.

Bir noktadaki teğet ve normal doğrular birbirine dik olduğu için eğimlerinin çarpımı -1 olur.

\( m_t \cdot m_n = -1 \)

\( 1 \cdot m_n = -1 \Longrightarrow m_n = -1 \)

\( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) noktasından geçen ve eğimi \( -1 \) olan doğrunun denklemini bulalım.

\( y - y_1 = m_n(x - x_1) \)

\( y - (1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = -1(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}) \)

\( y - 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( y = -x + 1 \) bulunur.

Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{d\theta} = 2 + \sin{\theta} \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = \cos{\theta} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)

\( = \dfrac{\cos{\theta}}{2 + \sin{\theta}} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{\cos{\theta}}{2 + \sin{\theta}} = 0 \)

\( \cos{\theta} = 0 \)

\( 2 + \sin{\theta} \ne 0 \)

\( \cos{\theta} \) ifadesi \( [0, 2\pi] \) aralığında \( \theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde sıfır olur. Her iki değerde de paydadaki \( 2 + \sin{\theta} \) ifadesi sıfırdan farklı olur.

Buna göre eğrinin \( \theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde durağan noktaları vardır.

Bu \( \theta \) değerlerindeki \( (x(\theta), y(\theta)) \) noktalarını bulalım.

\( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \cos{\frac{\pi}{2}} = \pi \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{\pi}{2}} = 2 \)

\( \theta = \dfrac{3\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{2} - \cos{\frac{3\pi}{2}} = 3\pi \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{3\pi}{2}} = 0 \)

Buna göre eğrinin durağan noktalarının kartezyen koordinatları aşağıdaki gibi bulunur.

\( (x, y) = \{(\pi, 2), (3\pi, 0)\} \)

Önce eğriye \( A \) noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulalım.

Eğrinin hangi \( t \) değerinde \( (4, -3) \) noktasından geçtiğini bulalım.

\( x(t) = t^2 = 4 \Longrightarrow t = \pm 2 \)

\( y(t) = \dfrac{6}{t} = -3 \Longrightarrow t = -2 \)

Ortak değer \( t = -2 \) olduğu için eğri bu \( t \) değerinde \( A \) noktasından geçer.

Teğet doğrunun eğimini bulmak için parametrik denklemin türevini bulalım.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = 2t \)

\( \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{6}{t^2} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-\frac{6}{t^2}}{2t} = -\dfrac{3}{t^3} \)

\( t = -2 \) değerindeki türev değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{t = -2} = -\dfrac{3}{(-2)^3} = \dfrac{3}{8} \)

Buna göre parametrik eğriye \( A \) noktasındaki teğet doğrunun eğimi \( \frac{3}{8} \) olarak bulunur.

\( A(4, -3) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{3}{8} \) olan doğrunun denklemini bulalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-3)) = \dfrac{3}{8}(x - 4) \)

\( 8y + 24 = 3x - 12 \)

\( 3x - 8y - 36 = 0 \)

İkinci adımda teğet doğru ile eğrinin tüm kesişim noktalarını bulalım.

Teğet doğrunun \( C \) eğrisi ile \( t \)'nin hangi değerlerinde kesiştiğini bulmak için parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (t^2, \frac{6}{t}) \) sıralı ikilisini doğru denkleminde yerine koyalım.

\( 3x - 8y - 36 = 0 \)

\( 3t^2 - 8 \cdot \dfrac{6}{t} - 36 = 0 \)

\( 3t^3 - 48 - 36t = 0 \)

\( t^3 - 12t - 16 = 0 \)

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (t + 2)^2(t - 4) = 0 \)

Doğrunun parametrik eğriye \( t = -2 \) değerinde teğet olduğunu biliyoruz.

Buna göre doğru eğriyi tekrar \( t = 4 \) değerinde keser.

Eğri üzerinde \( t = 4 \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(4) = 4^2 = 16 \)

\( y(4) = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \)

Teğet doğrunun eğriyi tekrar kestiği noktanın kartezyen koordinatları \( (16, \frac{3}{2}) \) olarak bulunur.

Aşağıdaki şekilde \( C \) eğrisiyle \( 3x - 8y - 36 = 0 \) doğrusunun kesişim noktaları gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

İlk olarak eğrinin yatay durağan noktalarını bulalım.

Bir parametrik denklemin yatay durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, yatay durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{dt} = 0, \quad \dfrac{dx}{dt} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \cos(t + \frac{\pi}{6}) \)

\( \dfrac{dy}{dt} = -2\sin(2t) \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-2\sin(2t)}{\cos(t + \frac{\pi}{6})} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{-2\sin(2t)}{\cos(t + \frac{\pi}{6})} = 0 \)

\( -2\sin(2t) = 0, \quad \cos(t + \frac{\pi}{6}) \ne 0 \)

\( \sin(2t) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde sıfır olur. 4 değerde de paydadaki \( \cos(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi sıfırdan farklı olur.

Buna göre eğrinin \( t \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde yatay durağan noktaları vardır.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = 0 \) için:

\( x(0) = \sin(0 + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

\( y(0) = 1 + \cos{0} = 2 \)

\( (\frac{1}{2}, 2) \) noktası I. bölgede olduğu için bu nokta \( D \) noktasıdır.

\( t = \frac{\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = 1 + \cos{\pi} = 0 \)

\( (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) noktası \( x \) ekseni üzerinde ve pozitif tarafta olduğu için bu nokta \( B \) noktasıdır.

\( t = \pi \) için:

\( x(\pi) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

\( y(\pi) = 1 + \cos(2\pi) = 2 \)

\( (-\frac{1}{2}, 2) \) noktası II. bölgede olduğu için bu nokta \( C \) noktasıdır.

\( t = \frac{3\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 1 + \cos(3\pi) = 0 \)

\( (-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) noktası \( x \) ekseni üzerinde ve negatif tarafta olduğu için bu nokta \( A \) noktasıdır.

İkinci adımda eğrinin dikey durağan noktalarını bulalım.

Bir parametrik denklemin dikey durağan noktaları \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dx}{dy} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, dikey durağan noktalar \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dx}{dt} = 0, \quad \dfrac{dy}{dt} \ne 0 \)

\( \cos(t + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( t + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)

\( t = \dfrac{\pi}{3} + \pi k \)

\( \cos(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\} \) değerlerinde sıfır olur.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = \dfrac{\pi}{3} \) için:

\( x(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = 1 \)

\( y(\frac{\pi}{3}) = 1 + \cos{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2} \)

\( (1, \frac{1}{2}) \) noktası I. bölgede olduğu için bu nokta \( F \) noktasıdır.

\( t = \dfrac{4\pi}{3} \) için:

\( x(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = -1 \)

\( y(\frac{4\pi}{3}) = 1 + \cos{\frac{8\pi}{3}} = \frac{1}{2} \)

\( (-1, \frac{1}{2}) \) noktası II. bölgede olduğu için bu nokta \( E \) noktasıdır.

Üçüncü adımda \( G \) noktasının koordinatlarını bulmak için apsisi sıfır olan noktaları bulalım.

\( x(t) = \sin(t + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( t + \dfrac{\pi}{6} = \pi k \)

\( t = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k \)

\( \sin(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \) değerlerinde sıfır olur.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = \dfrac{5\pi}{6} \) için:

\( x(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( y(\frac{5\pi}{6}) = 1 + \cos{\frac{5\pi}{3}} = \frac{3}{2} \)

\( (0, \frac{3}{2}) \) noktası \( y \) ekseni üzerinde ve pozitif tarafta olduğu için bu nokta \( G \) noktasıdır.

Bulduğumuz tüm noktaların kartezyen koordinatları \( t \) değerleri ile birlikte aşağıdaki grafikte işaretlenmiştir.