Bir fonksiyonun grafiğinde incelenmesi gereken önemli noktalardan ikisi durağan ve kritik noktalardır.
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu iç noktalara durağan nokta denir.
Durağan noktalar iki tipte olabilir.
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu iç noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
Bir fonksiyonun durağan noktasının olmaması için fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan bir reel sayı
Bu ikinci dereceden fonksiyonun sıfır değerini almaması için grafiği
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda (sıfır ve sonsuz dahil) durağan noktası olabilir. Örneğin aşağıda soldaki fonksiyonun hiçbir durağan noktası yokken sağdaki periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda durağan noktası vardır.
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta birinci türevinin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalara kritik nokta denir. Bu tanıma göre her durağan nokta aynı zamanda bir kritik noktadır, ancak her kritik nokta bir durağan nokta değildir.
Yukarıdaki şekilde farklı tipteki kritik noktalar gösterilmiştir.
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda (sıfır ve sonsuz dahil) kritik noktası olabilir. Yukarıda durağan noktalar için paylaştığımız örneklere ek olarak, aşağıda soldaki fonksiyonun hiçbir kritik noktası yokken sağdaki periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda kritik noktası vardır.
Bir fonksiyonun kritik noktalarının bulunması, fonksiyonun grafiğinin çiziminde ve maksimum - minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümünde önemli bir adımdır.
NOT: Farklı kaynaklarda durağan ve kritik noktaların fonksiyonun iç ya da sınır noktası olabilecek şekilde tanımlandığı görülebilir. Biz burada her iki nokta tipi için de tanımı iç noktalarla sınırlı tutuyoruz.
Aşağıdaki fonksiyonların tanımlı oldukları en geniş aralıktaki durağan noktalarını bulunuz.
(a)
(b)
(c)
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
(a) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
(b) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Buna göre
(c) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Buna göre
Aşağıdaki fonksiyonların tanımlı oldukları en geniş aralıktaki kritik noktalarını bulunuz.
(a)
(b)
(c)
Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevi sıfır ya da tanımsız olan noktalara kritik nokta denir.
(a) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
(b) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
(c) seçeneği:
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Durağan noktaları bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevi sıfır ya da tanımsız olan noktalara kritik nokta denir.
Buna göre
Durağan noktalar:
Kritik noktalar:
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Durağan noktaları bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevi sıfır ya da tanımsız olan noktalara kritik nokta denir.
Durağan noktalar:
Kritik noktalar:
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
Durağan noktaları bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevi sıfır ya da tanımsız olan noktalara kritik nokta denir.
Buna göre
Türev fonksiyonunu tanımsız yapan değerleri bulmak için paydayı sıfıra eşitleyelim.
Durağan noktalar:
Kritik noktalar: