Yaş Problemleri

Fatma'nın bugünkü yaşına \( x \) diyelim.

Fatma'nın 6 yıl sonraki yaşı bugünkü yaşının 4 eksiğinin 3 katıdır.

\( x + 6 = 3(x - 4) \)

\( x + 6 = 3x - 12 \)

\( 2x = 18 \)

\( x = 9 \)

Buna göre Fatma bugün 9 yaşındadır.

Ahmet 18 yaşında olduğuna göre, \( 2a + 21 \) yaşına gelmesi için \( 2a + 21 - 18 = 2a + 3 \) yıl geçmesi gerekir.

\( 2a + 3 \) yıl geçtiğinde Selenay \( a + (2a + 3) = 3a + 3 \) yaşında olur.

\( x \) yıl sonra teyzesinin yaşının Burcu'nun yaşının 3 katı olduğunu varsayalım.

\( x \) yıl sonra Burcu \( 12 + x \), teyzesi \( 54 + x \) yaşında olur.

\( 3(12 + x) = 54 + x \)

\( 36 + 3x = 54 + x \)

\( x = 9 \)

Buna göre \( n = 2020 + 9 = 2029 \) yılında teyzesinin yaşı Burcu'nun yaşının 3 katı olur.

Elif'in Serdar'ın yaşına gelmesi için aradan \( \frac{68 - 44}{2} = 12 \) yıl geçmesi gerekmektedir, yani Serdar Elif'ten 12 yaş büyüktür.

Elif'in bugünkü yaşına \( x \) diyelim. Serdar'ın bugünkü yaşı \( x + 12 \) olur.

\( x + (x + 12) = 44 \)

\( 2x + 12 = 44 \)

\( 2x = 32 \)

\( x = 16 \)

Buna göre Elif bugün 16 yaşındadır.

2020 yılında Erkan'ın yaşına \( x \), Mustafa'nın yaşına \( 3x \) diyelim.

Buna göre doğum yılları \( 2020 - x \) ve \( 2020 - 3x \) olur.

\( 2020 - x + 2020 - 3x = 3996 \)

\( x = 11 \)

2024 yılında Mustafa \( x + 4 \), Erkan \( 3x + 4 \) yaşında olur.

2024 yılındaki yaşlarının toplamını bulalım.

\( x + 4 + 3x + 4 = 4x + 8 \)

\( = 4 \cdot 11 + 8 = 52 \) bulunur.

2008 yılında Ufuk'un yaşına \( x \), annesinin yaşına \( 6x \) diyelim.

Buna göre, Ufuk'un doğum yılı \( 2008 - x \), annesinin doğum yılı \( 2008 - 6x \) olur.

Ufuk ve annesinin doğum yılları toplamı 3981'dir.

\( 2008 - x + 2008 - 6x = 3981 \)

\( 7x = 4016 - 3981 \)

\( x = 5 \)

Buna göre Ufuk'un doğum yılı \( 2008 - 5 = 2003 \) yılıdır.

Ufuk \( 2003 + 40 = 2043 \) yılında 40 yaşında olur.

Gruptaki kişi sayısına \( x \) diyelim.

Yaşlar toplamı = Kişi sayısı x Yaş ortalaması

Buna göre grubun 12 yıl önceki yaşlar toplamı \( 10x \) olur.

Bugün gruptaki herkesin yaşı 12 yıl artmış olur.

Bugünkü yaşlar toplamı = \( (10 + 12)x = 22x \)

Grubun bugünkü yaşları toplamı 1320'dir.

\( 22x = 1320 \)

\( x = 60 \) bulunur.

2020 yılındaki oyuncuların yaşlarına \( a, b, c, d \) diyelim.

Mezun olan oyuncunun yaşı \( a \) olsun.

2022 yılında takıma yeni katılan oyuncunun yaşına \( e \) diyelim.

Aradan geçen 2 yılda değişmeyen 3 oyuncunun yaşı 2 yaş artacaktır.

Bu durumda 2022 yılındaki oyuncuların yaşları \( b + 2 \), \( c + 2 \), \( d + 2 \) ve \( e \) olur.

İki yıl için de takımın yaş ortalamasını yazalım ve takımın yaş ortalaması aynı kaldığı için iki ortalamayı birbirine eşitleyelim.

\( \dfrac{a + b + c + d}{4} = \dfrac{b + 2 + c + 2 + d + 2 + e}{4} \)

\( a + b + c + d = b + c + d + e + 6 \)

\( a = e + 6 \)

Mezun olan oyuncu ile yeni oyuncu arasındaki yaş farkı 6'dır.

Hasret'in annesinin bugünkü yaşına \( x \) diyelim.

Hasret'in annesinin yaşına gelmesi için \( x - 19 \) yıl geçmelidir.

\( x - 19 \) yıl sonra Hasret \( x \) yaşında, annesi \( x + x - 19 = 2x - 19 \) yaşında olur.

Bu noktada ikisinin yaşları toplamı \( x + (2x - 19) = 3x - 19 \) olacaktır.

\( 3x - 19 = 143 \)

\( 3x = 162 \)

\( x = 54 \)

Buna göre Hasret'in annesi bugün 54 yaşındadır.

Ahmet'in bugünkü yaşına \( 4x \), Sedef'in bugünkü yaşına \( 9x \) diyelim.

14 yıl sonra Ahmet \( 4x + 14 \), Sedef \( 9x + 14 \) yaşında olur.

14 yıl sonra Ahmet'in yaşının Sedef'in yaşına oranı \( \frac{3}{5} \) olur.

\( \dfrac{4x + 14}{9x + 14} = \dfrac{3}{5} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 5(4x + 14) = 3(9x + 14) \)

\( 20x + 70 = 27x + 42 \)

\( 7x = 28 \)

\( x = 4 \)

Buna göre Ahmet bugün \( 4x = 4(4) = 16 \) yaşındadır.

Ece'nin yaşına \( a \), Yasin'in yaşına \( b \) diyelim.

Ece ve Yasin'in yaşları oranı \( \frac{5}{6} \)'dır.

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{6} = k \)

\( a = 5k, \quad b = 6k \)

6 yıl sonraki yaşlarının oranını yazalım.

\( \dfrac{5k + 6}{6k + 6} = \dfrac{17}{20} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 100k + 120 = 102k + 102 \)

\( 2k = 18 \)

\( k = 9 \)

Yasin'in bugünkü yaşını bulalım.

\( b = 6k = 54 \)

Buna göre Yasin'in 6 yıl sonraki yaşı \( 54 + 6 = 60 \) olur.

İş yerindeki 24 yaşındaki çalışan sayısına \( x \), 32 yaşındaki çalışan sayısına \( y \) diyelim.

\( x + y = 18 \)

24 yaşındaki çalışanlar 32 yaşına geldiğinde \( 32 - 24 = 8 \) yıl geçmiş olur, bu noktada 32 yaşındaki çalışanlar \( 32 + 8 = 40 \) yaşında olurlar.

Bu noktada çalışanların toplam yaşı 640 olacaktır.

\( 32x + 40y = 640 \)

\( 4x + 5y = 80 \)

Yukarıda bulduğumuz iki denklemden birincinin taraflarını 4 ile çarpıp ikinci denklemi birinciden çıkaralım.

\( 4x + 4y = 72 \)

\( (4x + 5y) - (4x + 4y) = 80 - 72 \)

\( y = 8 \)

\( x = 10 \)

Buna göre bu iş yerinde 24 yaşındaki çalışanların sayısı 10'dur.

Vazonun yaşı arkeoloğun doğum yılının rakamları çarpımına eşitse, vazo \( 1 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 = 378 \) yaşındadır.

Arkeolog kazı sırasında 46 yaşında olduğuna göre, yıl \( 1976 + 46 = 2022 \) olur.

Buna göre vazo \( 2022 - 378 = 1644 \) yılında yapılmıştır.

Tapınak M.Ö. \( a \) yılında yapıldığına göre, milada yani 0 yılına kadar \( a \) yıl, milattan sonra \( 3a - 45 \) yıl olmak üzere toplam \( a + 3a - 45 = 4a - 45 \) yıl ayakta kalmıştır.

Bu süreyi tapınağın ayakta kaldığı \( 2a + 97 \) yıla eşitleyelim.

\( 4a - 45 = 2a + 97 \)

\( 2a = 142 \)

\( a = 71 \)

Tapınak M.Ö. 71 yılında inşa edilmiştir.

Zeynep'in bugünkü yaşına işlem kolaylığı açısından \( 20x \) diyelim.

Bu durumda Merve'nin bugünkü yaşı \( 5x \), Fatma'nın bugünkü yaşı \( 4x \) olur.

Fatma \( 20x - 4x = 16x \) yıl sonra Zeynep'in bugünkü yaşına gelir.

\( 16x \) yıl sonra üçünün yaşlarının toplamı 154 olacaktır.

\( (20x + 16x) + (5x + 16x) + (4x + 16x) = 154 \)

\( 77x = 154 \)

\( x = 2 \)

Fatma'nın bugünkü yaşı \( 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) olarak bulunur.

Eylül'ün bugünkü yaşına \( x \) diyelim.

Bu durumda Duru'nun bugünkü yaşı \( 45 - x \) olur.

Duru'nun Eylül'ün yaşına gelmesi için \( x - (45 - x) = 2x - 45 \) yıl geçmelidir.

Eylül ve Duru'nun yaşlarına \( 2x - 45 \) ekleyerek 75'e eşitleyelim.

\( [x + (2x - 45)] + [(45 - x) + (2x - 45)] = 75 \)

\( (3x - 45) + x = 75 \)

\( x = 30 \)

Buna göre Eylül bugün \( x = 30 \) yaşında, Duru ise \( 45 - 30 = 15 \) yaşındadır.

Eylül Duru'dan \( 30 - 15 = 15 \) yaş daha büyüktür.

Kerem'in 1995 yılındaki yaşına \( x \) diyelim.

Bu durumda 1995 yılında Emir'in yaşı \( x - 8 \), Ömer'in yaşı \( x + 2 \) olur.

1995 yılında üçünün yaşlarının ortalamasını bulalım.

\( \dfrac{x + (x - 8) + (x + 2)}{3} = 26 \)

\( \dfrac{3x - 6}{3} = 26 \)

\( x = 28 \)

Kerem'in 1995 yılındaki yaşı 28 olduğuna göre, 2030 yılındaki yaşı \( 28 + (2030 - 1995) = 63 \) olacaktır.

Kerem Ömer'den 2 yaş küçük olduğuna göre, Ömer'in 2030 yılındaki yaşı \( 63 + 2 = 65 \) olacaktır.

Annenin bugünkü yaşına \( x \) diyelim.

Bu durumda kızının bugünkü yaşı \( 54 - x \) olur.

Annenin \( 54 - x \) yaşında olduğu zamanı bulmak için \( x - (54 - x) = 2x - 54 \) yıl geriye gitmemiz gerekir.

\( 2x - 54 \) yıl önce kızının doğmasına 6 yıl vardır.

\( (54 - x) - (2x - 54) = -6 \)

\( 108 - 3x = -6 \)

\( x = 38 \)

Kızının bugünkü yaşını bulalım.

\( 54 - x = 54 - 38 = 16 \) bulunur.

Deneme yanılma yoluyla \( x \) değerini bulalım.

\( x = 10 \) diyelim.

\( x^3 = 10^3 = 1000 \)

\( x = 11 \) diyelim.

\( x^3 = 11^3 = 1331 \)

\( x = 12 \) diyelim.

\( x^3 = 12^3 = 1728 \)

Buna göre \( x = 11 \) olduğunda \( x^3 \) yılı 14. yüzyılda olur.

İbn Battuta \( x^3 = 1331 \) yılında \( (x - 8)^3 = (11 - 8)^3 = 27 \) yaşındadır.

Buna göre İbn Battuta \( 1331 - 27 = 1304 \) yılında doğmuştur.

5 kardeşin yaş ortalaması 9 ise yaşlarının toplamı \( 5 \cdot 9 = 45 \) olur.

En büyük kardeşin yaşını en çok yapabilmek için diğer kardeşlerin yaşlarını olabildiğince küçük seçmemiz gerekir. Hiçbiri 6 yaşından küçük olmadığına göre en küçük kardeşi 6 yaşında alabiliriz.

Kardeşlerin yaşları birbirinden farklı olduğu için en büyük kardeş hariç kardeşlerin yaşlarını 6, 7, 8 ve 9 olarak alabiliriz.

Bu durumda bu dört kardeşin yaşları toplamı \( 6 + 7 + 8 + 9 = 30 \) olur.

Buna göre en büyük kardeşin yaşı en çok \( 45 - 30 = 15 \) olabilir.

Gruptaki toplam kişi sayısına \( x \) diyelim.

Yaşlar toplamı = Kişi sayısı x Yaş ortalaması

Buna göre gruptakilerin yaşları toplamı \( 24x \) olur.

Geziye katılmaktan vazgeçenlerin yaşları toplamı \( 14 + 10 + 12 = 36 \) olduğundan grubun yaş toplamı 36, kişi sayısı 3 azalır.

3 kişi ayrıldıktan sonraki yaş ortalaması:

\( \dfrac{24x - 36}{x - 3} = 28 \)

\( 24x - 36 = 28x - 84 \)

\( 4x = 48 \)

\( x = 12 \)

Bu 12 kişiden 3'ü geziye katılmaktan vazgeçtiği için \( 12 - 3 = 9 \) kişi geziye katılmıştır.

Çocuğun bugünkü yaşına işlem kolaylığı açısından \( 2x \) diyelim.

Çocuk \( x \) yaşına geldiğinde anne ve babası \( x \) yıl yaşlanmıştır.

Çocuk \( x \) yaşındayken anne ile babasının yaşları oranını bulalım.

\( \dfrac{20 + x}{24 + x} = \dfrac{6}{7} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 140 + 7x = 144 + 6x \)

\( x = 4 \)

Buna göre çocuk bugün \( 2x = 2 \cdot 4 = 8 \) yaşındadır.

Bu durumda annesinin bugünkü yaşı \( 20 + 8 = 28 \), babasınınki \( 24 + 8 = 32 \)'dir.

Çocuğun annesi ile babasının bugünkü yaşları oranını bulalım.

\( \dfrac{28}{32} = \dfrac{7}{8} \) bulunur.

2022 yılında Beril'in yaşına \( x \), annesinin yaşına \( 4x \) diyelim.

2027 yılında her ikisinin de yaşı 5 yaş artacağı için yaşları \( x + 5 \) ve \( 4x + 5 \) olur.

2027 yılında annesinin yaşı Beril'in yaşının 3 katı olacaktır.

\( 4x + 5 = 3(x + 5) \)

\( 4x + 5 = 3x + 15 \)

\( x = 10 \)

Buna göre 2022 yılında Beril 10, annesi \( 4x = 40 \) yaşındadır.

Annesinin yaşının Beril'in yaşının 3,5 katı olacağı yıla 2022'den \( b \) yıl sonrası diyelim.

\( 40 + b = 3,5(10 + b) \)

\( 40 + b = 35 + 3,5b \)

\( 2,5b = 5 \)

\( b = 2 \)

Buna göre \( 2022 + 2 = 2024 \) yılında annesinin yaşı Beril'in yaşının 3,5 katı olur.

Babası Fatih'ten 27 yaş büyüktür.

\( (ab) + 27 = (ba) \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10a + b + 27 = 10b + a \)

\( 9a + 27 = 9b \)

\( a + 3 = b \)

Buna göre Fatih'in yaşında birler basamağı onlar basamağından 3 fazladır.

Fatih'in yaşının sayısal değerini onlar basamağındaki \( a \) rakamı cinsinden \( 10a + b = 10 + a + 3 = 11a + 3 \) şeklinde yazabiliriz.

Babası Fatih'ten 27 yaş büyük olduğu için ikisinin yaşları toplamı \( a \) cinsinden \( (11a + 3) + (11a + 30) = 22a + 33 \) olur.

\( a \) 1 ve 6 arasında değer alabilir, daha büyük değerlerde Fatih'in yaşının birler basamağı bir rakam olmaz.

Bu \( a \) değerleri için Fatih'in ve babasının yaşları toplamını bulalım.

\( a = 1: 22(1) + 33 = 55 \)

\( a = 2: 22(2) + 33 = 77 \)

\( a = 3: 22(3) + 33 = 99 \)

\( a = 4: 22(4) + 33 = 121 \)

\( a = 5: 22(5) + 33 = 143 \)

\( a = 6: 22(6) + 33 = 165 \)

Buna göre doğru cevap (d) seçeneğidir.

Verilen bilgilerden Ata'nın daha küçük olduğunu anlıyoruz, dolayısıyla Ata'nın doğum yılı daha büyük olur.

Ata 3 yıl önce, Berk 3 yıl sonra doğmuş olsaydı Ata, Berk'ten 11 yaş küçük olacaktı.

\( (a - 3) - (b + 3) = 11 \)

\( a - 3 - b - 3 = 11 \)

\( a - b = 17 \)

İki kardeşin doğdukları yılların toplamı 3983'tür.

\( a + b = 3983 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( a - b + a + b = 4000 \)

\( 2a = 4000 \)

\( a = 2000 \) bulunur.

Saadet ve Sezin'in yaşları toplamına \( k \) diyelim. Asya'nın yaşı \( k + 7m \) olur.

\( 2m \) yıl sonra Asya \( k + 7m + 2m = k + 9m \), Saadet ve Sezin'in yaşları toplamı \( k + 2m \cdot 2 = k + 4m \) olur.

\( 2m \) yıl sonra Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının 2 katı oluyor.

\( k + 9m = 2(k + 4m) \)

\( k + 9m = 2k + 8m \)

\( k = m \)

Buna göre Asya'nın bugünkü yaşı \( k + 7m = k + 7k = 8k \) olur.

Dolayısıyla Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının 8 katıdır.

Çocukların yaşları toplamına \( x \) diyelim.

Bu durumda annenin yaşı \( x - 2 \) olur.

32 yıl sonra annenin yaşı \( (x - 2) + 32 = x + 30 \), çocuklarının yaşları toplamı ise \( x + 32 \cdot 3 = x + 96 \) olur.

32 yıl sonra çocuklarının yaşları toplamı annenin yaşının 2 katı olur.

\( x + 96 = 2(x + 30) \)

\( x + 96 = 2x + 60 \)

\( x = 36 \)

Buna göre bugün çocukların yaşları toplamı 36, annenin yaşı ise 34'tür.

En küçük çocuğu dünyaya geldiğinde annenin olabilecek en küçük yaşını bulmak için en küçük çocuğun yaşının en çok olduğu durumu dikkate almalıyız.

3 çocuğun yaşları toplamı 36 olduğuna göre, en küçük çocuk en çok 11 yaşında olabilir. Bu durumda çocukların yaşları 11, 12, 13 olur.

Bu durumda anne en küçük çocuğu dünyaya geldiğinde en az \( 34 - 11 = 23 \) yaşında olabilir.

Öğrencilerden birinin yaşına \( 4x \) diyelim. Bu durumda Fulya öğretmenin bugünkü yaşı \( 5 \cdot 4x = 20x \) olur.

Öğrencilerin bugünkü yaşları toplamı \( 4 \cdot 4x = 16x \)'tir.

Öğrencilerin yaşları toplamı her yıl 4 yaş artar. Buna göre öğrencilerin bugünkü yaşları toplamı olan \( 16x \)'in Fulya öğretmenin bugünkü yaşı olan \( 20x \)'e eşit olması için \( \frac{20x - 16x}{4} = x \) yıl geçmelidir.

\( x \) yıl sonra Fulya öğretmen \( 20x + x = 21x \) yaşında olur.

\( 21x = 42 \)

\( x = 2 \)

Öğrencilerin bugünkü yaşları \( 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) olarak bulunur.

Aslı, Bilal, Cenk ve Demet'in yaşlarına sırasıyla \( a, b, c, d \) diyelim.

4 kişilik grubun yaş ortalaması 16 ise yaşları toplamı \( 16 \cdot 4 = 64 \) olur.

\( a + b + c + d = 64 \)

Aslı Demet'ten 9 yaş küçüktür.

\( a = d - 9 \)

Bilal'le Cenk'in yaşları toplamı Demet'in yaşından 10 fazladır.

\( b + c = d + 10 \)

Bulduklarımızı ilk denklemde yerine koyalım.

\( (d - 9) + (d + 10) + d = 64 \)

\( 3d + 1 = 64 \)

\( 3d = 63 \)

\( d = 21 \)

\( d \) değerini kullanarak diğer yaşları bulalım.

\( a = d - 9 = 21 - 9 = 12 \)

\( b + c = d + 10 = 21 + 10 = 31 \)

Cenk'in yaşını en çok yapmak için Bilal'in yaşını olabildiğince küçük seçmeliyiz. Grupta en küçük kişi olan Aslı 12 yaşında olduğu için Bilal en az 13 yaşında olabilir.

\( 13 + c = 31 \)

\( c = 18 \)

Buna göre Cenk en çok 18 yaşında olabilir.

En küçük çocuğun yaşına \( a \), annenin yaşına \( b \) diyelim.

Baba anneden en küçük çocuğun yaşı kadar küçük olduğundan babanın yaşı \( b - a \) olur.

En büyük çocukla ortanca çocuğun yaşları toplamı 25 olduğuna göre, üç çocuğun yaşları toplamı \( a + 25 \) olur.

4 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşlarının toplamına eşit olacaktır.

\( a + 25 + 4 \cdot 3 = b + 4 \)

\( a + 37 = b + 4 \)

\( b - a = 33 \)

Buna göre baba 33 yaşındadır.

Sedef'in bugünkü yaşına \( x \) diyelim.

Babasının yaşı \( 3x - 1 \) olur.

Annesiyle Sedef'in yaşları toplamı 5 yıl sonra 65 oluyorsa bugün \( 65 - 2 \cdot 5 = 55 \) olur.

Sedef bugün \( x \) yaşında olduğuna göre annesi \( 55 - x \) yaşında olur.

Annesi \( (55 - x) - x = 55 - 2x \) yıl önce Sedef'in yaşındaydı. Bu kadar yıl önce Sedef'in \( -10 \) yaşında olduğunu düşünebiliriz.

\( x - (55 - 2x) = -10 \)

\( 3x - 55 = -10 \)

\( 3x = 45 \)

\( x = 15 \)

Sedef'in annesinin bugünkü yaşı \( 55 - x = 55 - 15 = 40 \) olur.

"Cem Sadi'nin bugünkü yaşındayken" ifadesinden Cem'in Sadi'den büyük olduğunu anlarız. Bu yüzden Sadi'nin bugünkü yaşına \( x \), Cem'in yaşına \( x + y \) diyebiliriz.

\( x + (x + y) = 39 \)

\( 2x + y = 39 \)

Cem \( y \) yıl önce Sadi'nin yaşındaydı, o noktada Sadi de \( x - y \) yaşında idi.

\( x - y = 6 \)

Yukarıdaki iki bilinmeyenli iki denklemi çözmek için denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( (2x + y) + (x - y) = 39 + 6 \)

\( 3x = 45 \)

\( x = 15 \)

\( y = 9 \)

Buna göre Cem bugün \( x + y = 15 + 9 = 24 \) yaşındadır.

Figen'in bugünkü yaşına işlem kolaylığı açısından \( 3x \) diyelim.

Ablasının bugünkü yaşı \( 3x + 12 \) olur.

Figen 12 yıl sonra ablasının bugünkü yaşına gelir. Buna göre Figen'in \( 3x + 12 \) yaşında üçüzleri olur. Ablasının o günkü yaşı da \( (3x + 12) + 12 = 3x + 24 \) olur.

Üçüzlerin yaşları toplamı her yıl 3 yaş artar, buna göre üçüzlerin yaşları toplamının Figen'in ablasının bugünkü yaşına gelmesi için \( \frac{3x + 12}{3} = x + 4 \) yıl geçmelidir.

\( x + 4 \) yıl sonra ablasının yaşı \( (3x + 24) + (x + 4) = 4x + 28 \) olur.

\( 4x + 28 = 44 \)

\( 4x = 16 \)

\( x = 4 \)

Buna göre Figen bugün \( 3x = 3(4) = 12 \) yaşındadır.

En yaşlı ağaç ilk dikilen ağaç olduğundan ağaç dikilmeye 20 yıl önce başlanmıştır.

İlk dikilen ağaçlar bugün 20 yaşında ise 3 yıl sonra dikilen ağaçlar bugün 17 yaşında, bir 3 yıl sonra dikilen ağaçlar bugün 14 yaşındadır. Parktaki ağaçların yaşı bu şekilde 3 çıkaramayacağımız yaşa kadar devam eder.

Her yıl 10 ağaç dikildiğinden ağaçların toplam yaşı aşağıdaki şekilde bulunur.

\( 10(20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2) \)

\( = 10 \cdot 77 = 770 \) bulunur.

Aleyna, Barış ve Eray'ın 2010 yılındaki yaşlarına sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( e \) diyelim.

Üçünün 2010 yılındaki yaşlarının aritmetik ortalaması \( m \)'dir.

\( \dfrac{a + b + e}{3} = m \)

\( a + b + e = 3m \)

Barış 2016 yılında Aleyna'nın yaşına geldiğine göre \( a = b + 6 \) olur.

2016 yılında Eray \( m + 10 \) yaşında oluyor.

\( e + 6 = m + 10 \)

\( e = m + 4 \)

Bulduğumuz değerleri ilk eşitlikte yerine koyalım.

\( a + b + e = 3m \)

\( (b + 6) + b + (m + 4) = 3m \)

\( 2b + 10 = 2m \)

\( b = m - 5 \)

Barış 2010 yılında \( m - 5 \) yaşında olduğuna göre, \( 2010 + 5 = 2015 \) yılında \( m \) yaşında olur.

\( (19ab) \) yılında doğan kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşını bulalım.

\( (20aa) - (19ab) = 2000 + 10a + a - (1900 + 10a + b) \)

\( = 100 + a - b \)

\( (19ba) \) yılında doğan kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşını bulalım.

\( (20aa) - (19ba) = 2000 + 10a + a - (1900 + 10b + a) \)

\( = 100 + 10a - 10b \)

Bu iki kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşları toplamını bulalım.

\( (100 + a - b) + (100 + 10a - 10b) \)

\( = 200 + 11a - 11b \)

\( a \) ve \( b \) birer rakam olmak üzere, bu toplam en küçük değerini \( a = 0 \) ve \( b = 9 \) olduğunda alır.

Buna göre \( (19bb) = 1999 \) yılında doğan bir kişi \( (20aa) = 2000 \) yılında 1 yaşında olur.

2000'den itibaren artık yıllar aşağıdaki gibidir.

2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ...

Artık olmayan yıllar 365 gün, artık yıllar 366 gündür.

Bir artık yılın 29 Şubat gününden bir sonraki artık yılın 29 Şubat gününe kadar \( 365 + 365 + 365 + 366 = 1461 \) gün vardır.

\( 1461 = 7 \cdot 208 + 5 \)

Buna göre bir artık yılın 29 Şubat günü bir önceki 29 Şubat gününe göre 5 gün ilerlemiş olur (önceki 29 Şubat pazartesi günü ise bir sonraki 29 Şubat cumartesi olur).

Bu ek 5 günler 7 tane dört yıllık döngü sonunda 7'nin bir tam sayı katı olur, dolayısıyla \( 7 \cdot 4 = 28 \) yıl sonra doğum günü haftanın aynı gününe denk gelir.

Buna göre, Sıla'nın doğum günü 2028 yılında, yani 28. yaş gününde yine bir salı gününe denk gelir.

Babanın bugünkü yaşına \( x \), oğlunun bugünkü yaşına \( y \) diyelim.

Baba \( x - y \) yıl önce oğlunun yaşındadır.

Oğlunun \( x - y \) yıl önceki yaşını bulalım.

\( y - (x - y) = 2y - x \)

Baba bugün bulduğumuz bu yaşın 3 katı yaştadır.

\( x = 3(2y - x) \)

\( x = 6y - 3x \)

\( 4x = 6y \)

\( x = \dfrac{3y}{2} \)

Baba ile oğlunun bugünkü yaşlarının toplamı 95'tir.

\( x + y = 95 \)

Denklemde \( x \) yerine \( \frac{3y}{2} \) yazalım.

\( \dfrac{3y}{2} + y = 95 \)

\( 5y = 190 \)

\( y = 38 \)

\( x + 38 = 95 \Longrightarrow x = 57 \)

Baba ile oğlunun yaşlarının farkını bulalım.

\( x - y = 57 - 38 = 19 \) bulunur.

Beste'nin kendisinden küçük olan ikiz kardeşlerinin yaşına \( a \), kendi yaşına \( b \), kendisinden büyük olan ikiz kardeşlerinin yaşına \( c \) diyelim.

\( a \lt b \lt c \)

5 kardeşten 2'si \( a \), 1'i \( b \) ve 2'si \( c \) yaşındadır.

5 kardeşin yaşları çarpımı 720'dir.

\( a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c = 720 \)

\( a^2 \cdot b \cdot c^2 = 720 \)

720'yi asal çarpanlarına ayıralım.

\( a^2 \cdot b \cdot c^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

Bu eşitliği ve \( a \lt b \lt c \) eşitsizliğini sağlayan \( a, b, c \) değerlerini bulalım.

Eşitlikte \( a \) ve \( c \)'nin kuvvetleri çift olduğu için kuvveti 1 olan 5 çarpanı her durumda \( b \)'nin bir çarpanı olmalıdır.

\( a \)'nın alabileceği değerler 5'ten küçük olacak şekilde \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \) ya da \( 2^2 = 4 \) olabilir.

Durum 1: \( a = 1 \)

\( b \) ve \( c \) için olası değerler aşağıdaki gibi olur.

\( (a, b, c) = (1, 5, 2^2 \cdot 3) = (1, 5, 12) \)

Durum 2: \( a = 2 \)

\( b \) ve \( c \) için olası değerler aşağıdaki gibi olur.

\( (a, b, c) = (2, 5, 2 \cdot 3) = (2, 5, 6) \)

Durum 3: \( a = 3 \)

Bu durumda \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlayan bir \( (a, b, c) \) üçlüsü yoktur.

Durum 4: \( a = 4 \)

Bu durumda \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlayan bir \( (a, b, c) \) üçlüsü yoktur.

Buna göre sadece \( (1, 5, 12) \) ve \( (2, 5, 6) \) üçlüleri \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlar.

Soruda Beste'nin kendisinden küçük ikiz erkek kardeşleri ile arasındaki yaş farkının, kendisinden büyük ikiz ablaları ile arasındaki yaş farkından büyük olduğu bilgisi verilmiş.

Buna göre Beste'nin yaşı ablalarına daha yakın olmalıdır, dolayısıyla kardeşlerin yaşları \( (a, b, c) = (2, 5, 6) \) olur.

Kardeşlerin yaşları toplamını bulalım.

\( a + a + b + c + c = 2a + b + 2c \)

\( = 2(2) + 5 + 2(6) = 21 \) bulunur.

9 öğrencinin yaşları ardışık tek sayı, 8 öğrencinin yaşları ise aynıdır. Grupta toplam 16 öğrenci bulunduğu için bu iki grupta bir öğrenci ortakdır, dolayısıyla yaşları aynı olan öğrencilerin yaşı da tek sayıdır.

Yaşları ardışık tek sayı olan öğrencilerden yaşı en küçük olan öğrencinin yaşına \( a \) diyelim.

Bu durumda bu 9 öğrencinin yaşları sırasıyla aşağıdaki gibi olur.

\( a , a + 2 , \ldots , a + 16 \)

Bu 9 öğrencinin yaşları toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)

\( = (a + a + 16) \cdot \dfrac{9}{2} = 9a + 72 \)

Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşı ardışık tek sayı yaşlardan birine eşittir. \( k \in [0, 7] \) aralığında bir tam sayı olmak üzere bu öğrencilerin ortak yaşına \( a + 2k \) diyelim.

Bu durumda yaşları aynı olan öğrencilerin yaşlarının toplamı, iki gruba da dahil olan bir öğrenciyi hariç tutarsak \( 7(a + 2k) = 7a + 14k \) olur.

Tüm öğrencilerin yaş ortalaması 19'dur.

\( \dfrac{9a + 72 + 7a + 14k}{16} = 19 \)

\( 16a + 14k + 72 = 304 \)

\( 16a + 14k = 232 \)

\( 8a + 7k = 116 \)

\( k \) değişkenine \( [0, 7] \) aralığında tam sayı değerler verdiğimizde \( a \) için tam ve tek sayı değer sadece \( k = 4 \) olduğunda elde edilir.

\( 8a + 7(4) = 116 \)

\( 8a = 88 \)

\( a = 11 \)

Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşını bulalım.

\( a + 2k = 11 + 2(4) = 19 \) bulunur.