Tam Sayıların Parçalanışı
Bir doğal sayının pozitif tam sayıların toplamı şeklinde yazılışına o sayının parçalanışı, bu şekildeki farklı yazılışların sayısına da o sayının parçalanış sayısı denir.
Örnek vermek gerekirse, 4 sayısı pozitif tam sayıların toplamı olarak 5 farklı şekilde yazılabilir.
\( 4 \)
\( 3 + 1 \)
\( 2 + 2 \)
\( 2 + 1 + 1 \)
\( 1 + 1 + 1 + 1 \)
Her bir parçalanışı oluşturan pozitif tam sayılara o parçalanışın parçaları denir. 4 sayısının \( 2 + 1 + 1 \) parçalanışının parçaları \( 2 \), \( 1 \) ve \( 1 \)'dir.
Tam sayıların parçalanışında parçaların diziliş sırası önemli değildir, yani \( 3 + 1 \) ve \( 1 + 3 \) özdeştir. Bir parçalanışın standart gösteriminde parçalar büyükten küçüğe doğru sıralanırlar.
Bir \( n \) sayısının toplam parçalanış sayısı \( p(n) \) ile gösterilir.
\( p(4) = 5 \)
Bir \( n \) sayısının \( k \) parçaya parçalanış sayısı \( p_k(n) \) ile gösterilir. Yukarıdaki parçalanış listesine göre, 4 sayısının 1, 2, 3 ve 4 parçaya parçalanış sayıları aşağıdaki gibidir.
\( p_1(4) = p_3(4) = p_4(4) = 1 \)
\( p_2(4) = 2 \)
Buna göre, bir \( n \) sayısının tüm \( k \) parçaya parçalanış sayılarının toplamı, sayının toplam parçalanış sayısına eşittir.
\( p(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} p_i(n) \)
\( p(4) = p_1(4) + p_2(4) + p_3(4) + p_4(4) \)
\( 5 = 1 + 2 + 1 + 1 \)
Bir sayının parçalanışları sıralı 2'li, 3'lü vb. şekilde de gösterilebilir.
\( 2 + 1 + 1 \to (2, 1, 1) \)
Yukarıdaki bilgiler doğrultusunda tam sayıların parçalanışı aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( a_1, a_2, \ldots, a_k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_k = n \) ve
\( a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_k \ge 1 \) ise,
\( (a_1, a_2, \ldots, a_k) \) sıralı \( k \)'lısı \( n \) sayısının bir parçalanışıdır.
Bu şekilde yazılabilecek toplam parçalanış sayısı \( p(n) \) ile gösterilir.
Bir doğal sayının parçalanışı sayının asal çarpanları biçiminde yazılışından farklıdır. Asal çarpanlara ayırma işleminde bir sayı asal sayıların çarpımı şeklinde yazılırken parçalama işleminde pozitif tam sayıların toplamı şeklinde yazılır.
\( 0 \) sayısının parçalanış sayısı \( 1 \) olarak kabul edilir. \( 1 \) sayısının tek parçalanışı kendisidir.
\( p(0) = p(1) = 1 \)
\( n = 2 \) için farklı parçalanış sayısı 2'dir (\( p(2) = 2 \)).
\( 2 \)
\( 1 + 1 \)
\( n = 3 \) için farklı parçalanış sayısı 3'tür (\( p(3) = 3 \)).
\( 3 \)
\( 2 + 1 \)
\( 1 + 1 + 1 \)
\( n = 5 \) için farklı parçalanış sayısı 7'dir (\( p(5) = 7 \)).
\( 5 \)
\( 4 + 1 \)
\( 3 + 2 \)
\( 3 + 1 + 1 \)
\( 2 + 2 + 1 \)
\( 2 + 1 + 1 + 1 \)
\( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \)
\( 1 - 10 \) arası sayılar için parçalanış sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| \( n \) | \( p(n) \) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 7 |
| 6 | 11 |
| 7 | 15 |
| 8 | 22 |
| 9 | 30 |
| 10 | 42 |
Bir \( n \) sayısı için toplam parçalanış sayısını hesaplayan basit (kapalı) bir formül bulunmamaktadır, ancak parçalanış sayıları burada detaylarına girmeyeceğimiz üreteç fonksiyonları yardımıyla hesaplanabilmektedir.
Parçalanışların Görsel Gösterimi
Bir sayının belirli bir parçalanışını görsel olarak göstermek için kullanılan yöntemlerden biri Ferrers diyagramlarıdır. Bu diyagramda her satır parçalanışın bir parçasına, bir satırdaki nokta sayısı da o parçanın sayısal değerine karşılık gelir. Ferrers diyagramlarında ilk/en büyük parça ilk satırda, son/en küçük parça son satırda bulunur.
Buna göre, \( (6, 4, 4, 3, 1) \) parçalanışının Ferrers diyagramı ile gösterimi aşağıdaki gibidir.
Parçalanışları görsel olarak göstermek için kullanılan ikinci bir yöntem Young diyagramlarıdır. Bu diyagramda her satır yine parçalanışın bir parçasına, bir satırdaki kutu sayısı da o parçanın sayısal değerine karşılık gelir. Young diyagramlarında da ilk/en büyük parça ilk satırda, son/en küçük parça son satırda bulunur.
Buna göre, \( (6, 4, 4, 3, 1) \) parçalanışının Young diyagramı ile gösterimi aşağıdaki gibidir.
Bir Parçalanışın Eşleniği
Bir parçalanışın eşleniği, o parçalanışın Ferrers ya da Young diyagramında sütunların satırlara dönüşecek şekilde \( y = -x \) doğrusu ekseninde döndürülmesi ile elde edilir.
\( (6, 4, 4, 3, 1) \) parçalanışının ve eşleniği olan \( (5, 4, 4, 3, 1, 1) \) parçalanışının Young diyagramı ile gösterimleri aşağıdaki gibidir.
Parçalanış Özdeşlikleri
Tam sayı parçalanışlarında ilginç bazı özdeşlikler karşımıza çıkmaktadır. Bu özdeşliklerin önemli birkaçından burada bahsedeceğiz.
Euler'in Parçalanış Teoremi
Bu özdeşliğe göre, bir \( n \) sayısı için farklı parçalanışlar içinden aşağıdaki iki koşulu sağlayan parçalanışların sayıları birbirine eşittir.
Koşul 1: Parçaları birbirinden farklı olan parçalanışlar
Örnek: \( 3 + 2 + 1 \) tüm parçaları birbirinden farklı olduğu için bu koşulu sağlar. \( 4 + 1 + 1 \) 1 tekrarlandığı için bu koşulu sağlamaz.
Koşul 2: Parçaları tek sayı olan parçalanışlar
Örnek: \( 3 + 1 + 1 \) tüm parçaları tek sayı olduğu için bu koşulu sağlar. \( 3 + 2 + 1 \) 2 çift sayı olduğu için bu koşulu sağlamaz.
Aşağıdaki tabloda \( n \)'nin \( 1 - 9 \) arası değerleri için bu iki koşulu sağlayan parçalanışlar ve parçalanış sayılarının eşitliği görülebilir.
| \( n \) | Koşul 1 | Koşul 2 |
|---|---|---|
| \( 1 \) |
\( 1 \)
|
\( 1 \)
|
| \( 2 \) |
\( 2 \)
|
\( 1 + 1 \)
|
| \( 3 \) |
\( 3 \)
\( 2 + 1 \)
|
\( 3 \)
\( 1 + 1 + 1 \)
|
| \( 4 \) |
\( 4 \)
\( 3 + 1 \)
|
\( 3 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 5 \) |
\( 5 \)
\( 4 + 1 \)
\( 3 + 2 \)
|
\( 5 \)
\( 3 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 6 \) |
\( 6 \)
\( 5 + 1 \)
\( 4 + 2 \)
\( 3 + 2 + 1 \)
|
\( 5 + 1 \)
\( 3 + 3 \)
\( 3 + 1 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 7 \) |
\( 7 \)
\( 6 + 1 \)
\( 5 + 2 \)
\( 4 + 3 \)
\( 4 + 2 + 1 \)
|
\( 7 \)
\( 5 + 1 + 1 \)
\( 3 + 3 + 1 \)
\( 3 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 8 \) |
\( 8 \)
\( 7 + 1 \)
\( 6 + 2 \)
\( 5 + 3 \)
\( 5 + 2 + 1 \)
\( 4 + 3 + 1 \)
|
\( 7 + 1 \)
\( 5 + 3 \)
\( 5 + 1 + 1 + 1 \)
\( 3 + 3 + 1 + 1 \)
\( 3 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 9 \) |
\( 9 \)
\( 8 + 1 \)
\( 7 + 2 \)
\( 6 + 3 \)
\( 6 + 2 + 1 \)
\( 5 + 4 \)
\( 5 + 3 + 1 \)
\( 4 + 3 + 2 \)
|
\( 9 \)
\( 7 + 1 + 1 \)
\( 5 + 3 + 1 \)
\( 5 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 3 + 3 + 3 \)
\( 3 + 3 + 1 + 1 + 1 \)
\( 3 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
Rogers - Ramanujan Teoremi
Bu özdeşliğe göre, bir \( n \) sayısı için farklı parçalanışlar içinden aşağıdaki iki koşulu sağlayan parçalanışların sayıları birbirine eşittir.
Koşul 1: Herhangi iki parçası arasındaki fark en az iki olan parçalanışlar
Örnek: \( 6 + 3 + 1 \) herhangi iki parçası arasındaki fark en az iki olduğu için bu koşulu sağlar. \( 5 + 2 + 1 \) ve \( 3 + 3 + 1 \) bu koşulu sağlamaz.
Koşul 2: Parçaları mod 5'te \( \pm1 \)'e denk olan parçalanışlar (1, 4, 6, 9, 11, 14, 16, vb.)
Örnek: \( 4 + 4 + 1 \) tüm parçaları yukarıdaki listede bulunduğu için bu koşulu sağlar. \( 4 + 3 + 1 \) listede bulunmayan bir sayı içerdiği için bu koşulu sağlamaz.
Aşağıdaki tabloda \( n \)'nin \( 1 - 9 \) arası değerleri için bu iki koşulu sağlayan parçalanışlar ve parçalanış sayılarının eşitliği görülebilir.
| \( n \) | Koşul 1 | Koşul 2 |
|---|---|---|
| \( 1 \) |
\( 1 \)
|
\( 1 \)
|
| \( 2 \) |
\( 2 \)
|
\( 1 + 1 \)
|
| \( 3 \) |
\( 3 \)
|
\( 1 + 1 + 1 \)
|
| \( 4 \) |
\( 4 \)
\( 3 + 1 \)
|
\( 4 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 5 \) |
\( 5 \)
\( 4 + 1 \)
|
\( 4 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 6 \) |
\( 6 \)
\( 5 + 1 \)
\( 4 + 2 \)
|
\( 6 \)
\( 4 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 7 \) |
\( 7 \)
\( 6 + 1 \)
\( 5 + 2 \)
|
\( 6 + 1 \)
\( 4 + 1 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 8 \) |
\( 8 \)
\( 7 + 1 \)
\( 6 + 2 \)
\( 5 + 3 \)
|
\( 6 + 1 + 1 \)
\( 4 + 4 \)
\( 4 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
| \( 9 \) |
\( 9 \)
\( 8 + 1 \)
\( 7 + 2 \)
\( 6 + 3 \)
\( 5 + 3 + 1 \)
|
\( 9 \)
\( 6 + 1 + 1 + 1 \)
\( 4 + 4 + 1 \)
\( 4 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
Schur Teoremi
Bu özdeşliğe göre, bir \( n \) sayısı için farklı parçalanışlar içinden aşağıdaki üç koşulu sağlayan parçalanışların sayıları birbirine eşittir.
Koşul 1: Herhangi iki parçası arasındaki fark en az üç olan ve ek olarak 3'ün katı ardışık parçaları olmayan parçalanışlar
Örnek: \( 7 + 4 + 1 \) herhangi iki parçası arasındaki fark en az üç olduğu için bu koşulu sağlar. \( 6 + 4 + 2 \) ve \( 5 + 1 + 1 \) bu koşulu sağlamaz. \( 6 + 3 \) 3'ün katı ardışık parçaları olduğu için bu koşulu sağlamaz.
Koşul 2: Parçaları mod 6'da \( \pm1 \) olan parçalanışlar (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, vb.)
Örnek: \( 7 + 5 + 1 \) tüm parçaları yukarıdaki listede bulunduğu için bu koşulu sağlar. \( 11 + 2 + 1 \) listede bulunmayan bir sayı içerdiği için bu koşulu sağlamaz.
Koşul 3: Parçaları mod 3'te \( \pm1 \) olan ve parçaları birbirinden farklı olan parçalanışlar (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, vb.)
Örnek: \( 7 + 4 + 1 \) tüm parçaları yukarıdaki listede bulunduğu için bu koşulu sağlar. \( 5 + 3 + 2 \) listede bulunmayan bir sayı içerdiği için bu koşulu sağlamaz. \( 4 + 4 + 1 \) listede bulunmayan sayı içermese de 4 tekrarlandığı için bu koşulu sağlamaz.
Aşağıdaki tabloda \( n \)'nin \( 1 - 9 \) arası değerleri için bu üç koşulu sağlayan parçalanışlar ve parçalanış sayılarının eşitliği görülebilir.
| \( n \) | Koşul 1 | Koşul 2 | Koşul 3 |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) |
\( 1 \)
|
\( 1 \)
|
\( 1 \)
|
| \( 2 \) |
\( 2 \)
|
\( 1 + 1 \)
|
\( 2 \)
|
| \( 3 \) |
\( 3 \)
|
\( 1 + 1 + 1 \)
|
\( 2 + 1 \)
|
| \( 4 \) |
\( 4 \)
|
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 4 \)
|
| \( 5 \) |
\( 5 \)
\( 4 + 1 \)
|
\( 5 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 5 \)
\( 4 + 1 \)
|
| \( 6 \) |
\( 6 \)
\( 5 + 1 \)
|
\( 5 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 5 + 1 \)
\( 4 + 2 \)
|
| \( 7 \) |
\( 7 \)
\( 6 + 1 \)
\( 5 + 2 \)
|
\( 7 \)
\( 5 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 7 \)
\( 5 + 2 \)
\( 4 + 2 + 1 \)
|
| \( 8 \) |
\( 8 \)
\( 7 + 1 \)
\( 6 + 2 \)
|
\( 7 + 1 \)
\( 5 + 1 + 1 + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 8 \)
\( 7 + 1 \)
\( 5 + 2 + 1 \)
|
| \( 9 \) |
\( 9 \)
\( 8 + 1 \)
\( 7 + 2 \)
|
\( 7 + 1 + 1 \)
\( 5 + 1 + \ldots + 1 \)
\( 1 + \ldots + 1 \)
|
\( 8 + 1 \)
\( 7 + 2 \)
\( 5 + 4 \)
|
1'ler ve Farklı Parçalar Özdeşliği
Bu özdeşliğe göre, bir \( n \) sayısının parçalanışlarındaki 1'lerin toplamı her parçalanıştaki farklı parça sayılarının toplamına eşittir.
\( n = 5 \) için bu eşitliği gösterelim.
| Parçalanış | 1'lerin Sayısı | Farklı Parça Sayısı |
|---|---|---|
| \( 5 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 4 + 1 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 3 + 2 \) | \( 0 \) | \( 2 \) |
| \( 3 + 1 + 1 \) | \( 2 \) | \( 2 \) |
| \( 2 + 2 + 1 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 2 + 1 + 1 + 1 \) | \( 3 \) | \( 2 \) |
| \( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \) | \( 5 \) | \( 1 \) |
Buna göre, 2. ve 3. sütunlardaki bu iki sayının toplamı eşittir ve 12'dir.