Düzlemlerin Yaptığı Açılar

\( \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] \) olmak üzere,

\( \cos{\alpha} = \dfrac{\abs{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}}{\norm{\vec{n_1}}\norm{\vec{n_2}}} \)

---

Aşağıda genel denklemleri verilen \( N_1 \) ve \( N_2 \) düzlemleri arasında kalan açıyı bulalım.

\( N_1: x + y - 5 = 0 \)

\( N_2: 2x + y - z - 4 = 0 \)

---

\( \vec{n_1} = (1, 1, 0) \)

\( \vec{n_2} = (2, 1, -1) \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1(2) + 1(1) + 0(-1) = 3 \)

\( \norm{\vec{n_1}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \)

\( \norm{\vec{n_2}} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{\abs{3}}{\sqrt{2}\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \alpha = \arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\pi}{6} \)

\( \vec{d} \) doğrunun doğrultman, \( \vec{n} \) düzlemin normal vektörü olmak üzere,

\( \sin{\alpha} = \dfrac{\vec{d} \cdot \vec{n}}{\norm{\vec{d}}\norm{\vec{n}}} \)

---

Aşağıda denklemleri verilen \( L \) doğrusu ve \( N \) düzlemi arasında kalan açıyı bulalım.

\( L: \dfrac{x - 1}{6} = \dfrac{y + 3}{2} = \dfrac{z - 1}{-3} \)

\( N: x - 2y - 2z = -11 \)

---

\( \vec{d} = (6, 2, -3) \)

\( \vec{n} = (1, -2, -2) \)

\( \vec{d} \cdot \vec{n} = 6(1) + 2(-2) + (-3)(-2) = 8 \)

\( \norm{\vec{d}} = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = 7 \)

\( \norm{\vec{n}} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = 3 \)

\( \sin{\alpha} = \dfrac{8}{3 \cdot 7} = \dfrac{8}{21} \)

\( \alpha = \arcsin{\dfrac{8}{21}} \)