İki Çemberin Birbirine Göre Durumu

Bu bölümde iki çemberin birbirine göre farklı kesişim ve teğet durumlarını inceleyeceğiz.

İki Çemberin Kesişimi

Aynı düzlemde bulunan iki çemberin birbiriyle kesişimi üç farklı şekilde olabilir.

  • Çemberler iki noktada kesişebilir.
  • Çemberler içten ya da dıştan tek bir noktada kesişebilir. Tek bir noktada kesişen çemberlere teğet çemberler denir.
  • Çemberler ayrık ya da iç içe olup kesişmeyebilir.
İki çemberin birbirine göre durumu
İki çemberin birbirine göre durumu

Merkezleri aynı olan çemberlere eş merkezli çemberler denir.

Eş merkezli çemberler
Eş merkezli çemberler

Merkez Doğrusu

Eş merkezli olmayan iki çemberin merkez noktalarını birleştiren doğru parçasına merkez doğrusu denir. Aşağıdaki şekildeki doğru parçası verilen iki çembere ait merkez doğrusudur.

Merkez doğrusu
Merkez doğrusu

Birbirine göre durumları farklı diğer bazı çember ikililerinin merkez doğruları aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Farklı merkez doğruları
Farklı merkez doğruları

Teğet Çemberler

Birbirini tek bir noktada kesen çemberlere teğet çemberler denir.

Aşağıdaki şekildeki gibi biri diğerinin içinde olmayan teğet çemberlere dıştan teğet çember denir.

Dıştan teğet çemberler
Dıştan teğet çemberler

Aşağıdaki şekildeki gibi biri diğerinin içinde olan teğet çemberlere içten teğet çember denir.

İçten teğet çemberler
İçten teğet çemberler

Birbirine içten ya da dıştan teğet olan iki çemberin merkezlerini birleştiren doğru, çemberlerin teğet noktasından geçer.

Ortak Teğetler

İki (ya da daha fazla) çembere teğet olan doğruya bu çemberlerin ortak teğeti denir.

İki çemberin ortak teğeti çemberlerin merkez doğrusunu kesiyorsa bu teğete ortak iç teğet denir, kesmiyorsa ortak dış teğet denir.

Aşağıdaki şekildeki ortak teğet doğruları merkez doğrusunu kesmediği için birer ortak dış teğettir.

Ortak dış teğetler
Ortak dış teğetler

Aşağıdaki şekildeki ortak teğet doğruları merkez doğrusunu kestiği için birer ortak iç teğettir.

Ortak iç teğetler
Ortak iç teğetler

İki çemberin ortak dış teğetlerinin teğet noktaları arasında kalan uzunlukları birbirine eşittir ve bu uzunluk aşağıdaki formülle hesaplanır.

Dış ortak teğetlerin uzunluğu
Dış ortak teğetlerin uzunluğu

İki çemberin ortak iç teğetlerinin teğet noktaları arasında kalan uzunlukları birbirine eşittir ve bu uzunluk aşağıdaki formülle hesaplanır.

İç ortak teğetlerin uzunluğu
İç ortak teğetlerin uzunluğu

Yarıçapları ve olan iki çemberin ortak teğetlerinin sayısı çemberlerin yarıçap uzunluklarına ve merkez noktaları arasındaki uzaklığa göre değişiklik gösterir.

Şekil Açıklama
4 ortak teğet

İki ayrık (kesişmeyen ve iç içe olmayan) çember:

İki dış (kırmızı), iki iç (yeşil) olmak üzere dört ortak teğet
3 ortak teğet

Dıştan teğet iki çember:

İki dış (kırmızı), bir iç (yeşil) olmak üzere üç ortak teğet
2 ortak teğet

İki noktada kesişen iki çember:

İki ortak dış teğet
1 ortak teğet

İçten teğet iki çember:

Bir ortak dış teğet
0 ortak teğet

İç içe ve kesişmeyen iki çember:

Sıfır ortak dış teğet

Teğet İki Çembere Teğet İki Doğru

Birbirine teğet iki çembere teğet iki doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu açı ve yayların ölçüleri arasında aşağıdaki ilişki vardır.

Teğet iki çembere teğet iki doğru
Teğet iki çembere teğet iki doğru

Teğet İki Çembere Teğet Bir Doğru

Birbirine teğet iki çembere teğet bir doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu yayların ölçüleri arasında aşağıdaki ilişki vardır.

Teğet iki çembere teğet bir doğru
Teğet iki çembere teğet bir doğru

İki Çembere Teğet İki Doğru

İki çembere teğet iki doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu yayların ölçüleri arasında aşağıdaki ilişki vardır.

İki çembere teğet iki doğru
İki çembere teğet iki doğru

Birbirine Teğet Üç Çember

Birbirine teğet üç çemberin aralarındaki yayların ölçülerinin toplamı 180°'dir.

Birbirine teğet üç çember
Birbirine teğet üç çember
SORU 1 :
Soru

Yarıçapları sırasıyla 4, 6 ve 6 olan merkezli üç çember birbirine teğet olacak şekilde yerleştiriliyor.

Bu çemberlerin merkezlerini birleştirerek oluşan üçgenin alanı kaçtır?

Soru

üçgeni ikizler üçgendir.

üçgeninin alanını hesaplamak için köşesinden kenarına bir yükseklik indirelim.

İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik tabanı ortalar.

üçgeni 3-4-5 Pisagor üçgeninin 2 katı olup yüksekliğinin uzunluğu olur.

Yarıçapların oluşturduğu üçgenin alanını bulalım.

bulunur.

SORU 2 :
Soru

Yarıçapları 5 cm ve 15 cm olan iki çember şekildeki gibi birbirine teğettir.

Buna göre bu iki çemberi çevreleyen en kısa halatın uzunluğu kaç cm'dir?

Çemberlerin merkezinden halatın çemberlere teğet olduğu noktalara birer yarıçap çizelim.

Soru

Halatın küçük çemberi çevreleyen kısmının uzunluğuna cm, büyük çemberi çevreleyen kısmının uzunluğuna cm, iki çember arasında kalan kısımlarının uzunluğuna cm diyelim.

Oluşan dik üçgenindeki kenar orantılarını incelersek açısının ölçüsünün olduğunu, dolayısıyla üçgeninin 30-60-90° üçgeni olduğunu görürüz.

30-60-90 üçgeni özelliğini kullanarak uzunluğunu bulalım.

cm

Halat 2 tane uzunluğuna sahip olduğuna göre ikisinin toplam uzunluğu cm olur.

Şimdi halatın çemberleri çevreleyen uzunluğunu bulalım.

Halat küçük çemberde derecelik yayı, yani çemberin 'ünü çevrelemektedir.

Küçük çemberde 120°'lik yayın uzunluğu cm olur.

Halat büyük çemberde derecelik yayı, yani çemberin 'ünü çevrelemektedir.

Büyük çemberde 240°'lik yayın uzunluğu cm olur.

Halatın toplam uzunluğunu bulalım.

cm bulunur.

SORU 3 :
Soru

Yukarıdaki şekildeki çeyrek dairenin yarıçapı 4 cm, büyük yarım dairenin yarıçapı 2 cm'dir.

Yarım daireler birbirine teğet olduğuna göre, küçük yarım dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

Dairelerin merkezlerine sırasıyla ve küçük yarım dairenin yarıçapına diyelim.

Yarım dairelerin merkezlerini birleştirelim.

Birbirine teğet iki dairenin merkezlerini birleştiren doğru dairelerin teğet noktasından geçer.

Soru

Oluşan üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.

olarak bulunur.

SORU 4 :
Soru

Yarıçap uzunlukları 3 birim olan ve merkezli iki çember şekilde gösterilmiştir.

İki çemberin içinde kalan karesinin köşeleri çemberler üzerinde olduğuna göre, bu karenin alanı kaçtır?

karesinin merkez noktasına , bir kenar uzunluğu diyelim.

yarıçapının karenin kenarını kestiği noktaya diyelim.

Soru

Aşağıdaki uzunluklar çemberlerin yarıçapına eşittir.

ve noktası karenin merkezidir.

karenin köşesi ve noktası karenin merkezi olduğundan, doğrusu yarım köşegendir. Ayrıca üçgeni dik ikizkenar üçgendir.

üçgeninde iki kenar ve bir açı değeri bilindiğinden kosinüs alan formülünü kullanarak değerini bulabiliriz.

olduğu için olur.

Yukarıdaki denklemin kökünü bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.

olması gerektiği için bu kök geçerli bir çözüm değildir.

değerini kullanarak karenin alanını bulalım.

bulunur.

SORU 5 :
Soru

merkezli bir çeyrek dairenin içine merkezli bir daire şekildeki gibi yerleştiriliyor.

Çeyrek dairenin yarıçapı 4 birim olduğuna göre, yarım dairenin yarıçapı kaçtır?

Yarım dairenin çeyrek daireye teğet olduğu noktalara ve diyelim.

Soru

Çeyrek dairenin yarıçap uzunlukları aşağıdaki gibidir.

Teğete noktalara çizilen yarıçaplar o teğete diktir.

Böylelikle bir kenar uzunluğu olan karesi oluşur.

karesinin köşegen doğrusunu çizelim.

Karenin kenarı ise köşegen uzunluğu olur.

doğrusu çizerek dik üçgeni oluşturalım.

uzunluğu çeyrek dairenin yarıçapıdır.

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulayalım.

bulunur.

SORU 6 :
Soru

Yarıçapları 50 birim olan dıştan teğet iki çember ve bu çemberlerin bir ortak dış teğeti arasında şekildeki gibi bir kare tam oturmaktadır.

Buna göre, karenin bir kenar uzunluğu kaçtır?

Soldaki çemberin merkezinden doğru ile teğet noktasına yarıçapı çizelim.

Karenin köşesinden çizdiğimiz yarıçapa bir dikme çizelim.

Soru

Karenin bir kenar uzunluğuna diyelim.

Çemberlerin ortak iç teğeti (kesikli çizgi) karenin simetri çizgisidir.

uzunluğunu bulalım.

dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak uzunluğunu bulalım.

olduğu için olur.

Buna göre, karenin bir kenar uzunluğu birim bulunur.

« Önceki
Çemberin Uzunluk Özellikleri
Sonraki »
Çemberin Çevresi ve Dairenin Alanı

Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır