Mutlak değer içindeki bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa grafik önce mutlak değer yokmuş gibi çizilir. Daha sonra \( x \) ekseninin altında kalan kısımların \( x \) eksenine göre yansıması alınır. Fonksiyonun sıfır ya da pozitif olduğu noktalarda bir değişiklik olmaz.
Eğer fonksiyonun grafiği bilinmiyorsa fonksiyon önceki bölümde gördüğümüz şekilde bir parçalı fonksiyona dönüştürülür ve parçalı fonksiyonun her tanımının grafiği tanımlı olduğu aralıkta ayrı ayrı çizilir.
Aşağıdaki \( f(x) = x \) ve \( g(x) = \abs{x} \) grafiklerinde görülebileceği gibi, \( f \) fonksiyonunun negatif değerlerinde mutlak değer grafiği \( f \)'in \( x \) eksenine göre yansımasıdır, diğer noktalarda ise iki fonksiyonun grafikleri aynıdır.
\( g \) fonksiyonunun grafiğinin mutlak değerin parçalı fonksiyon yazılışı ile uyumlu olduğunu görebiliriz. Buna göre mutlak değer grafiği \( x \)'in sıfır ve pozitif değerlerinde 1. açıortay doğrusu, negatif değerlerinde de 2. açıortay doğrusudur.
\( g(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( g \) fonksiyonunun grafiğinin mutlak değerin uzaklık tanımı ile de uyumlu olduğunu görebiliriz. Buna göre fonksiyonun \( x = 2 \) ve \( x = -2 \) noktalarındaki değeri, bu iki noktanın sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı olan 2'dir.
Aşağıdaki parabol fonksiyonunun mutlak değer grafiğinde de benzer şekilde parabolün fonksiyon değeri negatif olan noktalarının \( x \) eksenine göre yansıması oluşmaktadır.
Fonksiyonlar konusunda gördüğümüz dönüşümleri mutlak değer fonksiyonlarına uygulayarak aşağıdaki biçimdeki geniş bir fonksiyon ailesinin grafiğini çizebiliriz.
\( f(x) = -a \cdot \abs{-b(x + c)} + k \)
\( a \): Dikey daralma/genişleme ve yansıma
\( k \): Dikey öteleme
\( b \): Yatay daralma/genişleme ve yansıma
\( c \): Yatay öteleme
Bu dönüşümleri mutlak değer fonksiyonlarına uygulayabilmek için öncelikle fonksiyonların dönüşümü ve mutlak değer dönüşümleri bölümlerini detaylı bir şekilde incelemenizi öneririz.
\( f(x) = \abs{x - 1} - 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizelim.
\( f(x) = \abs{x - 1} - 3 \) grafiğini 3 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
Elde ettiğimiz bu grafik \( f \) fonksiyonunun aşağıdaki parçalı fonksiyon şeklinde yazılışının grafiği ile aynıdır (mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı konu anlatımı).
\( f(x) = \begin{cases} -x - 2 & x \lt 1 \\ x - 4 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( f(x) = -\abs{2x} + 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizelim.
\( f(x) = -\abs{2x} + 4 \) fonksiyon grafiğini 4 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
Elde ettiğimiz bu grafik \( f \) fonksiyonunun aşağıdaki parçalı fonksiyon şeklinde yazılışının grafiği ile aynıdır (mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı konu anlatımı).
\( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x \lt 0 \\ -2x + 4 & x \ge 0 \end{cases} \)
Birden fazla mutlak değerli ifadenin iç içe yer aldığı fonksiyonların grafiğini de aynı dönüşüm adımlarını uygulayarak çizebiliriz.
\( f(x) = \abs{\abs{2x + 2} - 4} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizebiliriz.
İçteki mutlak değer ifadesini düzenleyelim.
\( f(x) = \abs{\abs{2x + 2} - 4} = \abs{\abs{2(x + 1)} - 4} \)
\( f(x) = \abs{\abs{2(x + 1)} - 4} \) fonksiyon grafiğini 5 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
Elde ettiğimiz bu grafik \( f \) fonksiyonunun aşağıdaki parçalı fonksiyon şeklinde yazılışının grafiği ile aynıdır.
\( f(x) = \begin{cases} -2x - 6 & x \le -3 \\ 2x + 6 & -3 \lt x \le -1 \\ -2x + 2 & -1 \lt x \le 1 \\ 2x - 2 & x \gt 1 \end{cases} \)
Birden fazla mutlak değerli ifade arasında işlem içeren fonksiyonların grafiğini, fonksiyonları önce parçalı fonksiyona çevirerek daha sonra fonksiyonun parçalarını ilgili aralıklarda çizerek elde edebiliriz. Mutlak değer fonksiyonlarının parçalı fonksiyon şeklinde yazılışları için ilgili konu anlatımını inceleyebilirsiniz.
\( f(x) = \abs{x + 1} + \abs{x - 3} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Fonksiyonun kritik noktaları mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan \( x = -1 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.
Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -2x + 2 & x \lt -1 \\ 4 & -1 \le x \lt 3 \\ 2x - 2 & x \ge 3 \end{cases} \)
Bu parçalı fonksiyonunun her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( f(x) = 2\abs{x + 4} - \abs{x - 2} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Fonksiyonun kritik noktaları mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan \( x = -4 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır.
Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -x - 10 & x \lt -4 \\ 3x + 6 & -4 \le x \lt 2 \\ x + 10 & x \ge 2 \end{cases} \)
Bu parçalı fonksiyonunun her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki bağıntılarda \( y \) değişkeni de mutlak değer içinde yer alabilir. Bu tip bağıntıların grafikleri dikey doğru testini geçemeyeceği için (her \(x \) değeri birden fazla \( y \) değeri ile eşlenebileceği için) birer fonksiyon olmazlar.
\( \abs{y - 1} = x + 2 \) bağıntısının grafiğini çizelim.
\( y \) değişkeni mutlak değer içinde olduğu için \( y \) için kritik noktaları bulalım.
\( y - 1 = 0 \Longrightarrow y = 1 \) kritik noktadır.
Mutlak değer içindeki ifadede \( y \)'nin katsayısı pozitif olduğu için, ifade kritik noktanın sağında pozitif, solunda negatif değer alır, kritik noktada ise sıfır olur.
\( y \ge 1 \) için:
\( y - 1 = x + 2 \)
\( y = x + 3 \)
\( y \lt 1 \) için:
\( -(y - 1) = x + 2 \)
\( y = -x - 1 \)
Buna göre bağıntının bir kritik nokta ve iki aralıktan oluşan parçalı tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( y = \begin{cases} x + 3 & y \ge 1 \\ -x - 1 & y \lt 1 \end{cases} \)
Bu parçalı bağıntının her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Aşağıdaki örnekte görebileceğimiz gibi, bir bağıntıda \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin ikisi de mutlak değer içinde yer alabilir.
\( \abs{y - 2} = -\abs{x + 1} + 2 \) bağıntısının grafiğini çizelim.
Hem \( y \) hem de \( x \) değişkeni mutlak değer içinde olduğu için iki değişken için kritik noktaları bulalım.
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \) kritik noktadır.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \) kritik noktadır.
Mutlak değer içindeki iki ifadede de değişkenlerin katsayıları pozitif olduğu için, ifadeler kritik noktanın sağında pozitif, solunda negatif değer alır, kritik noktada ise sıfır olur.
\( y \ge 2, \quad x \ge -1 \) için:
\( y - 2 = -(x + 1) + 2 \)
\( y = -x + 3 \)
\( y \ge 2, \quad x \lt -1 \) için:
\( y - 2 = (x + 1) + 2 \)
\( y = x + 5 \)
\( y \lt 2, \quad x \ge -1 \) için:
\( -(y - 2) = -(x + 1) + 2 \)
\( y = x + 1 \)
\( y \lt 2, \quad x \lt -1 \) için:
\( -(y - 2) = (x + 1) + 2 \)
\( y = -x - 1 \)
Buna göre bağıntının iki kritik nokta ve dört aralıktan oluşan parçalı tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( y = \begin{cases} -x + 3 & y \ge 2, x \ge -1 \\ x + 5 & y \ge 2, x \lt -1 \\ x + 1 & y \lt 2, x \ge -1 \\ -x - 1 & y \lt 2, x \lt -1 \end{cases} \)
Bu parçalı bağıntının her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( \abs{\abs{2x - 6} - m} = 2 \)
eşitliğini sağlayan 4 farklı kök olması için \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster