Rasyonel Fonksiyonları Tanımsız ve Sıfır Yapan Değerler
Bir Rasyonel Fonksiyonu Tanımsız Yapan Değerler
Bir rasyonel fonksiyonu tanımsız yapan değerler paydasını sıfır yapan değerlerdir.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) olmak üzere,
\( Q(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi olan \( x \) değerleri \( f(x) \) fonksiyonunu tanımsız yapar.
\( Q(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulmak için, \( Q(x) \) ifadesi tüm çarpanlarına ayrılmalı ve her çarpanı sıfır yapan reel \( x \) değerleri bulunmalıdır. Bu \( x \) değerleri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin dışında tutulması gereken değerlerdir.
Paydayı sıfır yapan bir değer payı da sıfır yapıyorsa, pay ve paydanın ortak bir çarpanı vardır ve bunlar sadeleşebilir demektir. Böyle bir durum bu değer için tanımsızlığın ortadan kalktığı anlamına gelmez. Bu çarpan orijinal fonksiyonun bir parçasıdır ve paydayı sıfır yapan tüm değerler tanım kümesinin dışında tutulmalıdır.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 4x^2 - x + 4}{x^2 - x - 12} \) fonksiyonunun tanımsız olduğu \( x \) değerleri nelerdir?
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x^2 - x - 12 = 0 \)
Bu ikinci dereceden ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırabiliriz.
\( (x + 3)(x - 4) = 0 \)
Bu ifadeyi sıfır yapan değerler -3 ve 4 olduğu için \( f \) fonksiyonunu tanımsız yapan değerler de bu değerlerdir. Dolayısıyla bu rasyonel fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ -3, 4 \} \)
Bir Rasyonel Fonksiyonu Sıfır Yapan Değerler
Bir rasyonel fonksiyonu sıfır yapan değerler payı sıfır yapan ama aynı zamanda paydayı sıfır yapmayan değerlerdir. Dolayısıyla fonksiyonu sıfır yapan değerleri bulmak için, paydaki ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerlerinin kümesinin paydadaki ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerlerinin kümesinden farkı bulunmalıdır.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 4x^2 - x + 4}{x^2 - x - 12} \) fonksiyonunu sıfır yapan \( x \) değerleri nelerdir?
Çözümü GösterPay ve paydadaki ifadeleri tüm çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 1)(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} \)
Paydaki ifadeyi sıfır yapan üç değer olduğunu görüyoruz (-1, 1 ve 4), ancak bu değerlerden 4 paydayı da sıfır yapmaktadır, dolayısıyla \( x \)'e 4 vermemiz durumunda fonksiyon değeri sıfır değil tanımsız olacaktır.
Bu yüzden fonksiyonu sıfır yapan değerler -1 ve 1'dir.
\( f(-1) = 0 \)
\( f(1) = 0 \)
\( f(4) = \) Tanımsız
\( f(-3) = \) Tanımsız