Polinomlarda İşlemler
Polinomların Eşitliği
Dereceleri aynı olan terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan polinomlar eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( P(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
\( Q(x) = b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0 \)
\( P(x) = Q(x) \) ise,
\( a_3 = b_3, a_2 = b_2, \) \( a_1 = b_1, a_0 = b_0 \)
\( P(x) = 2x^2 + bx \)
\( Q(x) = ax^2 - 3x + c \)
\( P(x) = Q(x) \) ise,
\( a = 2, \quad b = -3, \quad c = 0 \)
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \)
olduğuna göre, \( A \cdot B \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafındaki ifadeleri birbirine benzetmek için eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} + \dfrac{B(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} \)
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{Ax + A + Bx - 2B}{(x - 2)(x + 1)} \)
Paydalar eşit olduğuna göre paylar da eşit olmalıdır.
\( 3x + 6 = Ax + A + Bx - 2B \)
\( 3x + 6 = (A + B)x + A - 2B \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 3 = A + B \)
\( 6 = A - 2B \)
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( -3 = B \Longrightarrow B = -1 \)
\( 3 = A + B \Longrightarrow A = 4 \)
\( A \cdot B = 4 \cdot (-1) = -4 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( P(x - 2) = x^2 + ax + b \)
\( P(x - 1) = x^2 - x - 4 \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomları birbirine eşitleyebilmek için ikinci eşitlikte \( x \) yerine \( x - 1 \) yazalım.
\( P((x - 1) - 1) = (x - 1)^2 - (x - 1) - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 2x + 1 - x + 1 - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 3x - 2 \)
Bu polinom verilen birinci polinoma eşit olduğu için iki polinomu birbirine eşitleyebiliriz.
\( x^2 + ax + b = x^2 - 3x - 2 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = -3 , \quad b = -2 \)
Buna göre \( a + b = (-3) + (-2) = -5 \) bulunur.
\( P(x) = K(2x - 1) + L(x + 2)^2 - 2Mx \)
\( P(x) \) bir sabit polinom ve \( P(x) = -3 \) olduğuna göre, \( K + L + M \) toplamını bulunuz.
Çözümü GösterPolinom tanımındaki terimlerin açılımını yazalım.
\( P(x) = 2Kx - K + L(x^2 + 4x + 4) - 2Mx \)
\( = 2Kx - K + Lx^2 + 4Lx + 4L - 2Mx \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L \)
\( P(x) = -3 \) olarak veriliyor.
\( Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L = -3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( L = 0 \)
\( -K + 4L = -3 \)
\( -K + 4(0) = -3 \)
\( K = 3 \)
\( 2K + 4L - 2M = 0 \)
\( 2(3) + 4(0) - 2M = 0 \)
\( M = 3 \)
\( K + L + M = 3 + 0 + 3 = 6 \) bulunur.
Toplama ve Çıkarma İşlemi
İki polinom arasındaki toplama/çıkarma işleminde, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır/çıkarılır ve o terimin katsayısı olarak yazılır.
Yukarıdaki \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarını örnek olarak alırsak polinomların toplamını ve farkını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) + Q(x) = (a_3 + b_3)x^3 + \) \( (a_2 + b_2)x^2 + \) \( (a_1 + b_1)x + \) \( (a_0 + b_0) \)
\( P(x) - Q(x) = (a_3 - b_3)x^3 + \) \( (a_2 - b_2)x^2 + \) \( (a_1 - b_1)x + \) \( (a_0 - b_0) \)
\( P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2 \)
\( Q(x) = x^2 - x - 3 \)
\( P(x) + Q(x) = (2 + 0)x^3 + (3 + 1)x^2 \) \( + (-5 + (-1))x + (2 + (-3)) \)
\( = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 1 \)
\( P(x) - Q(x) = (2 - 0)x^3 + (3 - 1)x^2 \) \( + (-5 - (-1))x + (2 - (-3)) \)
\( = 2x^3 + 2x^2 - 4x + 5 \)
Çarpma İşlemi
İki polinomun çarpımında birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile çarpılır ve elde edilen terimler içindeki benzer terimler aralarında toplanır.
\( P(x) = \textcolor{red}{2x^2 - 3x + 1} \)
\( Q(x) = \textcolor{blue}{x - 2} \)
\( P(x) \cdot Q(x) \) \( = (\textcolor{red}{2x^2 - 3x + 1})(\textcolor{blue}{x - 2}) \)
\( = \textcolor{red}{2x^2} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2x^2} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \) \( + (\textcolor{red}{-3x}) \cdot \textcolor{blue}{x} \) \( + (\textcolor{red}{-3x}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \) \( + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{x} \) \( + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \)
\( = 2x^3 - 4x^2 - 3x^2 \) \( + 6x + x - 2 \)
\( = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 \)
\( m \) terimli bir polinom ile \( n \) terimli bir polinomun çarpımı sonucunda \( m \cdot n \) terimli bir polinom oluşur, ancak benzer terimlerin aralarında toplanması/çıkarılması sonucunda toplam terim sayısı daha düşük olabilir.
Üs İşlemi
Bir polinomun \( n \). dereceden üssü o polinomun \( n \) kez kendisiyle çarpımına eşittir.
\( P(x) = x^2 - 2 \)
\( P^3(x) = (x^2 - 2)^3 \)
\( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) özdeşliğini kullanarak ifadenin açılımını yazalım.
\( P^3(x) = (x^2)^3 - 3(x^2)^2 \cdot 2 \) \( + 3x^2 \cdot 2^2 - 2^3 \)
\( = x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8 \)
Bileşke İşlemi
Polinomlar arasında bileşke işlemi fonksiyonlardakine benzer şekilde yapılır. Buna göre iki polinom arasındaki bileşke işleminde birinci polinomdaki her \( x \) değişkeni yerine ikinci polinom yazılır.
\( (P \circ Q)(x) = P(Q(x)) \)
\( P(x) = x^2 - 2x + 2 \)
\( Q(x) = 5x^3 \)
\( (P \circ Q)(x) = P(Q(x)) = P(5x^3) \)
\( = (5x^3)^2 - 2(5x^3) + 2 \)
\( = 25x^6 - 10x^3 + 2 \)
\( ( -x^2 + 7 + x)(2x + 3x^2+ 3) \) çarpımının açılımını terimler \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralanacak şekilde yazın.
Çözümü GösterÖnce çarpanların içindeki terimleri \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralayalım.
\( (-x^2 + x + 7)(3x^2 + 2x + 3) \)
Birinci çarpandaki terimleri sırayla ikinci çarpanla çarpalım.
\( = -x^2(3x^2 + 2x + 3) + x(3x^2 + 2x + 3) + 7(3x^2 + 2x + 3) \)
\( = (-3x^4 - 2x^3 -3x^2) + (3x^3 + 2x^2 + 3x) + (21x^2 + 14x + 21) \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = -3x^4 + (-2 + 3)x^3 + (-3 + 2 + 21)x^2 + (3 + 14)x + 21 \)
\( = -3x^4 + x^3 + 20x^2 + 17x + 21 \) bulunur.
\( P(x) = 3x^3 - 2x + 1 \)
\( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \)
olduğuna göre, \( (P \cdot Q)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (P \cdot Q)(-2) = P(-2) \cdot Q(-2) \)
\( P(-2) = 3(-2)^3 - 2(-2) + 1 = -19 \)
\( Q(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 1 = 13 \)
\( P(-2) \cdot Q(-2) = -19 \cdot 13 \)
\( = -247 \) bulunur.
\( (3x^3 + ax^2 + x - 2)(2x^3 + 3x^2 - x - 1) \) çarpımının açılımında \( x^4 \)'lü terimin katsayısı 2 olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterAçılımdaki \( x^4 \)'lü terim her bir çarpandan gelen aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir.
\( x^3 \cdot x^1, \quad x^2 \cdot x^2, \quad x^1 \cdot x^3 \)
\( 3x^3 \cdot (-x) + ax^2 \cdot 3x^2 + x \cdot 2x^3 \) \( = (-3 + 3a + 2)x^4 \)
Bu terimin katsayısı 2 olarak veriliyor.
\( -3 + 3a + 2 = 2 \)
\( a = 1 \) bulunur.
\( P(x) = 343x^4 + 232x^3 + 12x^2 + 3x + 2 \) ve
\( Q(x) = 656x^4 + 545x^3 + 15x^2 + 6x + 10 \) polinomları veriliyor.
\( P(x) \cdot Q(x) \) çarpımının açılımındaki \( x^2 \)'li terimin katsayısını bulunuz.
Çözümü GösterAçılımdaki \( x^2 \)'li terim \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarından gelen aşağıdaki terimlerin çarpımı ile elde edilir.
\( x^2 \cdot x^0, \quad x^1 \cdot x^1, \quad x^0 \cdot x^2 \)
\( 12x^2 \cdot 10 + 3x \cdot 6x + 2 \cdot 15x^2 \)
\( = 120x^2 + 18x^2 + 30x^2 \)
\( = 168x^2 \)
\( x^2 \)'li terimin katsayısı 168'dir.
\( P(3x - 1) - P(x - 2) = 6x + 3 \) olduğuna göre, \( P(2) - P(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeye göre \( P(x) \) polinomu birinci dereceden bir polinomdur.
\( P(x) = ax + b \)
\( x \) yerine \( 3x - 1 \) yazarak \( P(3x - 1) \) polinomunu, \( x - 2 \) yazarak \( P(x - 2) \) polinomunu bulalım.
\( a(3x - 1) + b - (a(x - 2) + b) = 6x + 3 \)
\( 2ax + a = 6x + 3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 3 \)
\( P(x) = 3x + b \)
Sorudaki ifadenin değerini bulmak için \( b \) değerine ihtiyacımız yoktur.
\( P(2) - P(1) = 3(2) + b - (3(1) + b) = 3 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( 2(x^2 - 4)P(x) = ax^5 + x^3 + 2x^2 - b \) veriliyor.
Buna göre, \( P(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını sıfırlamak için \( x^2 = 4 \) yazalım.
\( 2(x^2 - 4)P(x) = a(x^2)^2 \cdot x + x^2 \cdot x + 2x^2 - b \)
\( 2(4 - 4)P(x) = a(4)^2 \cdot x + 4 \cdot x + 2(4) - b \)
\( 0 = 16ax + 4x + 8 - b \)
\( 0 = (16a + 4)x + 8 - b \)
Bir polinom sıfır polinomu ise tüm katsayıları sıfırdır.
\( 16a + 4 = 0 \Longrightarrow a = -\dfrac{1}{4} \)
\( 8 - b = 0 \Longrightarrow b = 8 \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.
\( 2(x^2 - 4)P(x) = -\dfrac{1}{4}x^5 + x^3 + 2x^2 - 8 \)
\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( 2(4^2 - 4)P(4) = -\dfrac{1}{4}4^5 + 4^3 + 2(4)^2 - 8 \)
\( 24P(4) = -256 + 64 + 32 - 8 \)
\( P(4) = -7 \) bulunur.
\( P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x + B \) polinomu,
\( P(x) = (x - A)^3 + 7 \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci eşitliğin açılımını yazalım.
\( P(x) = (x - A)^3 + 7 \)
\( P(x) = x^3 - 3Ax^2 + 3A^2x - A^3 + 7 \)
Verilen iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.
\( x^3 - 3Ax^2 + 3A^2x - A^3 + 7 = x^3 - 9x^2 + 27x + B \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( -3Ax^2 = -9x^2 \Longrightarrow A = 3 \)
\( -A^3 + 7 = B \)
\( -3^3 + 7 = B \Longrightarrow B = -20 \)
\( A + B = 3 + (-20) = -17 \) bulunur.
\( A, B, C, D \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1) + 2x}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2x + 2} \)
olduğuna göre, \( A + B + D + C \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin solunda paydaki iki çarpanı küp farkı şeklinde yazalım.
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \)
\( \dfrac{x^3 - 1 + 2x}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2x + 2} \)
\( \dfrac{x^3 + 2x - 1}{x + 1} \) \( = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2(x + 1)} \)
Eşitliğin iki tarafını \( x + 1 \) ile çarpalım.
\( x^3 + 2x - 1 = (Ax^2 + Bx + C)(x + 1) + \dfrac{D}{2} \)
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + Ax^2 + Bx^2 + Bx + Cx + C + \dfrac{D}{2} \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + (A + B)x^2 + (B + C)x + C + \dfrac{D}{2} \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( x^3 = Ax^3 \Longrightarrow A = 1 \)
Eşitliğin solunda \( x^2 \)'li terim yoktur.
\( 0x^2 = (A + B)x^2 \)
\( 0 = A + B \Longrightarrow B = -1 \)
\( 2x = (B + C)x \)
\( 2 = B + C \Longrightarrow C = 3 \)
\( -1 = C + \dfrac{D}{2} \)
\( -1 = 3 + \dfrac{D}{2} \)
\( D = -8 \)
\( A + B + D + C = 1 + (-1) + 3 + (-8) = -5 \) bulunur.
\( A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - 9x^4 + 32x^3 - 56x^2 + 48x - 9 \) polinomu,
\( P(x) = (x - 1)(x - A)^4 + B \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) değerini bulmak için her iki denklemde \( x = 1 \) yazalım.
\( P(1) = 1^5 - 9(1)^4 + 32(1)^3 - 56(1)^2 + 48(1) - 9 \)
\( = 1 - 9 + 32 - 56 + 48 - 9 = 7 \)
\( P(1) = (1 - 1)(1 - A)^4 + B = B \)
Her iki ifadeden gelen \( P(1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( B = 7 \)
İkinci denklemde \( B \) değerini yerine yazalım.
\( P(x) = (x - 1)(x - A)^4 + 7 \)
Her iki denklemde herhangi bir değer olarak \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 9(2)^4 + 32(2)^3 - 56(2)^2 + 48(2) - 9 \)
\( = 32 - 144 + 256 - 224 + 96 - 9 \)
\( = 7 \)
\( P(2) = (2 - 1)(2 - A)^4 + 7 = (2 - A)^4 + 7 \)
Her iki ifadeden gelen \( P(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( (2 - A)^4 + 7 = 7 \)
\( (2 - A)^4 = 0 \)
\( A = 2 \)
\( A + B = 2 + 7 = 9 \) bulunur.
\( A, B \in \mathbb{Z} \) ve
\( A, B \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = Ax^6 + Bx^3 - 2x + 9 \) polinomu,
\( P(x) = 66(x - 1)(x + 1)Q(x) + 4x - 1 \) eşitliğini de sağlamaktadır.
Buna göre \( A \cdot B \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci eşitlikte \( Q(x) \) polinomunu yokedecek şekilde verilen ifadelerde \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) koyalım.
\( P(1) = A(1)^6 + B(1)^3 - 2(1) + 9 = A + B + 7 \)
\( P(1) = 66(1 - 1)(1 + 1)Q(1) + 4(1) - 1 = 3 \)
İki ifadenin \( P(1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A + B + 7 = 3 \)
\( A + B = -4 \)
\( P(-1) = A(-1)^6 + B(-1)^3 - 2(-1) + 9 = A - B + 11 \)
\( P(-1) = 66(1 - (-1))(1 + (-1))Q(-1) + 4(-1) - 1 = -5 \)
İki ifadenin \( P(-1) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A - B + 11 = -5 \)
\( A - B = -16 \)
Bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( (A + B) + (A - B) = -4 + (-16) \)
\( 2A = -20 \Longrightarrow A = -10 \)
Denklemlerden birinde \( A = -10 \) koyalım.
\( -10 + B = -4 \)
\( B = 6 \)
\( A \cdot B = -10 \cdot 6 = -60 \) bulunur.
\( a, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^4 + ax^2 + 18x + c \) ifadesi, \( x^2 + 3x + 1 \) ifadesine kalansız bölünmektedir.
Buna göre, \( a + c \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( q, p \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Verilen dördüncü dereceden polinomun diğer çarpanına \( x^2 + qx + p \) diyelim. Dördüncü dereceden polinomun ve verilen birinci çarpanın başkatsayıları 1 olduğu için ikinci çarpanın başkatsayısı da 1 olmalıdır.
Bu durumda dördüncü dereceden polinomu bu iki polinomun çarpımı şeklinde ifade edebiliriz.
\( x^4 + ax^2 + 18x + c = (x^2 + 3x + 1)(x^2 + qx + p) \)
Eşitliğin sağ tarafını genişletelim.
\( = x^4 + (q + 3)x^3 + (p + 3q + 1)x^2 + (3p + q)x + p \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( x^3 \)'lü terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( q + 3 = 0 \Longrightarrow q = -3 \)
\( x \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( 3p + q = 18 \)
\( 3p + (-3) = 18 \Longrightarrow p = 7 \)
İki polinomun çarpımını alıp verilen dördüncü dereceden polinoma eşitleyelim.
\( (x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 7) = x^4 - x^2 + 18x + 7 \)
\( a = -1, \quad c = 7 \)
\( a + c = -1 + 7 = 6 \) bulunur.
\( k, A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - kx^3 + 19x + 12 \) polinomu,
\( P(x) = (x - 2)^2 \cdot Q(x) + Ax + B \) eşitliğini de sağlamaktadır.
\( P(1) = 27 \) olduğuna göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü GösterPolinom tanımında \( x = 1 \) yazarak \( k \) değerini bulalım.
\( P(1) = 1^5 - k(1)^3 + 19(1) + 12 \)
\( = 32 - k = 27 \)
\( k = 5 \)
\( k \) değerini polinom tanımında yerine yazalım.
\( P(x) = x^5 - 5x^3 + 19x + 12 \)
\( P(2) \) değerini bulmak için her iki ifadede \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 5(2)^3 + 19(2) + 12 = 42 \)
\( P(2) = (2 - 2)^2 \cdot Q(2) + 2A + B = 2A + B \)
Her iki ifadeden gelen \( P(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( 2A + B = 42 \)
İkinci eşitlikte \( x - 2 \) çarpanı iki katlı olduğu için ifadenin türevinde de \( x = 2 \) yazarak \( Q(x) \) çarpanını yokedebiliriz.
Soruda verilen eşitliklerin türevlerini alalım.
\( P'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 19 \)
\( P'(x) = 2(x - 2) \cdot Q(x) + (x - 2)^2 \cdot Q'(x) + A \)
Her iki ifadede \( P'(2) \) değerini bulalım.
\( P'(2) = 5(2)^4 - 15(2)^2 + 19 = 39 \)
\( P'(2) = 2(2 - 2) \cdot Q(2) + (2 - 2)^2 \cdot Q'(2) + A = A \)
Her iki ifadeden gelen \( P'(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A = 39 \)
\( 2A + B = 52 \) denkleminde \( A = 39 \) yazalım.
\( 2(39) + B = 42 \)
\( B = -36 \)
\( A + B = 39 + (-36) = 3 \) bulunur.