Kalan Teoremi

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.

\( P(4) = 4^2 + 5(4) - 14 \)

\( = 22 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 22 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-3) \) olur.

\( P(-3) = (-3)^2 + 5(-3) - 14 \)

\( = -20 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-3) = -20 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-1) \) olur.

\( P(-1) = (-1)^2 + 5(-1) - 14 \)

\( = -18 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-1) = -18 \) olur.

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 19x - 57 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.

\( P(3) = 3^7 - 3(3)^6 - 6(3)^4 + 4(3)^2 + 3 - 27 \)

\( = -474 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 19x - 57 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -474 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 4 - x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.

\( P(4) = 4^8 - 4(4)^7 + 4^6 - 64(4)^3 + 10 \)

\( = 10 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 4 - x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 10 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( -3x - 6 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-2) \) olur.

\( P(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 2(-2) - 4 \)

\( = -36 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( -3x - 6 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = -36 \) olur.

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(3 - x) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3 - (-5)) = P(8) \) olur.

\( P(8) \) değerini bulalım.

\( P(8) = 8^4 - 3(8)^3 - 8^2 + 5 \)

\( = 2501 \)

Buna göre, \( P(3 - x) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(8) = 2501 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(2x - 1) \) polinomunun \( 36 - 18x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2(2) - 1) = P(3) \) olur.

\( P(3) \) değerini bulalım.

\( P(3) = 3^4 - 3(3)^3 - 3^2 + 5 \)

\( = -4 \)

Buna göre, \( P(2x - 1) \) polinomunun \( 36 - 18x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -4 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(3x - 19) \) polinomunun \( 28 - 4x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3(7) - 19) = P(2) \) olur.

\( P(2) \) değerini bulalım.

\( P(2) = 2^4 - 3(2)^3 - 2^2 + 5 \)

\( = -7 \)

Buna göre, \( P(3x - 19) \) polinomunun \( 28 - 4x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = -7 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(7 - 5) = P(2) \) olur.

\( P(2) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda parantez içini 2 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( 4x - 2 = 2 \Longrightarrow x = 1 \)

\( P(4(1) - 2) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 6 \)

\( P(2) = 1 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 1 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiği için \( P(2) = 0 \) olur.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(2) \)'yi elde etmek için \( x = -1 \) yazalım.

\( P(-1 + 3) = 2(-1)^2 + 3(-1) - a \)

\( P(2) = -1 - a = 0 \)

\( a = -1 \)

Buna göre \( P(x + 3) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.

\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x + 1 \)

Kalan teoremine göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-5 + 3) = P(-2) \) olur.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(-2) \)'yi elde etmek için \( x = -5 \) yazalım.

\( P(-5 + 3) = 2(-5)^2 + 3(-5) + 1 \)

\( P(-2) = 36 \)

Buna göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 36 \) olur.

İfadenin payında aşağıdaki özdeşliği kullanalım.

\( x^{n} - 1 = (x - 1)( x^{n - 1} + x^{n - 2} + \ldots + 1) \)

\( P(x) = \dfrac{(2x - 1 - 1)[(2x - 1)^{a - 1} + (2x - 1)^{a - 2} + \ldots + 1]}{2(x - 1)} \)

Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.

\( = (2x - 1)^{a - 1} + (2x - 1)^{a - 2} + \ldots + 1 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda bulduğumuz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) = 1^{a - 1} + 1^{a - 2} + \ldots + 1 = 9 \)

\( a = 9 \)

\( P(x) = \dfrac{(2x - 1)^9 - 1}{2(x - 1)} \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = \frac{3}{2} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(\frac{3}{2}) \) olur.

\( P(\frac{3}{2}) = \dfrac{(2 \cdot \frac{3}{2} - 1)^9 - 1}{2(\frac{3}{2} - 1)} = 511 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(k) = k^3 + 6k^2 - 4k - 23 = 1 \)

\( k^3 + 6k^2 - 4k - 24 = 0 \)

Elde ettiğimiz denklemi çarpanlarına ayıralım.

\( k^2(k + 6) - 4(k + 6) = 0 \)

\( (k + 6)(k^2 - 4) = 0 \)

\( (k + 6)(k - 2)(k + 2) = 0 \)

\( k \)'nın alabileceği değerler yukarıdaki çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

\( k \in \{-6, -2, 2\} \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-1 + 1) = P(0) \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x - 1) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-2 - 1) = P(-3) \) olur.

Bu iki kalan değeri birbirine eşittir.

\( P(0) = P(-3) \)

\( 2(0)^3 + a(0) + 4 = 2(-3)^3 + a(-3) + 4 \)

\( 4 = -54 - 3a + 4 \)

\( a = -18 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan \( P(k) \) olur.

\( P(k) = 9k^2 - 6k + 1 \)

\( P(x) \) polinomunun \( x - \frac{k}{3} \) ile bölümünden kalan \( P(\frac{k}{3}) \) olur.

\( P(\frac{k}{3}) = 9(\frac{k}{3})^2 - 6(\frac{k}{3}) + 1 \)

\( = k^2 - 2k + 1 \)

Bu iki bölme işleminde kalanlar birbirine eşittir.

\( 9k^2 - 6k + 1 = k^2 - 2k + 1 \)

Tüm terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.

\( 8k^2 - 4k = 0 \)

\( 4k(2k - 1) = 0 \)

\( k \)'nın alabileceği değerler bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan tam sayı değerlerdir.

\( k = 0 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - a \) ile bölümünden kalan \( P(a) \) olur.

\( P(a) = a^2 - 2a + 3 \)

\( P(x) \) polinomunun \( x + a \) ile bölümünden kalan \( P(-a) \) olur.

\( P(-a) = (-a)^2 - 2(-a) + 3 \)

\( = a^2 + 2a + 3 \)

\( P(a) \) değeri \( P(-a) \)'nın 3 katıdır.

\( P(a) = 3P(-a) \)

\( a^2 - 2a + 3 = 3(a^2 + 2a + 3) \)

\( a^2 - 2a + 3 = 3a^2 + 6a + 9 \)

Tüm terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.

\( 2a^2 + 8a + 6 = 0 \)

\( 2(a + 3)(a + 1) = 0 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.

\( a \in \{-3, -1\} \)

Kalan teoremine göre \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \)'ye bölümünden kalan 1 ise \( P(2) = 1 \) olur.

Verilen eşitlikte \( x = 2 \) yazalım.

\( \dfrac{2 \cdot P(2) - 2Q(2 - 3)}{2(2) + 1} = 5(2) - 2 \)

\( \dfrac{2 \cdot 1 - 2Q(-1)}{5} = 8 \)

\( Q(-1) = -19 \)

Kalan teoremine göre, \( Q(x + 4) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( Q(-5 + 4) = Q(-1) \) olur.

Buna göre istenen kalan değeri \( Q(-1) = -19 \) olarak bulunur.

Verilen polinomları çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = x(x - 3)(x + 3) \)

\( Q(x) = x^2(x - 3) \)

İki polinomun EBOB'u iki polinomdaki ortak çarpanları içerir.

\( EBOB(P(x), Q(x)) = x(x - 3) \)

İki polinomun EKOK'u iki polinomdaki tüm çarpanları tekrarsız şekilde içerir.

\( EKOK(P(x), Q(x)) = x^2(x - 3)(x + 3) \)

Bu ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım.

\( EKOK(P(x), Q(x)) = EBOB(P(x), Q(x)) \cdot B(x) + K(x) \)

\( x^2(x - 3)(x + 3) = x(x - 3) \cdot B(x) + K(x) \)

Buna göre \( B(x) = x(x + 3) \) ve \( K(x) = 0 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( B(x) + K(x) = x(x + 3) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen ifadenin değeri olur.

\( 2(2 + 3) = 10 \) bulunur.

\( P(2x + 3) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı formülünde \( x = 1 \) yazalım.

\( = \dfrac{P(2(1) + 3) - P(2(-1) + 3)}{2} = \dfrac{P(5) - P(1)}{2} \)

\( P(x + 2) = P(x - 2) \cdot Q(x) + 10 \) bölme işleminde polinomlardaki \( x \)'lerin katsayıları aynı olduğu için \( Q(x) = 1 \) olmalıdır.

\( P(x + 2) = P(x - 2) + 10 \)

\( P(x + 2) - P(x - 2) = 10 \)

\( x = 3 \) yazalım.

\( P(3 + 2) - P(3 - 2) = P(5) - P(1) = 10 \)

Buna göre \( P(2x + 3) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı \( \frac{P(5) - P(1)}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(1) \) olur.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(x) = 2 - 6 + 10 - 14 + \ldots - 198 \)

Daha rahat hesaplama yapmak için ifadeyi 2 parantezine alalım.

\( = 2(1 - 3 + 5 - 7 + \ldots - 99) \)

Parantez içindeki terimleri 2'şerli gruplayalım.

\( = 2((1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + \ldots + (97 - 99)) \)

Her grubun değeri \( -2 \)'ye eşittir.

\( = 2((-2) + (-2) + (-2) + \ldots + (-2)) \)

Terim sayısı formülünü kullanarak \( -2 \) terimlerinin sayısını bulalım. Terim sayısını bulurken parantez içindeki ilk terimler olan 1, 5, 9, ..., 97 sayılarını referans alalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

\( \dfrac{97 - 1}{4} + 1 = 25 \)

\( = 2 \cdot 25 \cdot (-2) = -100 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = a \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(a) \) değeridir.

Buna göre \( p(x) \)'in \( x + 3 \) ile bölümünden kalan \( p(-3) \), \( x + 4 \) ile bölümünden kalan \( p(-4) \) olur.

\( M = p(-3) = a(-3)^3 + b(-3)^2 + c(-3) + d \)

\( = -27a + 9b - 3c + d \)

\( N = p(-4) = a(-4)^3 + b(-4)^2 + c(-4) + d \)

\( = -64a + 16b - 4c + d \)

\( M - N \) ifadesini bulalım.

\( M - N = -27a + 9b - 3c + d - (-64a + 16b - 4c + d) \)

\( = 37a - 7b + c \)

\( M - N \) ifadesinin en küçük değerini alması için en büyük katsayıya sahip \( a \) en küçük değeri almalıdır.

Aynı şekilde en küçük katsayıya sahip \( b \) en büyük değeri almalıdır.

Bu durumda \( a = 4 \) ve \( b = 7 \) olur. \( c \) de geriye kalan 5 ve 6 değerlerinden küçük olan değeri alır.

\( c = 5, \quad d = 6 \)

\( M - N = 37 \cdot 4 - 7 \cdot 7 + 5 = 104 \) bulunur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x - 2)^3 \cdot Q(x) + 3x^2 + 2x + 6 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölen \( x - 2 \)'nin bir kuvveti olduğu için bölme işleminde \( x = 2 \) yazarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak \( P(2) \) değerini bulabiliriz.

\( P(2) = (2 - 2)^3 \cdot Q(2) + 3(2)^2 + 2(2) + 6 \)

\( = 0 + 12 + 4 + 6 = 22 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 22 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x - 4) = (x^2 - 8x + 12) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x - 4) = (x - 2)(x - 6) \cdot Q(x) + 4x - 1 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-4 + 2) = P(-2) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 2 \) yazarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak \( P(-2) \) değerini bulabiliriz.

\( P(2 - 4) = (2 - 2)(2 - 6) \cdot Q(2) + 4(2) - 1 \)

\( P(-2) = 0 + 8 - 1 = 7 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 7 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (3x^2 - 10x - 8) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x) = (3x + 2)(x - 4) \cdot Q(x) + 3x + 5 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{2}{3} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-\frac{2}{3}) \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( 3x + 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = -\frac{2}{3} \) yazarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki kısmını sıfırlayarak \( P(-\frac{2}{3}) \) değerini bulabiliriz.

\( P(-\frac{2}{3}) = (3(-\frac{2}{3}) + 2)(-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + 3(-\frac{2}{3}) + 5 \)

\( = (-2 + 2) \cdot (-\frac{2}{3} - 4) \cdot Q(-\frac{2}{3}) + (-2) + 5 \)

\( = 0 + 3 = 3 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-\frac{2}{3}) = 3 \) olur.

Soruda verilen bölme işleminde bölen polinomunu çarpanlarına ayıralım.

\( P(x + 7) = (x + 1)(x - 3) \cdot Q(x) + 2x^2 + x + 1 \)

Kalanı sorulan bölme işlemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x + 1) = (x - 5) \cdot Q(x) + K(x) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(5 + 1) = P(6) \) olur.

\( P(6) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda \( x = -1 \) yazalım. Bu değer bölme işleminin kalan polinomu dışındaki kısmını da sıfır yapar.

\( P(-1 + 7) = 0 \cdot Q(x) + 2(-1)^2 + (-1) + 1 \)

\( P(6) = 2 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(6) = 2 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan 7 ise \( P(3) = 7 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan -5 ise \( P(-3) = -5 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminde bölenin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 3)(x + 3) \cdot Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(3) \) ve \( P(-3) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(3) = (3 - 3)(3 + 3) \cdot Q(3) + a(3) + b \)

\( = 3a + b = 7 \)

\( P(-3) = (-3 - 3)(-3 + 3) \cdot Q(-3) + a(-3) + b \)

\( = -3a + b = -5 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 2, \quad b = 1 \)

\( K(x) = ax + b = 2x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan \( 2x + 1 \) polinomudur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15 ise \( P(4) = 15 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3 ise \( P(-2) = -3 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^2 - 2x - 8) \cdot Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminde bölenin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 4)(x + 2) \cdot Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(4) \) ve \( P(-2) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(4) = (4 - 4)(4 + 2) \cdot Q(4) + a(4) + b \)

\( = 4a + b = 15 \)

\( P(-2) = (-2 - 4)(-2 + 2) \cdot Q(-2) + a(-2) + b \)

\( = -2a + b = -3 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 3, \quad b = 3 \)

\( K(x) = ax + b = 3x + 3 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.

Soruda verilen bölme işlemlerini yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x^2 - 9) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)

İki işlemde de bölen polinomlarını çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x - 1)(x + 1) \cdot Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x - 3)(x + 3) \cdot Q_2(x) + 3x + 1 \)

Kalanı istenen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olacaktır.

\( P(x) = (x^2 + 2x - 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)

Bu işlemde de bölen polinomunu çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x - 1)(x + 3) \cdot Q_3(x) + ax + b \)

Üçüncü bölme işlemindeki bölen polinomunun çarpanlarından \( (x - 1) \)'in birinci bölme işleminin böleninin, \( (x - 3) \)'ün de ikinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla soruda istenen \( ax + b \) polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfır yapacak iki \( x \) değeri için polinom değerlerini ilk iki bölme işlemini kullanarak bulabiliriz.

Birinci bölme işleminde \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = (1 - 1)(1 + 1) \cdot Q_1(1) + 1 + 3 \)

\( = 4 \)

İkinci bölme işleminde \( x = -3 \) yazalım.

\( P(-3) = (-3 - 3)(-3 + 3) \cdot Q_2(-3) + 3(-3) + 1 \)

\( = -8 \)

Elde ettiğimiz bu iki polinom değerini üçüncü bölme işleminde yerine koyalım.

\( P(1) = (1 + 3)(1 - 1) \cdot Q_3(1) + a(1) + b \)

\( = a + b = 4 \)

\( P(-3) = (-3 + 3)(-3 - 1) \cdot Q_3(-3) + a(-3) + b \)

\( = -3a + b = -8 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 3, \quad b = 1 \)

\( K(x) = ax + b = 3x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.

Sorudaki birinci bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x^2 + 2) \cdot Q(x) + 2x - 1 \)

Sorudaki ikinci bölme işlemini yazalım.

\( P^2(x) = [(x^2 + 2) \cdot Q(x) + (2x - 1)]^2 \)

Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.

\( = [(x^2 + 2) \cdot Q(x)]^2 \) \( + 2(x^2 + 2) \cdot Q(x) \cdot (2x - 1) \) \( + (2x - 1)^2 \)

Bu açılımda 1. ve 2. terimler \( x^2 + 2 \) çarpanını içerdiği için bu çarpana tam bölünür.

\( \dfrac{P^2(x)}{x^2 + 2} = (x^2 + 2) \cdot Q^2(x) + 2Q(x) \cdot (2x - 1) + \dfrac{(2x - 1)^2}{x^2 + 2} \)

Dolayısıyla \( P^2(x) \) polinomunun \( x^2 + 2 \) polinomuna bölümünden kalan son terimin \( x^2 + 2 \) polinomuna bölümünden kalana eşittir.

\( (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \) polinomunu \( x^2 + 2 \) polinomuna polinom bölmesi ile böldüğümüzde \( -4x - 7 \) kalanını buluruz.

\( 4x^2 - 4x + 1 = (x^2 + 2) \cdot 4 - 4x - 7 \)

\( K(x) = -4x - 7 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( P(2) \), \( x + 2 \) ile bölümünden kalan \( P(-2) \) olur.

\( P(2) = 24 \)

\( P(-2) = 8 \)

Verilen üçüncü bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x + 1)^3 \cdot Q_3(x) + 3x^2 + x + 5 \)

Eşitlikte \( x = -1 \) yazalım.

\( P(-1) = 0 + 3(-1)^2 + (-1) + 5 = 7 \)

Bir polinom bölme işleminde kalan polinomunun derecesi bölen polinomunun derecesinden küçük olur.

\( (x - 2)(x + 2)(x + 1) \) üçüncü dereceden bir polinom olduğu için, \( P(x) \) polinomunun bu polinoma bölümünde kalan en çok 2. dereceden olabilir.

\( P(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 1) \cdot Q(x) + Ax^2 + Bx + C \)

Bu bölme işleminde \( Q(x) \) içeren terimi sıfır yapacak üç \( x \) değeri için \( P(x) \) değerini yukarıda bulmuştuk.

\( x \) yerine sırayla 2, -2 ve -1 koyarak \( A \), \( B \) ve \( C \) değerlerini bulalım.

\( P(2) = 0 \cdot 4 \cdot 3 \cdot Q(2) + A(2)^2 + B(2) + C \)

\( 4A + 2B + C = 24 \)

\( P(-2) = -4 \cdot 0 \cdot (-1) \cdot Q(-2) + A(-2)^2 + B(-2) + C \)

\( 4A - 2B + C = 8 \)

\( P(-1) = -3 \cdot 1 \cdot 0 \cdot Q(-1) + A(-1)^2 + B(-1) + C \)

\( A - B + C = 7 \)

\( B \) değerini bulmak için 1. denklemden 2. denklemi taraf tarafa çıkaralım.

\( (4A + 2B + C) - (4A - 2B + C) = 24 - 8 \)

\( 4B = 16 \)

\( B = 4 \)

2. ve 3. denklemde \( B \) değerini yerine yazalım ve denklemleri birbirinden çıkaralım.

\( 4A + C = 16 \)

\( A + C = 11 \)

\( (4A + C) - (A + C) = 16 - 11 \)

\( A = \dfrac{5}{3} \)

\( A \) ve \( B \) değerlerini 3. denklemde yerine koyalım.

\( \dfrac{5}{3} - 4 + C = 7 \)

\( C = \dfrac{28}{3} \)

\( P(x) \) polinomunun \( (x - 2)(x + 2)(x + 1) \) ile bölümünden kalan:

\( Ax^2 + Bx + C = \dfrac{5}{3}x^2 + 4x + \dfrac{28}{3} \) bulunur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) - 6x^2 - 3x + 2 \)

Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^3 + 1 = 0 \)

\( x^3 = -1 \)

\( P(x) \) polinomunda derecesi 3 ve 3'ün tam sayı katı olan ifadelerde \( x^3 = -1 \) yazarak kalan polinomunu bulalım.

\( K(x) = 2(x^3)^3x^2 + 3x^3x + ax^3 - bx^2 + 2c + a \)

\( = 2(-1)^3x^2 + 3(-1)x + a(-1) - bx^2 + 2c + a \)

\( = -2x^2 - 3x - a - bx^2 + 2c + a \)

\( = (-2 - b)x^2 - 3x + 2c \)

Bu polinomu soruda verilen polinoma eşitleyelim.

\( (-2 - b) x^2 - 3x + 2c = -6x^2 - 3x + 2 \)

İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.

\( -2 - b = -6 \Longrightarrow b = 4 \)

\( 2c = 2 \Longrightarrow c = 1 \)

\( b + c = 4 + 1 = 5 \) bulunur.

Polinom bölmesi yapmak yerine bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^2 + x - 1 = 0 \)

\( x^2 = 1 - x \)

\( P(x) \) polinomunda \( x^2 = 1 - x \) yazarak kalan polinomunu bulalım.

\( K(x) = 2(x^2)^2 - x^2 \cdot x + 2x^2 + 3x - 7 \)

\( K(x) = 2(1 - x)^2 - (1 - x)x + 2(1 - x) + 3x - 7 \)

\( = 2 - 4x + 2x^2 - x + x^2 + 2 - 2x + 3x - 7 \)

\( = 3x^2 - 4x - 3 \)

Elde ettiğimiz ifade hala \( x^2 \)'li terim içerdiği için tekrar \( x^2 = 1 - x \) yazalım.

\( = 3(1 - x) - 4x - 3 \)

\( = -7x \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x - 1 \) ile bölümünden kalan \( K(x) = -7x \) polinomudur.

Soruda verilen birinci bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x^3 + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

Bölen polinomunu küp toplamı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x + 1)(x^2 - x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^2 - x + 1 = 0 \)

\( x^2 = x - 1 \)

Yukarıdaki bölme işleminde \( x^2 = x - 1 \) koyarak kalan polinomunu bulalım.

\( K(x) = (x + 1)(x^2 – x + 1) \cdot Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)

\( = (x + 1)((x - 1) - x + 1) \cdot Q(x) + (x - 1) + 2x + 4 \)

\( = 3x + 3 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan \( K(x) = 3x + 3 \) polinomudur.

Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.

\( x^2 + x + 1 = 0 \)

\( x^2 = -x - 1 \)

Her iki tarafı \( x \) ile çarpalım.

\( x^3 = -x^2 - x \)

\( x^2 \) yerine \( -x - 1 \) yazalım.

\( x^3 = -(-x - 1) - x \)

\( x^3 = 1 \)

\( P(x) \) polinomunda \( x^3 = 1 \) yazarak \( K(x) \) polinomunu bulabiliriz.

\( K(x) = 7(x^3)^{11} + 2(x^3)^4 \cdot x + (x^3)^2 - 4x^3 \cdot x + 5 \)

\( = 7(1)^{11} + 2(1)^4 \cdot x + (1)^2 - 4(1) \cdot x + 5 \)

\( = 7 + 2x + 1 - 4x + 5 \)

\( = -2x + 13 \)

\( K(0) = -2(0) + 13 = 13 \) bulunur.

\( x^3 - 1 \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.

\( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \)

Soruda verilen bölme işlemlerini yazalım.

\( P(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)Q_1(x) + x^2 - 2ax + b \)

\( P(x) = (x^2 + x + 1)Q_2(x) - 3x + 1 \)

Dikkat edilirse \( x^2 + x + 1 \) çarpanı iki bölme işleminde de ortaktır.

Buna göre birinci bölme işleminde \( x^2 = -x - 1 \) yazdığımızda elde edeceğimiz kalan, ikinci bölme işleminin kalanına eşit olmalıdır.

\( (-x - 1) - 2ax + b = -3x + 1 \)

\( (-2a - 1)x + b - 1 = -3x + 1 \)

İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.

\( -2a - 1 = -3 \Longrightarrow a = 1 \)

\( b - 1 = 1 \Longrightarrow b = 2 \)

\( a + b = 1 + 2 = 3 \) olarak bulunur.

\( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \)

Yukarıdaki özdeşliğe göre \( x^2 - x + 1 \) polinomu \( x^3 + 1 \) polinomunun bir çarpanıdır.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, \( P(x) \)'in \( x^3 + 1 \) polinomuna bölümünden kalanın \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalana eşittir. Sayılar arasındaki bölme işleminden bir örnek vermemiz gerekirse, 1345 sayısının 15'e bölümünden kalan, 1345'in 15'in bir katı olan 150'ye bölümünden kalanın (145) 15'e bölümünden kalana eşittir.

Dolayısıyla daha sade bir polinomun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalanı bulmak için, önce polinomun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalanı bulalım.

\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) polinomuna bölümünden kalanı bulmak için \( x^3 + 1 = 0 \) eşitliğinden \( x^3 = -1 \) yazalım.

\( K(x) = (x^3)^{15}x^2 - 3(x^3)^5x + x - 2 \)

\( = (-1)^{15}x^2 - 3(-1)^5x + x - 2 \)

\( = -x^2 + 3x + x - 2 \)

\( = -x^2 + 4x - 2 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( -x^2 + 4x - 2 \) polinomudur.

Bu polinomun \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalanı bulmak için \( x^2 - x + 1 = 0 \) eşitliğinden \( x^2 = x - 1 \) yazalım.

\( -(x - 1) + 4x - 2 = 3x - 1 \) bulunur.

Verilen polinom bölme işlemini yazalım.

\( x^{1881} + x^{1938} = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \cdot B(x) + K(x) \)

Eşitliğin her iki tarafını \( (x - 1) \) ile çarpalım.

\( (x^{1881} + x^{1938})(x - 1) = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1) \cdot B(x) + K(x)(x - 1) \)

\( x^n - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + \ldots + x^2 + x + 1) \) özdeşliğini kullanalım.

\( (x^{1881} + x^{1938})(x - 1) = (x^5 - 1) \cdot B(x) + K(x)(x - 1) \)

Eşitliğin solundaki polinomun \( x^5 - 1 \) ile bölümünden kalanı bulmak için eşitlikte \( x^5 = 1 \) yazabiliriz.

\( (x^{1880}x^1 + x^{1935}x^3)(x - 1) = (1 - 1) \cdot B(x) + K(x)(x - 1) \)

\( (1 \cdot x + 1 \cdot x^3)(x - 1) = K(x)(x - 1) \)

\( K(x) = x^3 + x \) olarak bulunur.