Polinomlarda Sıfır ve Katsayı İlişkisi
Önceki bölümde gördüğümüz üzere, \( n \). dereceden bir polinomun reel ya da karmaşık sayı \( n \) sıfırı vardır. Bu bölümde bir polinomun sıfırlarıyla katsayıları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
Bir polinom \( (x - \alpha)^m \) şeklinde çok katlı çarpanlar içeriyorsa bu çarpanları sıfır yapan değerler aşağıda paylaşacağımız formüllere çarpanların katları adedince dahil edilir. Örneğin bir polinom \( (x - 2)^3 \) çarpanını içeriyorsa \( x = 2 \) değeri bu formüllere üçer kez dahil olur.
Birinci Dereceden Polinom
Birinci dereceden bir polinomun sıfırı \( x \) değişkeni \( P(x) = 0 \) denkleminde yalnız bırakılarak bulunur.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = ax + b \)
\( x = -\dfrac{b}{a} \)
\( P(x) = 4x - 5 \)
\( x = \dfrac{5}{4} \)
İkinci Dereceden Polinom
İkinci dereceden denklemler konusunda gördüğümüz üzere, ikinci dereceden bir polinomun sıfırları ile katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = ax^2 + bx + c \)
\( = a(x - \alpha)(x - \beta) \)
Sıfırların toplamı:
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} \)
Sıfırların çarpımı:
\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} \)
\( P(x) = 3x^2 - 3x - 6 \)
\( = 3(x + 1)(x - 2) \)
Polinomun sıfırları: \( x \in \{-1, 2\} \)
\( -1 + 2 = -\dfrac{-3}{3} = 1 \)
\( -1 \cdot 2 = \dfrac{-6}{3} = -2 \)
\( a \) ve \( b \) birbirinden ve sıfırdan farklı reel sayılardır.
\( P(x) = 2x^2 + ax + b \)
\( P(x) = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) = 0 \) denkleminin kökler çarpımını bulalım.
\( a \cdot b = \dfrac{b}{2} \)
\( a = \dfrac{1}{2} \)
\( P(x) = 0 \) denkleminin kökler toplamını bulalım.
\( a + b = -\dfrac{a}{2} \)
\( \dfrac{1}{2} + b = -\dfrac{1}{4} \)
\( b = -\dfrac{3}{4} \)
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.
\( P(1) = 2(1)^2 + a(1) + b \)
\( = 2 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \)
\( = \dfrac{7}{4} \) bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kök ve katsayı ilişkisi bölümünde bu konu ile ilgili farklı tipte sorular bulunabilir.
Üçüncü Dereceden Polinom
Üçüncü dereceden bir polinomun sıfırları ile katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
\( = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) \)
Sıfırların toplamı:
\( \alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{b}{a} \)
Sıfırların ikili çarpımlarının toplamı:
\( \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma + \beta \cdot \gamma = \dfrac{c}{a} \)
Sıfırların çarpımı:
\( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\dfrac{d}{a} \)
\( P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \)
\( = (x + 2)(x - 1)(x - 3) \)
Polinomun sıfırları: \( x \in \{-2, 1, 3\} \)
\( -2 + 1 + 3 = -\dfrac{-2}{1} = 2 \)
\( -2 \cdot 1 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 3 = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
\( -2 \cdot 1 \cdot 3 = -\dfrac{6}{1} = -6 \)
\( x^3 + 4x^2 + 3x - 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Kökleri \( m - 1 \), \( n - 1 \) ve \( t - 1 \) olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = 3, \quad d = -2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{1} = -4 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + mt + nt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{1} = 3 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( (m - 1) + (n - 1) + (t - 1) = m + n + t - 3 \)
\( = -4 - 3 = -7 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\((m - 1)(n - 1) + (m - 1)(t - 1) + (n - 1)(t - 1) \)
\( = (mn - m - n + 1) + (mt - m - t + 1) + (nt - n - t + 1) \)
\( = (mn + mt + nt) - 2(m + n + t) + 3 \)
\( = 3 - 2(-4) + 3 = 14 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( (m - 1) \cdot (n - 1) \cdot (t - 1) \)
\( (m - 1) \cdot (nt - n - t + 1 ) \)
\( = mnt - mn - mt + m - nt + n + t - 1 \)
\( = mnt - (mn + mt + nt) + (m + n + t) - 1 \)
\( = 2 - 3 + (-4) - 1 = -6 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -7 \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( 14 \) ve kökler çarpımı \( -6 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-7)x^2 + 14x - (-6) = 0 \)
\( x^3 + 7x^2 + 14x + 6 = 0 \) olarak bulunur.
\( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( m^2n^2 \), \( m^2n^3 \) ve \( m^3n^2 \) ve katsayıları tam sayı olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{2} \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{2} = -1 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m^2n^2 + m^2n^3 + m^3n^2 = m^2n^2(1 + n + m) \)
\( = (-1)^2(1 -\dfrac{3}{2}) = -\dfrac{1}{2} \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( (m^2n^2)(m^2n^3) + (m^2n^2)(m^3n^2) + (m^2n^3)(m^3n^2) \)
\( = m^4n^5 + m^5n^4 + m^5n^5 \)
\( = m^4n^4(n + m + mn) \)
\( = (-1)^4(-\dfrac{3}{2} - 1) = -\dfrac{5}{2} \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m^2n^2 \cdot m^2n^3 \cdot m^3n^2 = m^7n^7 \)
\( = (mn)^7 = (-1)^7 = -1 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -\frac{1}{2} \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( -\frac{5}{2} \) ve kökler çarpımı \( -1 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-\dfrac{1}{2})x^2 + (-\dfrac{5}{2})x - (-1) = 0 \)
\( x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{5}{2}x + 1 = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 2 ile çarpalım.
\( 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 \)
\( x^3 - 3x^2 + 20x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Kökleri \( m^2 \), \( n^2 \) ve \( t^2 \) olan üçüncü dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 20, \quad d = 2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + nt + mt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{20}{1} = 20 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{2}{1} = -2 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m^2 + n^2 + t^2 = (m + n + t)^2 - 2(mn + nt + mt) \)
\( = 3^2 - 2(20) = -31 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( m^2n^2 + m^2t^2 + n^2t^2 = (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 \)
\( (mn + mt + nt)^2 \) açılımını kullanalım.
\( (mn + mt + nt)^2 = (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 + 2(m^2nt + mn^2t + mnt^2) \)
\( (mn)^2 + (mt)^2 + (nt)^2 = (mn + mt + nt)^2 - 2mnt(m + n + t) \)
\( = 20^2 - 2(-2)(3) = 412 \)
İstenen üçüncü dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m^2n^2t^2 = (mnt)^2 \)
\( = (-2)^2 = 4 \)
Kökler toplamı \( A \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( B \) ve kökler çarpımı \( C \) olan üçüncü dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 \)
Buna göre kökler toplamı \( -31 \), ikili kökler çarpımlarının toplamı \( 412 \) ve kökler çarpımı \( 4 \) olan üçüncü dereceden denklemi yazalım.
\( x^3 - (-31)x^2 + 412x - 4 = 0 \)
\( x^3 + 31x^2 + 412x - 4 = 0 \) bulunur.
\( x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
\( \dfrac{m}{nt} + \dfrac{n}{mt} + \dfrac{t}{mn} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{m}{nt} + \dfrac{n}{mt} + \dfrac{t}{mn} = \dfrac{m^2 + n^2 + t^2}{mnt}\)
\( (m + n + t)^2 \) açılımını kullanalım.
\( m^2 + n^2 + t^2 = (m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt) \)
\( = \dfrac{(m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt)}{mnt} \)
3. dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkileri kullanalım.
\( x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0 \)
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, b = -6, c = -1, d = 30 \)
Kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} = 6 \)
Köklerin ikili çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + mt + nt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{30}{1} = -30 \)
İfadeleri değeri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{(m + n + t)^2 - 2(mn + mt + nt)}{mnt} \) \( = \dfrac{6^2 - 2(-1)}{-30} \)
\( = \dfrac{38}{-30} = -\dfrac{19}{15} \) bulunur.
\( x^3 - 6x^2 + 10x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \), \( n \) ve \( t \)'dir.
Buna göre \( (2m - 1)(2n - 1)(2t - 1) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 10, \quad d = -5 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n + t = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} = 6 \)
Verilen denklemin ikili kökler çarpımlarının toplamını bulalım.
\( mn + nt + mt = \dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{1} = 10 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mnt = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \)
Değeri istenen ifadenin açılımını yazalım.
\( (2m - 1)(2n - 1)(2t - 1) \) \( = (2m - 1)(4nt - 2n - 2t + 1 ) \)
\( = 8mnt - 4mn - 4mt + 2m - 4nt + 2n + 2t - 1 \)
\( = 8mnt - 4(mn + nt + mt) + 2(m + n + t) - 1 \)
\( = 8(5) - 4(10) + 2(6) - 1 \)
\( = 11 \) bulunur.
\( x^3 - 3x^2 - 4x + 2 = 0 \) denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine sırasıyla \( x_1, x_2, x_3 \) diyelim.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = -4, \quad d = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} = 3 \)
Denklemin köklerinin ikili çarpımlarının toplamını bulalım.
\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a} = -4 \)
Denklemin köklerinin kareleri toplamını bulmak için kökler toplamının karesini alalım.
\( (x_1 + x_2 + x_3)^2 = 3^2 \)
\( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 = 9 \)
\( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = 9 \)
Köklerin ikili çarpımlarının toplamını yerine koyalım.
\( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(-4) = 9 \)
\( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 17 \) bulunur.
Bir dikdörtgenler prizmasının genişliği, derinliği ve yüksekliği \( Q(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 2 \) polinomunun köklerine eşittir.
Bu prizmanın ayrıtları 2'şer birim uzatıldığında elde edilen prizmanın hacmi kaç birim küptür?
Çözümü GösterPolinomun köklerine \( k, m, n \) diyelim.
Polinomun ayrıtları uzatıldığında elde edilen prizmanın hacmini bulalım.
\( V = (k + 2)(m + 2)(n + 2) \)
\( = kmn + 2km + 2kn + 2mn + 4k + 4m + 4n + 8 \)
\( = kmn + 2(km + kn + mn) + 4(k + m + n) + 8 \)
3. dereceden bir polinomdaki kök ve katsayı ilişkilerini kullanalım.
\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere,
Kökler toplamını bulalım.
\( k + m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{2} = \dfrac{9}{2} \)
Köklerin ikili çarpımlarının toplamını bulalım.
\( km + kn + mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{2} = 5 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( kmn = -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-2}{2} = 1 \)
Bulduğumuz değerleri hacim formülünde yerlerine yazalım.
\( V = 1 + 2(5) + 4(\dfrac{9}{2}) + 8 \)
\( = 37 \) bulunur.
\( P(x) \) 3. dereceden bir polinomdur.
\( P(-3) = P(-1) = P(2) = 0 \) veriliyor.
\( P(0) = 12 \) olduğuna göre, \( x^2 \)'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomu sıfır yapan değerler \( P(x) = 0 \) denkleminin birer köküdür.
Verilen bilgiler doğrultusunda polinom tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = a(x + 3)(x + 1)(x - 2) \)
\( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = a(0 + 3)(0 + 1)(0 - 2) \)
\( -6a = 12 \)
\( a = -2 \)
\( P(x) = -2(x + 3)(x + 1)(x - 2) \)
Polinomun çarpanlarını genişletelim.
\( = -2(x^2 + 4x + 3)(x - 2) \)
\( = -2(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6) \)
\( = -2x^3 - 4x^2 + 10x + 12 \)
\( x^2 \)'li terimin katsayısı \( -4 \) olarak bulunur.
Alternatif olarak \( x^2 \)'li terimin katsayısını polinomun kökler toplamı formülünden de bulabiliriz.
Polinomun başkatsayısına \( a \), \( x^2 \)'li terimin katsayısı \( b \) diyelim.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \)
\( -3 + (-1) + 2 = -\dfrac{b}{-2} \)
\( b = -4 \) olarak bulunur.
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^3 - 9x^2 + mx + n \)
olduğuna göre, sıfırları pozitif tam sayı olan kaç farklı \( P(x) \) polinomu yazılabilir?
Çözümü GösterVerilen denklemin köklerine \( x_1, x_2, x_3 \) diyelim.
Üçüncü dereceden denklemin kökler toplamını yazalım.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \)
\( = -\dfrac{-9}{1} = 9 \)
Toplamı 9 olan ve \( x_1 \le x_2 \le x_3 \) koşulunu sağlayan \( (x_1, x_2, x_3) \) üçlülerini listeleyelim.
\( (x_1, x_2, x_3) \in \{ (1, 1, 7), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3) \} \)
\( x_1, x_2, x_3 \) köklerinin aldığı değerlerin aralarında yer değiştirmesi oluşacak polinomu değiştirmez.
Buna göre, verilen koşulları sağlayan 7 farklı polinom yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
İki farklı reel kökü olan \( P(x) = x^2 - mx + 3 \) polinomunun kökleri aynı zamanda \( Q(x) = x^3 - nx^2 + 29x - 12 \) polinomunun da kökleridir.
Buna göre \( m + n \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)
\( P(x) \) polinomunun kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 3 \)
\( Q(x) \) polinomunun kökler çarpımını bulalım. \( Q(x) \) polinomunun iki kökünün \( P(x) \) ile ortak olduğu biliniyor.
\( x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\dfrac{d}{a} = 12 \)
İlk iki kökün çarpımını yukarıda 3 olarak bulmuştuk.
\( 3 \cdot x_3 = 12 \)
\( x_3 = 4 \)
\( x_3 = 4 \) değeri \( Q(x) \) polinomunun bir kökü olduğuna göre polinomu sıfır yapar.
\( Q(4) = 4^3 - n(4)^2 + 29(4) - 12 = 0 \)
\( 64 - 16n + 116 - 12 = 0 \)
\( n = \dfrac{21}{2} \)
\( Q(x) \) polinomunun kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} = n \)
İlk iki kökün toplamını yukarıda \( m \) olarak bulmuştuk.
\( m + 4 = \dfrac{21}{2} \)
\( m = \dfrac{13}{2} \)
\( m + n = \dfrac{13}{2} + \dfrac{21}{2} = 17 \) olarak bulunur.
\( n \). Dereceden Polinom
\( n \). dereceden bir polinomun sıfırları ile katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \)
Sıfırların toplamı: \( -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \)
\( n \) çift sayı ise:
Sıfırların çarpımı: \( \dfrac{a_0}{a_n} \)
\( n \) tek sayı ise:
Sıfırların çarpımı: \( -\dfrac{a_0}{a_n} \)
\( P(x) = 2x^4 - 18x^3 + 42x^2 - 2x - 60 \)
Sıfırların toplamı \( = -\dfrac{-18}{2} = 9 \)
Sıfırların çarpımı \( = \dfrac{-60}{2} = -30 \)
Bu değerleri polinomun çarpanlarına ayrılmış hali ile teyit edebiliriz.
\( P(x) = 2(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) \)
İSPATI GÖSTER
2. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^2 + bx + c \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 \)
Bu ifadede \( x \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2) = b \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( ax_1x_2 = c \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)
3. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2, x_3 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(\ldots)x - ax_1x_2x_3 \)
Bu ifadede \( x^2 \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2 + x_3) = b \)
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -ax_1x_2x_3 = c \)
\( x_1x_2x_3 = -\dfrac{c}{a} \)
4. dereceden polinomlar
\( P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
Reel olan ya da olmayan tüm kökleri \( \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \} \) olmak üzere, \( P(x) \) polinomunu çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) \)
Parantezleri dağıttığımızda aşağıdaki açılımı elde ederiz.
\( P(x) = ax^4 - a(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + a(\ldots)x^2 - a(\ldots)x + ax_1x_2x_3x_4 \)
Bu ifadede \( x^3 \)'li terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler toplamını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( -a(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = b \)
\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\dfrac{b}{a} \)
Aynı ifadede sabit terimin katsayısını orijinal polinom tanımındaki katsayı ile eşitlediğimizde kökler çarpımını aşağıdaki şekilde elde ederiz.
\( ax_1x_2x_3x_4 = c \)
\( x_1x_2x_3x_4 = \dfrac{c}{a} \)
Daha yüksek dereceli polinomlar
Bu örüntüyü daha yüksek dereceli polinomlara uyguladığımızda kökler toplamı ve çarpımı için aşağıdaki genel formülleri elde ederiz.
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_1x + a_0 \) olmak üzere,
Kökler toplamı: \( -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \)
Çift dereceli polinomlar için kökler çarpımı: \( \dfrac{a_0}{a_n} \)
Tek dereceli polinomlar için kökler çarpımı: \( -\dfrac{a_0}{a_n} \)
\( P(x) = x^5 - 11x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx - 27 \) polinomunun tüm kökleri pozitif tam sayı olduğuna göre, \( B \) kaçtır?
Çözümü GösterTek dereceli bir polinomda kökler çarpımı, sabit terimin başkatsayıya oranının negatifine eşittir.
Kökler çarpımı \( = -\dfrac{-27}{1} = 27 \)
5. dereceden reel katsayılı bir polinomun reel ya da karmaşık 5 kökü vardır.
Tüm kökler pozitif tam sayı olduğuna göre, polinomun kökleri çarpımları 27 olacak şekilde aşağıdaki şekillerde olabilir.
\( \{27, 1, 1, 1, 1\} \)
\( \{9, 3, 1, 1, 1\} \)
\( \{3, 3, 3, 1, 1\} \)
Bir polinomun kökler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
Kökler toplamı \( = -\dfrac{-11}{1} = 11 \)
Yukarıdaki 3 olasılıktan sadece üçüncüsünde kökler toplamı 11'dir.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = (x - 1)^2(x - 3)^3 \)
Polinomun açılımını yazalım.
\( = (x^2 - 2x + 1)(x^3 - 3x^2 + 9x - 27) \)
\( = x^5 - 11x^4 + 46x^3 - 90x^2 + 81x - 27 \)
Buna göre \( B = -90 \) olarak bulunur.
İkinci dereceden reel katsayılı \( P(x) \) polinomunun iki sıfırı \( P(0) \) ve \( P(1) \)'dir.
Bu polinomun başkatsayısı 4 olduğuna göre, polinomun sabit terimi kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) = 4x^2 + bx + c \)
\( P(0) = 4(0)^2 + b(0) + c = c \)
\( P(1) = 4(1)^2 + b(1) + c = 4 + b + c \)
İkinci dereceden polinomlar için kökler toplamı formülünü yazalım.
\( -\dfrac{b}{4} = c + 4 + b + c \)
\( -b = 4b + 8c + 16 \)
\( 5b + 8c = -16 \)
İkinci dereceden polinomlar için kökler çarpımı formülünü yazalım.
\( \dfrac{c}{4} = c \cdot (4 + b + c) \)
\( b + c = -\dfrac{15}{4} \)
İkinci denklemi \( -5 \) ile genişletelim.
\( -5b - 5c = \dfrac{75}{4} \)
İki denklemi taraf tarafa topladığımızda polinomun sabit terimi olan \( c \) değerini buluruz.
\( 3c = -16 + \dfrac{75}{4} \)
\( c = \dfrac{11}{12} \) bulunur.